§1.5_晶体的宏观对称性(1).ppt

固体物理学固体物理—— 晶体在几何外形上表现出明显的对称性对称性的性质也在物理性质上得以体现介电常数表示为二阶张量电位移§1.5 晶体的宏观对称性晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称 性称为晶体的宏观对称性. 晶体的宏观对称性是在 晶体微观对称性基础上表现出来的.1固体物理学固体物理电位移—— 对于立方对称的晶体介电常数看作一个简单的标量2固体物理学固体物理—— 六角对称晶体将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内介电常数3固体物理学固体物理平行轴(六角轴)分量垂直于六角轴分量—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象—— 立方晶体的光学性质则是各向同性的4固体物理学固体物理—— 原子的周期性排列形成晶格不同的晶格表现出不同的宏观对称性晶体宏观对称性 —— 考察晶体在正交变换的不变性—— 三维情况下，正交变换的表示—— 矩阵是正交矩阵晶体的宏观对称性的描述5固体物理学固体物理—— 绕z轴转角的正交矩阵6固体物理学固体物理—— 中心反演的正交矩阵—— 空间转动，矩阵行列式等于＋1—— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－17固体物理学固体物理一个晶体在某一变换后，晶体在空间的分布保持不变，这一变换称为对称性操作。

对称操作的数目越多，晶体的对称性就越高，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作组合而成如果包括平移，有230种对称类型，称为空间群若不包括平移，有32种宏观对称类型，称为点群8固体物理学固体物理1.旋转对称(Cn，对称元素为线)将晶体绕某轴旋转一定角度后，晶体能自身重合的操作若转动的角度θ＝2π/n ,则称该轴为n重旋转轴由于晶体周期性的制约，晶体只有1，2，3，4，6五种转轴，也用C1，C2，C3，C4，C6表示9固体物理学固体物理为什么没有5度旋转轴？设B1ABA1是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这一晶列上相邻的两个格点A1ABB1若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的u轴顺时针转角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格点B也有一转轴u是 的整数倍， 10固体物理学固体物理相反若逆时针转 '角后能自身重合，则A1ABB1是 的整数倍， 综合上述证明得：11固体物理学固体物理12346晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴12固体物理学固体物理正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。

因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度旋转对称轴13固体物理学固体物理晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次 及高于六次的对称轴因为不符合空间格 子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布 满整个平面14固体物理学固体物理2.中心反演(i，对称素为点) 将任一点（x1,x2,x3）变成（-x1,-x2,-x3）的操作15固体物理学固体物理3.镜面反演(m，对称素为面)以x1=0的平面为镜面，将任一点（x1,x2,x3）变成（-x1, x2, x3）的操作16固体物理学固体物理4.旋转－反演操作（象转操作）若绕某轴旋转θ＝2π/n 角度后再经中心反演，晶体能自身重合，则称该操作为旋转－反演操作，此轴称为n度旋转－反演轴n=1,2,3,4,6.分别用 表示3i (表示联合操作）36i (表示联合操作）664321,,,,17固体物理学固体物理1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动—— 9个对称操作18固体物理学固体物理—— 共有6个对称操作2) 绕6条面对角线轴转动19固体物理学固体物理—— 8个对称操作3) 绕4个立方体对角线轴转动4) 正交变换(不动)—— 1个对称操作20固体物理学固体物理—— 立方体的对称操作共有48个5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作21固体物理学固体物理2 正四面体的对称操作 —— 四个原子位于正四面体的四个顶角上—— 金刚石晶格—— 对称操作包含在立方体操作之中 22固体物理学固体物理—— 共有3个对称操作1) 绕三个立方轴转动—— 8个对称操作2) 绕4个立方体对角线轴转动3) 正交变换—— 1个对称操作23固体物理学固体物理—— 6个对称操作4) 绕三个立方轴转动加中心反演—— 6个对称操作5) 绕6条面对角线轴转动加上中心反演—— 正四面体对称操作共有24个24固体物理学固体物理3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动—— 5个—— 3个3) 绕相对面中心连线转动 —— 3个4) 正交变换5) 12个对称操作加中心反演—— 正六面柱的对称操作有24个2) 绕对棱中点连线转动 —— 1个25固体物理学固体物理对称素 —— 简洁明了地概括一个物体的对称性对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴—— 物体绕某一个转轴转动加上中心反演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时—— 该轴为n重旋转－反演轴，计为4 对称素—— 物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时—— 该轴为n重旋转轴，计为26固体物理学固体物理面对角线 为2重轴，计为2 立方体立方轴 为4重轴，计为4同时也是4重旋转－反演轴，计为同时也是2重旋转－反演轴，计为27固体物理学固体物理体对角线轴 为3重轴，计为3同时也是3重旋转－反演轴，计为28固体物理学固体物理 正四面体体对角线轴是3重轴—— 不是3重旋转－反演轴 立方轴是4重旋转－反演轴—— 不是4重轴面对角线是2重旋转－反演轴—— 不是2重轴29固体物理学固体物理 对称素 的含义—— 先绕轴转动角度，再作中心反演—— A’’点是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像—— 对称素 存在一个对称面M—— 用 表示一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群—— 对称素为镜面30固体物理学固体物理旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。

如：121234561231固体物理学固体物理A BD CEFGH正四面体既无四度轴也无对称心6=3+m1234566 '123432固体物理学固体物理1，2，3，4，6 度旋转对称操作 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作3)中心反演：i4)镜象反映：mC1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示 ）点对称操作：(2)旋转反演对称操作 ：(1)旋转对称操作 ：独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4 33固体物理学固体物理立方体对称性(1)立方轴C4：3个立方轴；4个3度轴；(2)体对角线C3：(3)面对角线C2：6个2度轴；34固体物理学固体物理所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素对称性不同的晶体属于不同的群由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，称作点群理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。

所以又称宏观对称性如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面35固体物理学固体物理（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴其中T是轴方向的周期， l是小于n的整数 n只能取1、2、3、4、66）滑移反映面：若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平移T/n后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面 T是平行方向的周期， n可取2或436固体物理学固体物理 点群（32种）Ø Schönflies符号：用主轴＋脚标表示Ø 国际符号：以特征方向的对称性来表示主轴：Cn、Dn、Sn、T和OCn：n次旋转轴 Sn : n次旋转－反映轴 Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群 O： 八面体群 脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面 v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面 d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面37固体物理学固体物理晶体的宏观对称类型： 八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次由此，推出晶体所属的32个点群 轴 C1 C2 C3 C4 C6轴—面mhmvCS C2h C3h C4h C6hC2V C3V C4V C6V轴—21—面无面D2 D3 D4 D6 mhmvD2h D3h D4h D6hD2d D3d轴—m—i Ci C3i S4正四面体 T Th Td正八面体 O Oh38固体物理学固体物理5 群的概念—— 群代表一组“元素”的集合，G  {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素—— 若 A, B  G, 则AB=C  G. 叫作群的封闭性2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C39固体物理学固体物理正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为运算法则整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则—— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义运算法则 —— 连续操作40固体物理学固体物理单位元素 —— 不动操作 任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴 角度－  ；中心反演的逆操作仍是中心反演；连续进行A和B操作—— 相当于C操作A 操作 —— 绕OA轴转动/2—— S点转到T’点B 操作 —— 绕OC轴转动/2—— T’点转到S’点S’41固体物理学固体物理上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点—— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3表示为—— 群的封闭性可以证明—— 满足结合律S’42固体物理学固体物理 6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 1 —— X，Y，Z轴分量 —— X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向假设电场沿Y轴方向43固体物理学固体物理 将晶体和电场同时绕Y轴转动/2转动的实施 —— 电场没变—— 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别应有44固体物理学固体物理将晶体和电场同时绕Z轴转动/2假设电场沿Z轴方向所以 45固体物理学固体物理—— 再取电场方向沿[111]方向46固体物理学固体物理—— 绕[111]轴转动2/3晶体经历的一个对称操作47固体物理学固体物理—— —— 正四面体晶体上述结论亦然成立—— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率……等48固体物理学固体物理立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 2 对称操作对应的正交变换且有介电常数—— 在坐标变换下49固体物理学固体物理A为对称变换—— 对于。