2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型2 二次函数与线段有关的问题27题（专题训练）（教师版）.doc

类型二 二次函数与线段有关的问题（专题训练）1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．  (1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．【答案】(1)；(2)取得最大值为，；(3)点的坐标为或或【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解．【详解】（1）解：将点，．代入得，解得：，∴抛物线解析式为：，（2）∵与轴交于点，，当时，解得：，∴,∵．设直线的解析式为，∴解得：∴直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，交于点，  设，则，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴当时，取得最大值为，，∴；（3）∵抛物线将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，∴,∴∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则点的横坐标为，设，∴，，当时，，解得：或，当时，，解得：综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．①当取得最大值时，求的值和的最大值；②当是等腰三角形时，求点的坐标．【答案】(1)；(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，∴抛物线对称轴为直线，在中，当时，，∴抛物线顶点P的坐标为，设抛物线解析式为，∴，∴，∴抛物线解析式为（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，∵直线与抛物线交于点，与直线交于点∴，∴ ，∵，∴当时，有最大值，最大值为；②设直线与x轴交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则∴点G为的中点，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，∴，即，∴点E的纵坐标为5，∴，解得或（舍去），∴ 如图3-3所示，当时，过点C作于G，同理可证是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴综上所述，点E的坐标为或或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上．（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD′ 与杯高 OD′ 之比为0.6，求出OD′ ，接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设，∵杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，∴将，代入，得，．（2），，，，当时，，或，，即杯口直径的长为．【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．4．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．  (1)如图2，若抛物线经过原点．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．【答案】(1)①；②；(2)能，或或或．【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解；（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．【详解】（1）解：①∵，∴顶点的横坐标为1．∴当时，，∴点的坐标是．设抛物线的函数表达式为，把代入，得，解得．∴该抛物线的函数表达式为，即．②如图1，过点作于点．  设直线为，把代入，得，解得，∴直线为．同理，直线为．由解得∴．∴．∵，∴．（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图，当时，存在．记，则．∵为的外角，∴．∵．∴．∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为6．  ②如图2-2，当时，存在．记．∵为的外角，∴．∴∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．    ③如图2-3，当时，存在．记．   ∵，∴．∴．∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．∵，∴．    ∴．∴．过点作轴于点，则．在中，，∴，解得．∴点的横坐标为．综上，点的横坐标为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．5.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．【答案】(1)y＝x2＋8(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：＋9≤P1横坐标≤；方案二：＋≤P1横坐标≤【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．(1)由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；(2)（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，∵＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9，令x2＋8＝3，解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，∵－1＜0，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，此时P2P1＝，P2P3＝，令x2＋8＝，解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．6．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系  (1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，_______．②S关于t的函数解析式为_______．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．①_______；②当时，求正方形的面积．【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根。