第一类曲面积分资料.pptx

第十章 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类曲面积分二、第一类曲面积分的概念与性质一、问题的提出三、第一类曲面积分的计算例：设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 采用可得 “分割，近似, 求和, 取极限” 的方法,求质量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、问题的提出二、第一类曲面积分的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：则对面积的曲面积分存在.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 线性性质.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对积分域的可加性.则有若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理. 保号性.关于曲面的轮换对称性： 曲面具有轮换对称性是指：曲面关于直线x = y = z 对称 如果曲面 有轮换对称性，它的方程 F (x ,y ,z)=0有如下特征：将 F (x ,y ,z) 中的变量 x ,y ,z 的位置任 意互换，不会改变 F 的表达式。

机动 目录 上页 下页 返回 结束 对称性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、如果 曲面 有轮换对称性，那么被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y, z 无论怎样互换，积分值不会改变即2、如果曲面 关于平面 y= x 对称，则 曲面 关于平面 y= z 或 z=x 对称有类似的性质 定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有三、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则按照曲面的不同情况分为以下四种情形：机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1：由对称性，易知（前后两片投影相同）机动 目录 上页 下页 返回 结束 奇函数单位圆的面积例2：解机动 目录 上页 下页 返回 结束 由轮换对称性例3： 设计算解: 锥面与上半球面的交线为为上半球面夹于锥面间的部分， 则它在 xoy面上的投影域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 若此例中被积函数改为计算结果如何 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：球面的参数方程为：四、物理应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为形心机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别地机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5：计算其中 是球面由轮换对称性：解: 显然球心为半径为利用质心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 柱面的参数方程为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7： 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解：建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球面参数方程，则卫星覆盖面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P188 例1) . 内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似)注意：要充分利用球面参数方程、柱面参数方程、对称性、质心公式等简化计算。

机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题9-4(P276) 3，5，6， 9，10，11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 作业备用题1. 已知曲面壳求此曲面壳在平面 z1以上部分 的面密度的质量 M . 解: 在 xoy 面上的投影为 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体的表面, 计算解: 在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 依对称性知机动 目录 上页 下页 返回 结束 5、 计算其中 是介于平面之间的圆柱面分析: 若用直角坐标将曲面分为前后解1: 利用参数方程计算(或左右)两片,则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 柱面的参数方程为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 5、 计算其中 是介于平面之间的圆柱面则解2: 微元法，取曲面面积元素机动 目录 上页 下页 返回 结束 6、计算其中是球面被平面截出的顶部.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考:若 是球面被平行平面 z =h截出的上下两部分,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 由题设机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 设半球面的面密度为由对称性知：所求质心坐标为解:9、机动 目录 上页 下页 返回 结束 由轮换对称性：。