整系数多项式不可约的判定123.doc

整系数多项式不可约的判定摘要:判断一个整系数多项式在有理数域是否可约,有著名的艾森斯坦判别法,它给出了判别整系数多项式不可约的一个充分条件,但只能判别一些整系数多项式,应用范围受限制,本文在艾森斯坦判别法的基础上对其进行推广,并给出了一种新的判别方法.关键词: 整系数多项式 不可约 艾森斯坦判别法 素数如何来判定一个整系数多项式在有理数域是否可约?满足什么条件的整系数多项式在有理数域才具有可约性?本文结合素数给出了以下判别法.一 艾森斯坦判别法及其推广定理 : 设 =是一个整系数多项式如果有一个素数，使得1. 不能整除;2. |;3. ²不能整除那么在有理数域上是不可约的.证明 : 如果在在有理数域上是可约的，那么有定理知，可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积, = 因为∣,所以能整除或，但是²不能整除，所以 不能同时整除及.因此不防假定∣,但 p 不整除.另一方面，因为不整除，所以不能整除.假设中第一个不能被整除的是，比较中的系数，得等式.式中都能被素数整除，所以也能被整除，但是一个素数，所以和中至少有一个被 整除，这是一个矛盾，定理得证.例1设=判断在有理数域上是否可约？解：取素数=2,则2|-8，2|12，2|2，2²不能整除2，满足艾森斯坦判别法，所以在有理数域上不可约.但艾森斯坦判别法不是对所有的整系数多项式都能应用，因为满足判别法条件的素数不总存在，若对一多项式找不到素数，那么在有理数域上可能可约也可能不可约，例如与+2-3都找不到满足条件的素数，但前者在有理数域上是不可约的，而后者是可约.为了扩大艾森斯坦判别法的应用范围，对其进行变形，在中令 ，则整系数多项式与有理数域上可约性相同，但并不是所有的整系数多项式都能通过变形后可以应用艾森斯判别法.例1设= 判断在有理数域上是否可约？解：不能直接应用艾森斯判别法，令 代入=中得，=,取素数=3,则3∣6，3∣15，3∣21，3∣18，3∣9，3∣3，但3不能整除1，且3²不能整除3，满足艾森斯判别法，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约.例2设= 判断在有理数域上是否可约？解：不满足艾森斯坦判别法，无论经过什么变换也不能满足艾森斯坦判别法，但在有理数域上是不可约的.有些整系数多项式不满足艾森斯坦判别法的判别条件，但也是不可约的，由此可见艾森斯坦判别法的应用受很大的限制，在此给出了艾森斯坦判别法的一个有益的推广，得出定理如下：定理：设=（）是一个整系数多项式，并且没有有理根，如果能找到一个素数使1. 不能整除；2. ∣；3. ²不能整除；那么在有理数域上不可约.证明：设在有理数域上可约，易知能分解成两个次数都小于的整系数多项式的乘积，设=, =，=（）,显然不能整除的所有系数，也不能整除的所有系数，令，各是和中第一个不能被整除的系数.情形1如,考察系数有，因为，有条件2可知，∣,又等式右边除外都能被整除，所以∣,但是素数，所以∣或∣，与和不能被整除矛盾.情形2如，此时必有,,,考察. 因为没有有理根，所以,因此|,|,|,|,由等式知，²|与条件3 ²不能整除矛盾.综上可知在有理数域上不可约.推论: 设=（）是一个整系数多项式，没有有理根，如果能找到一个素数使得1. |(=1,2,…,n);2. 不能整除；3. ²不能整除；那么在有理数域上不可约.证明：令= 代入中得，而，显然在有理数域上不可约的充要条件是在有理数域上不可约，由定理知不可约，所以在有理数域上不可约.例1设判断在有理数域是否可约？解：易知没有有理根，取=3, 3|9，3|6，3|15，3²|9，不能应用艾森斯坦判别法，由于3²不能整除6，有定理可知在有理数域上不可约.例2设判断在有理数域是否可约？解：易知没有有理根，取=2,2|4,2|6,2|18,2|2,2不能整除1 2²不能整除18，由推论可知在有理数域上不可约.二 通过比较整系数多项式的系数大小来判定多项式的不可约.定理：设= 是一个整系数多项式，如果 ││1+||++…+,则在有理数域上是不可约的.定理的使用很方便，但要求最高次数项系数是1，且定理证明要用到复变函数论，本文用初等方法得到了如下定理.定理1 设= （≠0 ）是整系数多项式且||是素数，如果 则在有理数域上是不可约的.证明：1. 首先证明：若=0, 则∣∣1,设满足若=0则, ,如果1,则,于是，与已知矛盾，所以1.2.假设在有理数域上是可约，则存在两个次数都小于的整系数多项式u(x)和v(x)使得= .设=，= ，因||是素数，则或，不妨设，又，所以是非零整数，设是u(x)=0全部根.由1得 （=1,2,…,t）,有根与系数的关系推得||== 与是非零整数矛盾，所以在有理数域上不可约. 定理2 设=是n次整系数多项式，是素数，若，则在有理数域上是不可约的.证明：设，显然，在有理数域上是不可约的充分条件是在有理数域上不可约，有定理1知因在有理数域上不可约，此在有理数域上是不可约的.例1 设=，判断函数是否可约？ 解：因为 13>2+3+1+1+2+1，13是素数，由定理1可知有理数域上是不可约的.例2 设=，判断函数是否可约？解：因 且17是素数，由定理2可知有理数域上是不可约的.本文通过对艾森斯坦判别法的推广扩大了艾森斯坦判别法的应用范围，并给出了一种新的判别方法对艾森斯坦判别法予以补充. 【参考文献】［1］张禾瑞、郝炳新编.高等代数（第四版）.高等教育出版社.1999 版［2］中国数学协会北京师范大学编.数学通报.1992年第8期 ［3］中国数学协会北京师范大学编.数学通报.1995年第3期 ［4］数学通讯 2001年5月第9期 工厂搬迁对于一个企业来说，安全问题始终是第一位的，也是最基本的，过程中所涉及到的安全问题主要是人员的安全和设备拆装以及财产的安全。

各部门经理和所有员工一定要以安全为核心，开展各项工作，职责到人、分工明确。