菱形基础知识点及同步练习含答案.docx

………名岬点拨 学科：数学菱形【根底知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.定理1四边都相等的四边形是菱形.定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【重点难点解析】1. 菱形的性质(1) 菱形具有平行四边形的一切性质；(2) 菱形的四条边都相等；(3) 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4) 菱形是轴对称图形.2•菱形的面积=底X高=对角线乘积的一半.A .重点、难点提示1. 理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法； 〔这是重点，也是难点，要掌握好〕2. 经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中开展学生 的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的根本方法；3. 了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4. 体会特殊与一般的关系.B.考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一.一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形， 具有平行四边形的一切性质. 除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：① 菱形的四条边都相等；② 两条对角线互相垂直平分； 〔出现了垂直，常与勾股定理联系在一起〕③ 每一条对角线都平分一组内角. 〔出现了相等的角，常与角平分线联系在一起〕菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴. 〔不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段〕菱形的判别方法：〔学会利用轴对称的方法研究菱形〕① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③ 四条边都相等的四边形是菱形.【难题巧解点拨】例 1 :如图 4-24，在△ ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄 BC 于 D , CE 平分/ ACB，交 AD于G,交AB于E, EF丄BC于F.求证：四边形 AEFG是菱形.A圏 4-24思路分析由可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形 AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等.证明：•••/ BAC=90 ° , EF 丄 BC , CE 平分/ ACB ,••• AE=EF，/ CEA= / CEF .〔这是略证，并不是完整的证明过程〕•/ AD 丄 BC, EF 丄 BC,• - EF // AD，〔垂直于同一条直线的两条直线互相平行〕•••/ CEF= / AGE，〔两直线平行，内错角相等〕•••/ CEA= / AGE ,• AE=AG ,• EF // AG，且 EF=AG ,•四边形AEFG是平行四边形.〔一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〕又••• AE=EF ,•平行四边形 AEFG是菱形.例2:菱形的周长为20cm, —条对角线长为 5cm,求菱形各个角的度数.:菱形 ABCD 中，AB+BC+CD+DA=20cm ，对角线 AC=5cm .求/ ADC、/ ABC、/ BCD、/ DAB的度数.思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图 4-25 .解：在菱形ABCD中，•/ AB=BC=CD=DA ，又 AB+BC+CD+DA=20cm• AB=BC=CD=DA=5cm又 T AC=5cm，••• AB=BC=AC , CD=DA=AC ,•••△ ABC和厶DAC都是等边三角形，〔此题将边之间的长度关系转化为角的关系〕•••/ ADC= / ABC=60。

/ BCD= / DAB=120 ° .例3:如图4-26，在平行四边形 ABCD中，/ BAE= / FAE ,/ FBA= / FBE.求证：四 边形ABEF是菱形.图 4*26证法一：••• AF // BE,•••/ FAE= / AEB 〔两直线平行，内错角相等〕又•••/ BAE= / FAE,•••/ BAE= / AEB ,• AB=BE .〔等角对等边〕同理，AB=AF , BE=EF,• AB=BE=EF=AF ,•四边形ABEF是菱形.〔四条边都相等的四边形是菱形〕证法二：••• AF // BE,•••/ FAE= / AEB ,又•••/ BAE= / FAE,•••/ BAE= / AEB ,• AB=BE .又•••/ FBA= / FBE ,• AO=OE , AE丄FB ,〔等腰三角形三线合一〕同理，BO=OF ,•四边形ABEF是菱形.〔对角线互相垂直平分的四边形是菱形〕〔你还有其他的证明方法吗？不妨试一下〕例4:菱形的两邻角之比为 1 : 2，边长为2,那么菱形的面积为 思路分析此题主要考察菱形的性质和面积公式的应用：图 4-27解法一：如图4-27,/ B：Z A=1 : 2,•••四边形ABCD是菱形，••• AD // BC,•••/ A+ / B=180 ° ,•••/ B=60 °，/ A=120 ° ,过A作AE丄BC于E,•••/ BAE=30 ° ,1BE -AB 1，〔直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半〕2AE AB2 BE2 22 12 3，〔勾股定理〕S菱形abcd BC AE 2 3 •〔平行四边形的面积计算方法是：底乘以高〕解法二：如图4-28,图 4-28/ B ：/ A=1 : 2,•••四边形ABCD是菱形，• AD // BC,•••/ A+ / B=180 ° ,•••/ B=60 °，/ A=120 ° ,连结AC、BD交于点O,1 ABD — B 30 , AC 丄 BD.2〔菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直〕1 在 Rt△ ABO 中，AO —AB 1 ,2BO , AB2 AO2 22 12 、3,• AC=2 , BD 2 .3 ,-2 2.3 2.3 .21S菱形 ABCD 二 AC BD2答：菱形的面积为2 3 .【典型热点考题】例1 如图4-13，菱形ABCD中, E、F分别是BC CD上的点，且/ B=Z EAF=60，/ BAE=18，求/ CEF的度数.图4・13点悟：由/ B=60°知，连接 AC得等边△ ABC与△ ACD从而△ ABE^A ADF,有AE=AF 那么△ AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求/ CEF.解：连接AC. •/ 四边形ABCD为菱形，/ B=Z D= 60 ° , AB=BC=CD=DA••• △ ABC与△ CDA为等边三角形.••• AB=AC ,Z B=Z ACD=/ BAC=60 ,/ EAF=60°, • / BAE=Z CAF• AE=AF.又••• / EAF=60° ,• △ EAF为等边三角形./ AEF=60°,/ AEC玄 B+Z BAE=Z AEF+Z CEF• 60 ° +18° =60° +Z CEF,Z CEF=18°.例 2 如图 4-14，在△ ABC中，Z BAC=90 , AD丄 BC于 D, CE平分Z ACB 交 AD于 G, 交AB于E, EF± BC于 F,求证：四边形 AEFG为菱形.A图 4-14点悟：可先证四边形 AEFG为平行四边形，再证邻边相等 （或对角线垂直）.证明：T Z BAC=90 , EF丄 BC, CE平分Z BCA• AE=FE, Z AECZ FEC•/ EF 丄 BC, ADL BC, • EF // ADZ FEC=Z AGE • Z AECZ AGEAE=AG ,EF Z AG.•••四边形AEFG为平行四边形.又••• AE=AG. • 四边形AEFG为菱形.点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证.DAE=2/例3 如图4-15 , E为菱形 ABCD边BC上一点，且 AB=AE AE交BD于Q 且/ BAE 求证：EB=QA证明：•/ 四边形ABCD为菱形，/ ABC=2/ ABD AD // BC,/ DAE玄 AEB•/ AB=AE, • / ABC/ AEB/ DAE=2/ ABD/ DAE=2/ BAE/ ABD玄 BAE •- QA=QB./ BOE/ ABD/ BAE/ BQE=2/ BAE/ BEA=Z BQE •- QB=BE,• AQ=BE.说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路.例4点悟:菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为 5： 4,求菱形的各内角的度数先作出菱形解：••• 四边形ABCD是菱形,• AC 丄 BD,• / 1 + / 2=90°，又T / 1：/ 2=4： 5,/ 仁40°,/ 2=50 °,/ DCB/ DAB=/ 2=100°,故 / CBA玄 CDA=/ 1=80°.(A)45 ° , 135 °(B)60o120 °(C)90 ° , 90 °(D)30o150 °2.假设菱形的一条对角线长是另一条对角线的2 倍,且此菱形的面积为 S,那么它的边长为（）(A) S (B)A_ ■ S (c)1 3S(D)1 5S222【同步达纲练习一】一、选择题1 •菱形的一条对角线与边长相等，那么菱形的邻角度数分别为 （）二、填空题3.:菱形 ABCD中, E、F 是 BC CD上的点，且 AE=EF=AF=AB 那么/ B= .4•:菱形的两条对角线长分别为 a、b,那么此菱形周长为 ,面积为 5 •菱形具有而矩形不具有的性质是 .6•—个菱形的面积为 8 3平方厘米，且两条对角线的比为 1: 3，那么菱形的边长为 .三、解答题7.: O为二SBCD对角线BD的中点，MN过O且垂直BD,分别交CD AB于M N.求证: 四边形DNBMH菱形.&如图4-17，菱形 ABCD勺对角线交于点 0, AC=16cm BD=12cm求菱形的高.S4-17【同步达纲练习二】1. 在菱形 ABCD中，假设/ ADC=120 °，那么BD : AC等于（ ）A. 3:2 B. 33 C. 1: 2D. 3:12. 菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为 3: 4,那么两对角线的长分别为 （ ）A . 6cm, 8cm B. 3cm, 4cm C. 12cm, 16cm D. 24cm , 32cm3. 菱形的对角线具有（）A .互相平分且不垂直B .互相平分且相等C.互相平分且垂直D •互相平分、垂直且相等〔掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质〕4•菱形的面积等于160cm2，高等于8cm，那么菱形的周长等于 .5•菱形的两条对角线的长分别是 6和8,那么它的边长是 .6•菱形的周长是40cm，两邻角的比是1: 2，那么较短的对角线长是 cm •7.如图 4-29，在△ ABC 中，/ BAC=90 ° , BD 平分/ ABC , AG 丄 BC，且 BD、AG相交于点E, DF丄BC于F.求证：四边形 AEFD是菱形.。