正方体截面问题.docx

课题：正方体截面问题班级：高二（2）班 小组：数学兴趣小组 指导老师：王长喜 组员：崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长：张皓楠课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方 法证明猜想得正确与否再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况大题小做：问题 1：什么叫几何板的截面？ 答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 （包含它的内部），叫做几何体的截面问题 2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体各面的交线问题 3:正方体是立体几何中一个重要的模型， 它是一种非常对称的几何体如果我们拿一 个平面去截一个正方体那么会得到什么形状 的截面图呢？截面图最多有几条边？ 答：因为正方形只有六个面，所以它与平面 最多有六条交线，即所截到得截面图最都有 六条边所以截图可能是三角形，四边形， 五边形，六边形探究 1：截面图为三角形时，有几种情况？1. 是否可以截出等腰三角形：（1）解析:以为be底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于 三角形Aea就可以截到。

所以，截到等腰三角形的情况存在2）做法：在一棱AA'上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以 be 为底的等腰三角 abe3）证明:因为角 bAa 等于角 eAa， Aa 边公用，Ab 等于 Ae， 所以三角形全等于三角形 所以 ba 等于 ea, 所以三角形abc是以为be底的等腰三角形2. 是否可以截出等边三角形:（1）解析若三角形abc是等边三角形， 只要三角形 aAb,aAc, bAc 两两全等就可以得到 所以，截到等边三角形的情况存在2）做法：在棱AA' ,AB.AC上分别取Aa等于Ab等于Ac 就可以得到三角形abc为等边三角形3）证明:因为 Aa 等于 Ab 等于 Ac，角 bAa 等于角 cAa, 所以，三角形bAa全等于三角形cAa 所以 ab 等于 ac同理可证 ba 等于 bc,ca 等于 cb 所以三角形是等边三角形3. 是否可以截出直角三角形：因为角adb是直角，所以ab2=db2+ad2;因为角 adc 是直角，所以 ac2=ad2+cd2;因为角 bdc 是直角，所以 bc2=db2+cd2. 所以 ad2+cd2+db2+cd2=db2+ad2.化简后得 2cd2=0. 所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。

小结：用以平面去截正方体只能截到三边形：(1) 等腰三角形，(2) 等边三角形，(3) 普通三角形；(4) 不能截出直角三角形探究 2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢?1. 是否可以截出长方形： 分析：过一正方体的一棱有无数个矩形， 只要长宽不等，就是长方形所以，存在这一情况d做法： 如上图；取正方体一棱， 过棱沿一个不与原表面重合的平面截下， 就可以得到一个矩形证明: 设原棱长为 a， 因为过棱沿一不与原表面重合的平面截下 所以 bd 大于 ab， 因为过一正方体的一棱有无数个矩形， 而截面不是正方形， 所以截面是矩形2. 是否可以截出正方形: 分析：正方体六个表面都 是正方形只要用一垂直于 原表面的平面去截正方体， 就可以得到正方形做法：用一垂直于原表面的平面去截 正方体，就可以得到正方形 证明：因为垂直于原表面 的在正方体的截图都是 正方形，所以截到得垂直 于原表面的平面 就是正方形3. 是否可以截出梯形：分析:用一平面从一上正方体表面斜截下去 交与底面，因为上下两底面平行，斜截下去截 距不等，所以可截到梯形D E所以它与平面最多有六条交 六条边所以截图可能是三 形。

形吗？可能有几种？做法： 用一平面从一上正方体表面 斜截下去交与底面就可截到 梯形证明： 平面ABC平行于DEF, 所以AC平行于DE;斜截下去截距不等， 所以AC不等于DE; 所以DECA是梯形小结：用以平面去截正方体只能截到四边形: （1.）长方形；（2.）正方形；（3.）梯形探究3：截面多边形的边数 最多有几条？解析：因为正方形只有六个面，丿 即所截到得截面图最都有; 形，四边形，五边形，六边 探究4:截面可能是正多边 答：截面是正多边形有可i可能有正三角形，正方形，正五边形，和正六边形如下图）解析：截面为三角形，面积是底乘高 底和高最大是连接正方体的三个顶点， 所以这时三角形面积最大总结；A. 用以平面去截正方体只能截到三边形：（1）等腰三角形，（2） 三角形，（3） 普通三角形；（4）不能截出直角三角形B. 用以平面去截正方体只能截到四边形：（1.）长方形；（2.）正方形；（3.）梯形C. 用以平面去截正方体还能截到五边形,六边形 课后反思：1：截图有可能是等腰梯形吗？ 2：截到五边形,六边形有哪几类？ 3：从这个课题还可以延伸到什么？ 探究启示：创新所带给人的精神愉悦是 任何物质享受和感官享乐所无法比拟的， 那是灿烂的生命之花最深沉、最辉煌、 最恣意的绽放，从某种意义上说， 创新是自我实现的最高表现形式， 教育作为人道主义的事业， 理所当然应该关注个人生的提升。