部编人教版高中数学A版必修第一册教材：第2章等式性质与不等式性质（word版）.doc

第2课时　等式性质与不等式性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握不等式的性质．(重点)2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.1．等式的性质(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3) 性质3 如果a＝b，那么ac＝bc；(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是(　　)A．a－b＞d－c　　 B．a＋d＞b＋cC．a－c＞b－c D．a－c＜a－dB　[根据不等式的性质．]2．与a>b等价的不等式是(　　)A．|a|>|b| B．a2>b2C.>1 D．a3>b3D　[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]3．设xax>a2C．x2a2>axB　[∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]利用不等式性质判断命题真假【例1】　对于实数a，b，c下列命题中的真命题是(　　)A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则＞C．若a＜b＜0，则＞D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0[思路点拨]　本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0⇒＞⇒＞，故B为假命题；⇒＞，故C为假命题；ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．法二：特殊值排除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有＜，故B错．取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有＜，故C错．]运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.1．下列命题正确的是(　　)A．若a2＞b2，则a＞bB．若＞，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞bD．若＜，则a＜bD　[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.]利用不等式性质证明简单不等式【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.[思路点拨]　可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以，得＜.又e＜0，∴＞.本例条件不变的情况下，求证：＞.[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜，又∵e＜0，∴＞.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－acb，c>0，∴ac>bc.又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，∴e－bc>f－ac，∴f－acb，则ac>bc一定成立．(　　)(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　)[提示]　(1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.[答案]　(1)　(2)2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是(　　)A．a－d＞b－c　　　 B．－＜－C．a＋d＞b＋c D．ac＞bdC　[由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，－＜－即B正确；显然D正确，因此不正确的选项是C.]3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是(　　)A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1A　[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β.故知－2＜α－β＜0.]4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.[证明]　因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.8。