高一数学人教新课标版函数及其表示方法教案.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数及其表示方法一、目标认知学习目标：〔1〕会用集合与对应的语言刻画函数会求一些简洁函数的定义域和值域，初步把握换元法的简洁运用 .〔2〕能正确熟悉和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．明白每种方法的优点．在实际情境中，会依据不同的需要挑选恰当的方法表示函数〔3〕 求简洁分段函数的解析式明白分段函数及其简洁应用．重点:函数概念的懂得，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．难点:对函数符号 的懂得对于详细问题能敏捷运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．二、学问要点梳理学问点一、函数的概念1．函数的定义设 A 、B 是非空的数集，假如依据某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯独确定的数 f〔x〕 和它对应，那么就称 f:A → B 为从集合 A 到集合 B的一个函数 .记作： y=f〔x〕 ， x A ．其中， x 叫做自变量， x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f〔x〕|x A} 叫做函数的值域 .2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域 .由于值域是由定义域和对应关系决 定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等 〔或为同一函数 〕。

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致， 而与表示自变量和函数值的字母无关 .3．区间的概念〔1〕 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间〔2〕 无穷区间〔3〕 区间的数轴表示． 区间表示：{x|a ≤ x ≤b}=[a ， b] 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -.学问点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势 .列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需运算就可看出函数值 .2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程， 而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情形．学问点三、映射与函数1.映射定义：设 A 、B 是两个非空集合，假如依据某个对应法就 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯独的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射。

记为 f ： A →B.象与原象：假如给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象 .留意：〔1〕A 中的每一个元素都有象，且唯独〔2〕B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯独〔3〕a 的象记为 f〔a〕.2.函数：设 A 、B 是两个非空数集，如 f ：A → B 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的函数，记为 y=f〔x〕.留意：〔1〕 函数肯定是映射，映射不肯定是函数〔2〕 函数三要素：定义域、值域、对应法就〔3〕B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯独〔4〕 原象集合 =定义域，值域 =象集合 .三、规律方法指导1.函数定义域的求法〔1〕当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合 .详细的讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时遇到的全部有意义的限制条件 .〔2〕当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，仍要有实际意义 .〔3〕求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，留意定义域是一个集合，其结果必需用集合或区间来表示 .2.如何确定象与原象可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象 .对于给出象， 要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象， 从而求出原象。

也可依据对应关系，由象逆推出原象 .3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法就以后，值域就完全确定了，但求值域仍是特殊要留意讲究方法，常用的方法有：观看法： 通过对函数解析式的简洁变形， 利用熟知的基本函数的值域， 或利用函数的图象的 " 最高点 "和" 最低点 "，观看求得函数的值域配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方， 在充分留意到自变量取值范畴的情形下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域判别式法： 将函数视为关于自变量的二次方程， 利用判别式求函数值的范畴， 常用于一些" 分式 " 函数等此外，使用此方法要特殊留意自变量的取值范畴换元法： 通过对函数的解析式进行适当换元， 将复杂的函数化归为几个简洁的函数， 从而利用基本函数的取值范畴来求函数的值域 .求函数的值域没有通用的方法和固定的模式， 除了上述常用方法外， 仍有 最值法 、数形结合法等 .总之，求函数的值域关键是重视对应法就的作用，仍要特殊留意定义域对值域的制约 .经典例题透析类型一、函数概念1.以下各组函数是否表示同一个函数？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕思路点拨： 对于根式、分式、肯定值式，要先化简再判定，在化简时要留意等价变形，否就等号不成立 .解： 〔1〕 ， 对应关系不同，因此是不同的函数。

2) 的定义域不同，因此是不同的函数可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结的函数(3) 的定义域相同， 对应关系相同， 因此是相同可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -总结升华： 函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法就 ，其中核心是对应法就 ，它是函数关系的本质特点 .只有当两个函数的定义域和对应法就都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：〔1〕 定义域不同，两个函数也就不同〔2〕 对应法就不同，两个函数也是不同的 .〔3〕即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不肯定是同一函数，由于函数的定义域和值域不能唯独的确定函数的对应法就 .举一反三：【变式 1】判定以下命题的真假(1) y=x-1 与 是同一函数。

2) 与 y=|x|是同一函数3) 是同一函数4) 与 g〔x〕=x 2-|x|是同一函数 .答： 从函数的定义及三要素入手判定是否是同一函数，有 〔1〕 、〔3〕 是假命题， 〔2〕、〔4〕 是真命题 .2.求以下函数的定义域 〔用区间表示 〕.〔1〕 〔2〕 〔3〕 .思路点拨： 由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范畴 .解： 〔1〕 的定义域为 x2 -2≠0，〔2〕 〔3〕 .总结升华： 使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零 ②偶次根式中， 被开方数非负 .当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量 x 有意义，必需可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解 .举一反三：【变式 1】求以下函数的定义域：〔1〕 。

〔2〕 〔3〕 .思路点拨： 〔1〕 中有分式，只要分母不为 0 即可 〔2〕中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义 〔3〕只要使得两个根式都有意义即可．解： 〔1〕当|x-2|-3=0 ，即 x=-1 或 x=5 时， 无意义，当|x-2|-3≠ 0，即 x≠ -1 且 x ≠ 5 时，分式有意义，所以函数的定义域是 〔-∞， -1〕∪ 〔-1 ， 5〕∪ 〔5， +∞ 〕〔2〕要使函数有意义，须使 ，所以函数的定义域是 〔3〕要使函数有意义，须使 ，所以函数的定义域为 {-2}.总结升华： 小结几类函数的定义域：〔1〕 假如 f〔x〕 是整式，那么函数的定义域是实数集 R〔2〕 假如 f〔x〕 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合〔3〕 假如 f〔x〕 是二次根式， 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合〔4〕 假如 f〔x〕 是由几个部分的数学式子构成的， 那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合〔即求各集合的交集 〕〔5〕 满意实际问题有意义 .3.已知函数 f〔x〕=3x 2+5x-2 ，求 f〔3〕 ， ， f〔a〕 ， f〔a+1〕.思路点拨： 由函数 f〔x〕 符号的含义， f〔3〕 表示在 x=3 时， f〔x〕 表达式的函数值 .解： f〔3〕=3 × 32+5× 3-2=27+15-2=40 。

举一反三：可编辑资料 。