双曲线性质92条及其证明.docx
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双曲线2y_b24. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切&设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.2X9.双曲线—a1.PR2a2、一x2.标准方程一2aPFi3.——d1PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点2y_1b212交点的轨迹方程是笃a(a>0,b>0)的两个顶点为A(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P210•右P0(x0,y0)在双曲线11•若Po(x),yo)在双曲线2xa2x~~2a2爲1(a>0,b>0)上，则过F0的双曲线的切线方程是2ba2电1(a>0,b>0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为b2XoXy0yP1、1.P2,则切点弦P1P2的直y0y孑2xAB是双曲线一2a12.13.14.15.16.1.2y_b2(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则Po(x°,y)在双曲线Po(x°,y。
)在双曲线2xPQ是双曲线一2a22若双曲线—2a2b22xa2xa2y_b212b2A2B；(2)L17.给定双曲线C1:b2x22笃1(a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是b22每1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是b21(b>a>0)上对中心张直角的弦，则(b>a>0)上中心张直角的弦2.a4A2b4B2|a2A2b2B2|a2b2(a>b>0),C2:b2x2a2y21「11~2X°xy°y~2-a2xab22X0_-2a~2.a2b2'y°y|OP|,r2|OQ|).L所在直线方程为AxBy1(AB2b2(卑——2ab)2，则(i)对G上任意给定的点abP(x°,y),22abC2上一定点M(二2ab(ii)对C2上任一点P'(X0',y0‘)在G上存在唯一的点M',使得M'的任一直角弦都经过P'点.它的任一直角弦必须经过X22ab~2~2y0).ab22xy18.设P(x0,y0)为双曲线—21ab(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦，且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,my)(m1)的充要条件是k1k21mb21ma2.19.过双曲线2x~~2a有定向且kBC2x20.双曲线—ab2b2X02ay2y-1b211(a>0,b>o)(常数)•上任一点A(x。
y)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点F1PF2则直线BC，则双曲线的焦点角形的面积为SFPF11厂12b2cot-,P(—2cc2fTCot2).2x21.若P为双曲线—a1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1,F2是焦点，PF1F2PF2F1,贝UC——tan—cot—(或ca2222.双曲线笃爲1a2b2当M(冷，y0)在右支上时，当M(x0，y°)在左支上时，22C_atan—cot—)ca22(a>0,b>o)的焦半径公式:|MF1|ex3a,|MF21|MF1|ex0a,|MF2Fi(c,0),F2(c,0)ex；3a.|ex0a.23•若双曲线笃爲1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,则当1
26.27.28.29.|PA||PFi|,(a>0,b>0)上存在两点关于直线I:yk(xx°)对称的充要条件是过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直xasecP是双曲线ybtanx2设A,B为双曲线a(a>0,b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是2y2k(a>0,b>0,k0,k1)上两点,b2其直线AB与双曲线2x~~2aAPBQ.30.x2在双曲线—ax211bab2y2y_21中，定长为2m(m0)的弦中点轨迹方程为2222acoshtbsinht,cothtay,x0,弦两端点在两支上31.1tan21相交于P,Q,则22xy_a2b2设S为双曲线是AB中点，则当2x32•双曲线—a33.双曲线"222,2AaBb2x2a2y_b2区a2(Ax2x34.设双曲线—aa2sinh2tb2cosh2t,cothtbx,yay0,弦两端点在同支上2占1(a>0,b>0)的通径，定长线段ba-丄(c2c2e的两端点A,B在双曲线右支上移动,记|AB|=l,M(X0,y0)1(a>0,b>0)与直线AxBy22X。
)(yy)121(a>0,b>0b2By°C).b2,ec一)；当1S时，有(X°)mina220有公共点的充要条件是Aa与直线AxByC0有B2b2C2.公共点的充要条件是02y_b21(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2PF1F2sin,F1F2P，则有一(sinsin)ae.35.经过双曲线|RAi||认|2xab2.(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则2x36.已知双曲线pa1a1|OP|21|OQ|237.MN是经过双曲线弦,则|AB|22a|MN38.MN是经过双曲线12|OP|x22a|MN|39.设双曲线—a12 y_b22y_b212;(2)b22xa|.2xa1~2.a1(b>a>0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.(1)42r22r2|OP|2+|OQ|2的最小值为一;(3)SOPQ的最小值是一a.baba2yb22y_b21(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心0且平行于MN的1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心1(a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过O的半弦OPMN，则M引一条直线与双曲线相2■aA1P、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点N在直线l:x上.m设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结F的双曲线准线于M、N两点，贝UMF丄NF.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,贝U交于P、Q两点，则直线AP和AQ分别交相应于焦点42.设双曲线方程MF丄NF.2x~~2a2yb21,则斜率为k(k工0)平行弦的中点必在直线I:ykx的共轭直线y''b2kx上，而且kk2.a43.设A、B、C、D为双曲线相交于P且P不在双曲线上2x_a|PA||PB|(a>0,b>0)上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD,则|PC||PD|.222.2bcosasin7"222~~2bcosasin2x44.已知双曲线—a2yb21(a>0,b>0)，点P为其上一点F1,F2为双曲线的焦点,F1PF2的内(外)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S,当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是x2222a(cy2ay22ay2c厂).22'bxc2b2xx45.设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，I为AB的共轭直径所在的直线，I分别交直线AC、BC于E和F，又D为I上一点，2y_b246.过双曲线p,则四|MN|2x2ae47.设A(X1,y1)是双曲线CD与双曲线(a>0,b>0)2x2a相切的充要条件是D为EF的中点.的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于(a>0,b>0)上任一点，过A作一条斜率为警的直线L,又设d是原点到直线ay1L的距离，r1,r2分别是A到双曲线两焦点的距离，则22yx1(a>0,b>0)和一2ba2x48.已知双曲线一2a、,rr2dab.2y_b2(01),一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则丨AB|=|CD|.2x已知双曲线—a2,2ab亠或X0a49.Xo50.设P点是双曲线2b22爲1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段ABb2,2aba2xa(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点的垂直平分线与x轴相交于点P(X°,O)，则,F1、F2为其焦点记F1PF2IPF1IIPF2I.(2)1cos51.设过双曲线的实轴上一点b2cot.2B(m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点,Spf/2a别交相应于过B点的直线MN:xn于M,N两点，则MBN90oa为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分2252.L是经过双曲线2yb21(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线,PL，若APB是锐角且sinarcsin1(当且仅当emanmmb2(na)2A、B是双曲线的两个顶点,|PF|b时取等号).e是离心率，点53.L是经过双曲线2y_b21(a>0,b>0)的实轴顶点A且与x轴垂直的直线,E、F是双曲线的准线与x轴交点，点PL,e是离心率,EPF,H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sin-或arcsin】(当且仅eeab当|PA|时取等号)c2x54.L是双曲线a2吉1(a>0,b>0)焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交占占PL八、、：八、、■J:1EPF，离心率为e,半焦距为c，则为锐角且sin—2或earcsing(当且仅当eIPF1Ib,a2c2时取等号).c2x55.已知双曲线一2a2占1(a>0,b>0),直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于b两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则IRAI厅冋2以\2(a2——(当且仅当AB丄x轴时取等号)a56.设A、B是双曲线22気y21(a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PABabPBABPA,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)|PA|2严2cos21.(2)tantan1e2|accos|.(3)Spab222ab.22cotba2257.设A、B是双曲线—2ab的横坐标xAxBa2,(1)若过(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部的两点，且Xa、Xb点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，贝UPBA则PBAQBA180°.QBA;(2)若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，2258.设A、B是双曲线。
