高考江苏数学大一轮精准复习课件：7.2　等差数列.pptx

考点一 等差数列的概念及运算 考点清单单 考向基础 1 通项公式 如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是 an a1 n 1 d n N 2 前n项和公式 设等差数列 an 的公差为d 则其前n项和Sn 或Sn na1 d 3 等差中项 如果 A 那么A叫做a与b的等差中项 考向突破 考向一 等差数列的定义 例1 2019届江苏白蒲高级中学检测 已知每项均大于零的数列 an 中 首项a1 1且前n项和Sn满足Sn Sn 1 2 n N 且n 2 则a61 解析 由Sn Sn 1 2 可得 2 所以 是以1为 首项 2为公差的等差数列 故 2n 1 Sn 2n 1 2 所以a61 S61 S60 1212 1192 480 答案 480 考向二 等差数列的基本运算 例2 2018江苏淮安高三期中 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若a3 5 S1 S5 S7成等差数列 则数列 an 的通项公式为an 解析 设等差数列 an 的公差为d a3 5 S1 S5 S7成等差数列 解得 an 2n 1 n N 答案 2n 1 n N 考点二 等差数列的性质 考向基础 1 等差数列的基本性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m N 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n N 则 ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为2d 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn p q N 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 则 ak ak m ak 2m k m N 组成公差为md的 等差数列 2 与等差数列的前n项和有关的性质 1 若 an 是等差数列 其前n项和为Sn 则 也是等差数列 其首 项与 an 的首项相同 公差是 an 的公差的 2 若 an 是等差数列 Sm S2m S3m分别为 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则 Sm S2m Sm S3m S2m 成等差数列 3 关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 i 若项数为2n 则S偶 S奇 nd ii 若项数为2n 1 则S偶 n 1 an S奇 nan S奇 S偶 an 4 两个等差数列 an bn 的前n项和Sn Tn之间的关系为 考向突破 考向一 等差数列的基本性质 例1 2019届江苏南菁中学检测 已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 解析 因为 an bn 都是等差数列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 答案 21 例2 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9 2 2019届江苏常州中学检测 已知等差数列 an 的公差为2 项数是偶 数 所有奇数项之和为15 所有偶数项之和为25 则这个数列的项数为 考向二 与等差数列前n项和有关的性质 解析 1 由 an 是等差数列 得S3 S6 S3 S9 S6为等差数列 即2 S6 S3 S3 S9 S6 得到S9 S6 2S6 3S3 45 2 设项数为2n 则由S偶 S奇 nd得25 15 2n 解得n 5 故这个数列的项数为10 答案 1 45 2 10 方法一 等差数列的判断与证明的方法 1 证明一个数列 an 为等差数列的基本方法有两种 1 定义法 证明an 1 an是常数 n N 2 等差中项法 证明an 2 an 2an 1 n N 2 解填空题时 可用通项公式或前n项和公式直接判断 1 通项法 an 是等差数列 an An B A B是常数 2 前n项和法 an 是等差数列 Sn An2 Bn A B是常数 方法技巧 例1 若数列 an 的各项均为正数 对任意n N anan 2 t t为常数 且 2a3 a2 a4 1 求 的值 2 证明 数列 an 为等差数列 解析 1 因为对任意n N anan 2 t 所以令n 2 得 a2a4 t 令n 1 得 a1a3 t 得 a2a4 a1a3 a3 a3 a1 a2 a2 a4 所以 2 2 证明 anan 2 t an 1an 3 t 两式相减整理得 所以数列 为常数列 所以 2 所以an an 2 2an 1 所以数列 an 为等差数列 方法二 等差数列前n项和最值的求法 1 函数法 将等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质求最值 2 邻项变号法 利用等差数列的性质 求出其正负转折项便可求得前n项 和的最值 例2 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为Sn 且S10 S15 求当n取何值 时 Sn取得最大值 并求出它的最大值 解析 因为a1 20 S10 S15 所以10 20 d 15 20 d 所以d 解法一 易知Sn 20n n2 n 因为n N 所以当n 12或13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 解法二 由an 20 n 1 n 知a13 0 即当n 12 n N 时 an 0 当n 14 n N 时 an1时 Tn 3 3 2 3 3 22 5 3 2n 1 2n 1 所以Tn 3 3 2 22 23 2n 1 3 5 7 2n 1 3 2n n2 4 又n 1时 T1 3 适合上式 所以Tn 3 2n n2 4 。