重庆市万州第二高级中学2023届高三下学期5月月考数学Word版含解析.docx

万州二中2022-2023年高三下期5月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合再求交集即可.【详解】，，则.故选：B.2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】由得，，所以.故选：A.3. 在中，，EAD中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可.【详解】因，E为AD中点，所以.故选：B.4. 圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件的圆柱的最大体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件确定，再将体积转化为关于的三次函数，利用导数求体积的最大值.【详解】圆柱的底面半径为，高为，则，即，圆柱的体积，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当时，函数取得最大值，最大值.故选：A5. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且，圆，若抛物线C与圆交于P，Q两点，且，则线段的中点D的横坐标为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】确定之一的坐标，设另一点坐标，结合已知求出该坐标，再求出抛物线方程，借助抛物线定义求解作答.【详解】圆过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点，设， 依题意，，又，解得，即，则，解得，抛物线的焦点，准线方程为，设，于是，而，因此，所以线段的中点D的横坐标.故选：B6. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用常见放缩，构造函数，判断出，然后利用构造从而判断即可.【详解】令，则，当时, ，所以在上单调递增，，；，易知，.故选：D.7. 已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，，，可将问题转化为方程组有且只有一组实数根.后通过研究函数，及过原点与切线，可得答案.【详解】令，则，令，则，令，则.令在上单调递增；在上单调递减；又，，则有且只有两根，分别为.则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，等价于方程组有且只有一组实数根.令，则，当时，，则此时在上递增，又.即，则有且只有一组实数根.当时，方程组有且只有一组实数根，等价于函数图象与直线图象有两个交点，临界情况为两条直线与图象相切.当与相切，设对应切点为，因，则相应切线方程为；当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为，则.综上，.故选：A【点睛】关键点睛：本题涉及同构以及用导数，函数思想研究函数图象的交点.同构时，需仔细观察，巧用指对互化，将相同结构放在一起以便简化问题，对于函数零点问题，常可转化为相关图象交点问题来解决.8. 已知定义在上的函数的导函数为，则下列错误的是（ ）A. 若关于中心对称，则关于对称B. 若关于对称，则有对称中心C. 若有1个对称中心和1条与轴垂直的不过对称中心的对称轴，则为周期函数D. 若有两个不同的对称中心，则为周期函数【答案】D【解析】【分析】根据函数性质结合导数运算逐项分析判断.【详解】对于选项A：若关于中心对称，则，可得，令，则，即，则，所以关于对称，故A正确；对于选项B：若关于对称，则，可得，即，令，则，即，则关于对称，故B正确；对于选项C：若有1个对称中心和1条与轴垂直的不过对称中心的对称轴，设对称中心为，对称轴为，则，可得，则，可得，可得，且，即，所以的周期为，故C正确；对于选项D：若有两个不同的对称中心，则不一定为周期函数，例如：，对任意，则有：，故的对称中心为，满足题意，但，则，令，则，故为偶函数，假设为周期函数，周期为，则，则，即，整理得，令，得，因为，则，令，得，因为，则，可得，因为，则，可得，所以，且.当为偶数，则，可得对任意，或，且，则，可得或，显然对任意，均不成立；当为奇数，则，可得对任意，或，且，则，可得或，显然对任意，均不成立；综上所述：不存在实数，使得.所以不是周期函数，故D错误；故选：D.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9. 下列为真命题的有（ ）A. 90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5B. 设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8C. 甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18D. 已知随机变量，且，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用中位数的定义计算即可；对于B，利用方差的性质计算即可；对于C，利用分层抽样的比例进行求解即可；对于D，利用正态分布的对称性进行求解即可.【详解】对于A，90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为，故A正确；对于B，样本数据的方差为2，则数据的方差为，故B不正确；对于C，甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为，故C正确；对于D，随机变量，，所以，故D正确.故选：ACD10. 已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据条件判断关于中心对称和轴对称，可求出是函数的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.【详解】由可得函数关于中心对称，且，又因为为偶函数，所以，令等价于，所以可知函数关于轴对称，再令替换，所以，所以知，，，所以，即是函数的周期，由，令，则，故A正确；因为，由已知条件无法求出，故C不正确；由可得，所以B不正确；由可得与关于中心对称，所以是函数的周期，，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：根据条件判断函数，的对称性和周期性，利用函数的对称性和周期性进行转化求解时解决本题的关键.11. 如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（ ） A. B. 平面C. 二面角的大小为定值 D. 的最小值为【答案】CD【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可得出；对于B，利用线面平行的性质定理即可得出；对于C，由二面角的定义即可判断；对于D，将侧面和展开在一个平面内，结合余弦定理即可得出.【详解】对于A，平面，平面，，假设，又平面PAD，平面，又平面，，而四边形为正方形，与矛盾，所以假设错误，故不正确，故A不正确；对于B，设，连接，假设平面， 又平面平面，则，在中，因为为的中点，则必为的中点，这与为线段上的动点矛盾，所以假设错误，故B不正确；对于C，为线段上的动点，二面角的大小即为二面角的大小，因为二面角的大小为定值，所以二面角的大小为定值，故C正确；对于D，平面，平面，，为等腰直角三角形，平面，平面，，即，又四边形为正方形，，平面PAD，平面，平面，，为直角三角形，如图，将侧面和展开在一个平面内，，连接，当处在与的交点处时，取得最小值，此时，在中，由余弦定理，得，所以的最小值为，故D正确. 故选：CD.12. 已知时，，则（ ）A. 当时，， B. 当时，C. 当时， D. 当时，【答案】BCD【解析】【分析】本题考虑到不等式可以用，，这3个函数进行表示，可将不等式转化为这三个函数在时的大小位置关系.可结合，进行初步判断函数的大小关系，结合的变化对，的相对位置的变化影响可解得本题.【详解】设，，，由得，所以时，或.A和B选项：当时，，设，则，当时，所以在上单调递增，所以，即当时，，故.设，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递减.故，即，所以有，即，. 设，由题意可知，，，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，所以，得，由得，，当时，由得，则，故B正确，取，，，则，故A错误；C和D选项：当时，由题意，恰为，两交点，所在直线， 则则，下列证明对均不等式：，，不妨设，先证,即证,令,设,则,所以在递减,而,因此当时,恒成立,即成立.再证,即证令,则,所以递增,而,因此当时,恒成立,即成立.由对数平均不等式知，.故，故CD正确故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考察用导数解决不等式问题，本题解题的关键是从不等式中能抽象出来，，这三个函数，然后根据不等式得到三个函数的图象在不同位置时的联系进而去解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________．【答案】##【解析】【分析】根据条件得到或，结合画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线，的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率.【详解】要满足，则①或②，在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆，则满足要求的可行域如下图阴影部分所示： 由图知：在圆内随机取在阴影部分，而直线过圆心，且直线与直线相互垂直，所以图中阴影部分的面积为圆面积的，故点满足的概率为，故答案为：.14. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是______.【答案】【解析】【分析】先根据条件可证明，，，故三棱锥放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥的外接球，从而即可求出球的半径，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，求得截面圆半径即可．【详解】设在底面上的射影为，如图， 因为，由全等得为的中心，由题可知，，由，解得在正中，可得.从而直角三角形中解得.同理，又是边长为的正三角形，所以，则，同理，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.记外接球半径为，则，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，此时截面圆半径满足，由得，所以，所以截面面积的最小值为.故答案为：15. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．【答案】## 【解析】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利。