1987B停车场问题-赵轶星——大学生数学建模竞赛.pdf

旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 1987：停车场问题 在新英格兰镇有一个位于街角处、面积 100200 平方英尺停车场，场主请你设计它 的布局，即设场地上的线怎么画的方案 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行， 则可以在停车场内塞进最大数量的汽车 但是对于缺乏经验的司机来说， 按照这种方式停靠 车辆是有困难的， 它可能造成昂贵的保险费用支出 为了减少因停车造成意外损失的可能性， 场主可能不得不雇用一些技术熟练的司机专门停车 另一方面， 如果从通道进入停车位有一 个足够大的转弯半径，那么，看来 大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位当然， 通道越宽，场内所能容纳的车辆数目也就越少，这将使得场主减少收入 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 解决一个新英格兰镇的停车场问题 摘要 给定一个 100200 平方英尺的场地， 我们分析的目标是确定一种停车场空间的配置 方案使得从停车场获得的收入最大 我们需要考虑专职停车和自助停车两种方案 自助停车 是更好的选择，但是需要一个服务员来收停车费。

为了求得停车场最大的停车数量，我们测 试了停车空间的角度从 45到 90的情况在如果通道的转角的数量越少，能获得越多空间 的假设下，停车场配置的预算的数量可以缩减为 7,首先，我们分析不考虑入口，出口和 服务员的情况 我们找到了一种能容下 76 个停车位的配置 当入口和收费所都考虑进来时， 我们的配置相对其他的配置能有更多的停车位（75） 在我们最后的方案中，移动的许可、 下雪时暂时的布置和灯柱的空间都被考虑了 问题重述 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 给定一个在新英格兰镇的 100200 平方英尺的在转角处的停车场， 设计一种配置方 案使得停车位最大并且在车场里驾驶的难度最小 基本假设 1、车是自助停车的雇佣一个技术熟练的司机来停车的花费对于增加的停车位而增 加的收入来说多太多了 2、停车场里的路都是单向的，这是为了减少通道的宽度和路的总面积在这种方法 下，停车场的空间可以最大化 3、入口和出口的位置决定于停车场处于街道转角的位置 （见图.1） 图.1(a) 图.1（b） 4、每个停车位都必须能轻易地进入和出去，既是说，没有先进后出的情况。

5、有必要雇佣一位服务员在停车场上来确保停车费的缴纳服务员能监看停车场的 车辆或者收停车费这两种情况服务员都需要有一个遮盖物（收费所） 6、在收取停车费的情况，收费所必须建在出口或者出口处，如果在入口处使用了售 票的机器，那么收费所必须建立在出口的左方 7、在停车位数量最大化分析中，入口、出口和收费所的位置不需要考虑，因为根据 叠加理论能损失最少的空间 8、 因为停车场是在新英格兰镇， 必须考虑雪的问题， 包括冰的移除和雪暂时的堆积 9、为了给司机停下他们的车，停车位的宽度是 8 英尺 （注意这包括了 4 英寸的划 线）停车位的长度是 17 英尺 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 10、对于一般的车，最小的最外处转角的半径（比如右前方的路突然转向左边）是 21 英尺一个 90的转弯要求路的宽度是 21 英尺 11、 为了保证停车场内的驾驶安全， 停车场内任何路最小的宽度应该大约为 12 英尺 12、增加停车场内转角的数目会减少停车位的数量 13、为了保证路的空间和最大化停车空间，通道边的所有停车位都有相同的角度 14、降雪会一致地影响任何可能的停车位配置，所以我们设计停车场时需要考虑它。

模型分析很建立 初始建立模型时，我们忽略入口出口和收费所的位置来求停车位的最大值 首先，我们考虑停车位的角度在转弯角度为 21 英尺的情况下，可以确定把车停入 任意角度的停车位的空间 在依赖于停车位角度的通道宽度下， 都能同样的轻易程度进入所 有停车位一辆车停入角度为 90的停车位（直角） ，即垂直于通道，比角度为 45的停车 位需要更多的空间来转弯因此我们在任何配置的保险费用索赔都是一致的 直角的停车位是停车场密度最大的配置，但是在我们的模型中，它需要最大的通道 宽度因此我们在不同的组合中考虑其它的停车位角度，从 45到 90 外面的车沿着半径为 21 英尺的圈的圆周的路劲行进， 在沿着圆周转到一个任意的角 度， 车就直驶入角度为的停车位， 通道的宽度 R W可以由下面的公式计算得到 （见图.2） 、 21 13cos( ) R W= 停车位的宽度和长度分别为 s W和 s L，它们也依赖于角度，公式为（见图.3） 8/sin( ) s W= 17/sin( )8cos( ) s L=+ 有两种基本的方法来布置一排的停车一排车平行于停车场 200 英尺的边，或者平 行于 100 英尺的边。

，其他的布置方法，比如椭圆或者对角线，都是不现实的，因为这样浪 费了空间 在我们的分析中另一个有用的工具是“限定长度” ，既是在一排的一端，空间太小不 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 能停车的距离限定长度的公式是（见图.3） 17cos( ) D L= 图.2 图.3 图.4.配置 1 图.5.配置 2 这些工具用来确定在给定的配置下有多少停车位应该注意，最多只能有两排停车 位通向同一段路 在测试了不同的停车场的可能的配置后，我们剔除了一些明显的劣等的选择，这是 因为它们有太多的转角了（见假设 12） 我们现在剩下七种不同的配置，它们大部分是一排 停车位平行于停车场长的一边 第一种选择，配置 1，有三排平行于场边的停车位，其中两排是在停车场的边缘，一 排是在停车场的中间，还有两排两排平行于短边 （见图.4）因为 90是最密集的停车方法， 并且长的三排可以进行 90的停车方法因此我们安排这三排用这种方法停车配置 2 和配 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 置 1 在有三排 90的停车位这一点上相似，但是它少了一排和短边平行的车位。

（见图.5） 配置 3 和配置 1 和 2 相似，它也有三排平行于长边的 90车位，但是没有平行于短边的车 位 （见图.6）配置 4 和配置 1 相似，但是有两排车位在中间并且平行于长边的车位的角度 不需要 90 （见图.7）配置 5 和配置 2 相似，但是有两排车为在中间并且长排车位的角度 同样不需要为 90 （见图.8）配置 6 有四个长排，其中两个在中间 （见图.9）最后，配置 7 中所有排都平行于短边，有三个双排在中间，至少有一排，可能是两排在边上 （见图.10） 图.6.配置 3 图.7.配置 4 图.8.配置 5 图.9.配置 6 每一个单独的配置，都仍然无视了入口，出口和收费所，我们通过检测所有可能的 角的组合（从 45到 90，增量 1）来找到停车位数量的最大值通道上每条直路段边上的 停车位都需要有一样的角度（见假设 13） 为了找出任一特定排的停车位数量，我们把排的 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 长度减去 D L然后除以 S W并且最大的整数，这就是我们要找的这排的最大停车数量。

详细 的计算过程见附录里的 FORTRAN 程序 找到了每个配置里能使停车数量最大和空间最大的最优角度设置后，我们用表 1 列 出了我们的结果 明显地，配置 5 在我们的简化模型里有最多的停车位最接近这个的是配置 3，它 少了三个车位因为配置 5 已经有了入口和出口，因此最多减少两三个车位来塞下停车场 收费所因此，配置 5 就算考虑了收费所也比其他配置没有考虑收费所的车位多，因此， 它是最有的解决方案 现在我们考虑出口，入口和收费所的位置，这是我们之前忽略的问题在停车场开 通的一端，入口在左边而出口在右边停车场内的通道会沿着顺时针的方向（在这种类型的 停车场上，这个不是车辆的常规流向） 进入停车场后，在到达转角之前，两边都有角度为 63的停车位在停车场的另一端，停车位垂直于通道出去停车场的通道上，两边的停车 位都是 45（见图.11） 图.10.配置 7 表 1 停车场的入口决定于停车场是类似于图.1（a）还是图.1(b)其中阴影部分表示邻接的 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 街道 如果停车场类似于图.1(a)， 那么出口应该更靠近街的转角， 如果停车场类似于图.1(b)， 那么入口更靠近街的转角。

现在的问题是停车场是否有仪表或者票和收费所我们注意到仪表在使停车场收入 最大化上是没有效果的 如果使用票来代替投币的仪表， 能从每辆车上收取更高比例的费用 因此，为了使收入最大化，我们应该使用票/收费所系统在入口处售票机器必须在左边 因为机器足够小， 因此停车场左边的第一个停车位必须要被去除 收费所要设在出口的左边， 只要去除一个 45的停车位这个给了收费所知道 144 平方英尺的空间因此停车场有 75 个车位，拥有最多的停车位数量因为大多数停车位的角度都小于 90，他们有足够的转弯 半径，大部分司机都能轻易地自己把车驶入停车位，这样就保证了保险费索赔为最小值 注意到路灯可以放置在“限定位置”处，既是那些空间不足以停一辆车的地方，任 何适当的地方都可以或者，在冬天时，限定位置可以作为大雪暂时放置位置，直到它能被 移走注意到降雪会相同地影响到所有的配置方案，因此它在分析中不需要考虑 图.11.最后的解决方案配置 5，,73 个车位 模型检测 检测模型的最简单方法是检测假设是否合理通过检测车的平均长度和宽度，我们 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 知道几乎所有客车都能舒服地停入 817 英尺的停车位。

我们还发现新英格兰镇的大部分司 机，除了在最严峻的情况下，在大部分情况下都能完成半径为 42 英尺的转圈接下来检测 最后的结果，看一辆车是否确实能轻松地停入所有车位结果表明进入左边第一个角度为 45的停车位有点困难，但是我们把它转为 90是没有困难的 优点和缺点 我们的分析的一部分缺点是没有考虑一些配置，这些配置可能比配置 5 有更多的停 车位但是如果你接受了我们的假设，这是不太可能的我们的分析的另一个缺点是我们完 全假设车的前轮位于前面的缓冲器，以此来简化我们对每个角度下通道的宽度分析然而， 在分析里我们假设了车的宽度是 8 英尺，然而现实中车的宽度是小于它的第三个缺点是 我们没有遵守当地的镇或者城市的法规，不让停车场和街道（或人行道）间有任何间隙，但 是这个会影响所有的配置 我们模型的一个优点是我们使停车位的角度达到最优化， 而平常 现实中只考虑 45，60和 90另一个优点是在变化不同角度下的路的宽度下我们保持转 弯角度足够大，这样使得事故索赔费用的数量独立于配置的设计。