广州市高二上学期期中考试数学试卷含答案.pdf

1 广东省广州市高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.设函数 y=的定义域为A，函数 y=ln（ 1-x）的定义域为B，则 AB=（）A. B. C. D. 2.已知命题p：?x0，ln（x+1） 0；命题 q：若 a b，则 a2b2，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D. 3.已知甲：，乙：，则甲是乙的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4.已知函数f（x） =3x-（ ）x，则 f（x）（）A. 是偶函数，且在R 上是增函数B. 是奇函数，且在R 上是增函数C. 是偶函数，且在R 上是减函数D. 是奇函数，且在R上是减函数5.为了研究某班学生的脚长x（单位： 厘米） 和身高 y（单位： 厘米） 的关系， 从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为= x+，已知xi=225，yi=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A. 160B. 163C. 166D. 1706.已知直线l1：2ax+（a+1）y+1=0，l2：（ a+1）x+（a-1）y=0，若 l1 l2，则 a=（）A. 2 或B. 或C. D. 7.设函数 f（x）=2sin（ x+ ）， x R，其中 0，| | 若 f（）=2，f（）=0，且 f（x）的最小正周期大于2 ，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B. C. D. 2 9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3 0.48 ）A. B. C. D. 10.利用随机模拟方法可估计无理数 的数值，为此设计如图所示的程序框图，其中rand（）表示产生区间（ 0，1）上的随机数，P 是 s 与 n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于（）A. B. C. D. 11.已知函数f（x） =|lgx|，若 0ab，且 f（a） =f（ b），则 a+2b 的取值范围是（）A. B. C. D. 12.已知圆 O 的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.由正整数组成的一组数据x1， x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_（从小到大排列）14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_15.若函数 f（x）=x2+（2a-1）x+1-2a在区间（ -1，0）及（ 0， ）内各有一个零点，则实数a 的取值范围是_16.某校早上8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5 分钟到校的概率为_（用数字作答）3 三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17.已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11，3Sn+1是 6 与 2Sn的等差中项（n N* ）（1）证明数列 Sn为等比数列；（2） bn=log3an，求数列 bn的前 n 项和 Tn18.ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知 a=bcosC+csinB（）求 B；（）若 b=2，求 ABC 面积的最大值19.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：组号分组频数14， 5）225， 6）836，7）747，83（1）现从融合指数在4，5）和 7， 8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家进行调研，求至少有1家的融合指数在7，8内的概率；（2）根据分组统计表求这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数4 20.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点 E 是棱 D1D 的中点，点 F 在棱 B1B 上，且满足B1F=2FB（1）求证： EF A1C1；（2）在棱 C1C 上确定一点G，使 A，E，G，F 四点共面，并求此时C1G的长；（3）求平面AEF 与平面 AA1D1D 所成锐二面角的余弦值21.已知二次函数f（x）=ax2+x（）若 f（sinx）（ x R）的最大值为，求实数a 的值；（）对于任意的x R，总有 |f（sinxcosx）| 1 求实数a的取值范围；22.如图， ABC 的边 AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足 2=，点 T（ -1，1）在 AC 边所在直线上且满足=0（I）求 AC 边所在直线的方程；（II）求 ABC 的外接圆的方程；（III ） 若点 N 的坐标为（-n， 0） ， 其中 n 为正整数试讨论在 ABC 的外接圆上是否存在点P， 使得 |PN|=|PT|成立？说明理由5 答案1.【答案】 D 【解析】解：由4-x20 ，解得： -2x2， 则函数 y=的定义域-2， 2，由对数函数的定 义域可知： 1-x0，解得： x1， 则函数 y=ln（ 1-x）的定 义域（ - ， 1），则 AB=-2， 1），故选： D根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得 A 和 B，即可求得 AB 本题考查函数定 义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题2.【答案】 B 【解析】解：命 题 p： ?x0， ln（ x+1） 0， 则命题 p为真命题， 则p 为假命题；取 a=-1， b=-2， ab，但a2b2， 则命题 q 是假命 题， 则q是真命 题 p q是假命 题， p q是真命 题，p q是假命 题， p q 是假命 题故选： B由对数函数的性 质可知命 题 p为真命题， 则p为假命题，命 题 q是假命 题， 则q是真命 题因此 p q为真命题本题考查命题真假性的判断，复合命 题的真假性，属于基 础题3.【答案】 A 【解析】解：由甲：可得 a+b2，且ab1；但是反之不成立，如取a=4， b=， 满足乙，a+b2， ab1，却推不出甲故甲是乙的充分非必要条件故选： A利用不等式的基本性 质即可判断出答案正确理解充分必要条件和熟练掌握不等式的基本性 质是解题的关键6 4.【答案】 B 【解析】解： f（ x） =3x-（ ）x=3x-3-x， f（ -x） =3-x-3x=-f（ x），即函数 f（ x） 为奇函数，又由函数 y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，故函数 f（ x） =3x-（ ）x为增函数，故选： B由已知得 f（ -x） =-f（ x），即函数f（ x） 为奇函数，由函数 y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，结合“ 增” -“ 减”=“增” 可得答案本题考查的知 识点是函数的奇偶性，函数的单调 性，是函数 图象和性 质的综合应用，难度不大，属于基础题5.【答案】 C 【解析】解：由线性回归方程为=4x+，则=xi=22.5， =yi=160，则数据的 样本中心点（22.5， 160），由回归直线方程样本中心点，则=-4x=160-4 22.5=70， 回归直线方程为 =4x+70，当 x=24 时， =4 24+70=166，则估计其身高为 166，故选： C由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将 x=24 代入回归直线方程即可估 计其身高7 本题考查回归直线方程的求法及回 归直线方程的 应用，考查计算能力，属于基础题6.【答案】 B 【解析】解： 直线 l1： 2ax+（ a+1） y+1=0， l2：（a+1） x+（ a-1） y=0，l1 l2， 2a（ a+1） +（ a+1）（a-1） =0，解得 a=或 a=-1故选： B由已知得 2a（ a+1） +（ a+1）（a-1） =0，由此能求出结果本题考查两直线垂直的性 质的应用，是基础题，解 题时要认真审题7.【答案】 A 【解析】解：由f（ x）的最小正周期大于 2 ，得，又 f（） =2， f（） =0，得， T=3 ， 则，即 f（ x） =2sin（ x+） =2sin（ x+ ），由 f（） =，得sin（ +） =1 +=， k Z取 k=0，得= ，=故选： A由题意求得，再由周期公式求得 ，最后由若 f（） =2 求得 值本题考查由三角函数的部分 图象求解析式，考查 y=Asin（ x+ ）型函数的性质，是中档题8.【答案】 B 【解析】8 解：由三 视图可得，直观图为 一个完整的 圆柱减去一个高 为 6 的圆柱的一半，V=?32 10-?326=63，故选： B由三视图可得，直观图为 一个完整的 圆柱减去一个高 为 6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档 题9.【答案】 D 【解析】解：由题意： M 3361， N 1080，根据对数性质有： 3=10lg3100.48， M 3361 （ 100.48）36110173，=1093，故选： D根据对数的性质： T=，可得： 3=10lg3100.48，代入M 将 M 也化为 10为底的指数形式，进而可得结果本题解题关键是将一个 给定正数 T 写成指数形式：T=，考 查指数形式与 对数形式的互化，属于简单题 10.【答案】 B 【解析】解：根据程序可知 P为频率，它趋近于在 边长为 1 的正方形中随机取一点落在扇形内的概率：=故选： B根据程序可知P 为频率，它趋近于在 边长为 1 的正方形中随机取一点落在扇形内的概率，将问题转化为几何概型 问题即可得到答案9 本题考查的知识点是程序框 图，其中根据已知中的程序流程 图分析出程序的功能，并将 问题转化为几何概型 问题是解答本 题的关键11.【答案】 C 【解析】解：因 为 f（ a） =f（ b），所以 |lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又 0ab，所以 0a1b，令，由 “ 对勾” 函数的性 质知函数 f（ a）在a （ 0， 1）上 为减函数，所以 f（ a） f（ 1） =1+=3，即a+2b的取值范围是（ 3， +）故选： C由题意f（ a） =f（ b），求出 ab的关系，然后利用 “ 对勾” 函数的性 质知函数 f（ a）在 a （ 0， 1）上 为减函数，确定 a+2b的取值范围本小题主要考 查对数函数的性 质、函数的单调 性、函数的值域，考生在做本小 题时 极易忽 视 a的取值范围，而利用均值不等式求得 a+2b=，从而错选 A， 这也是命 题者的用心良苦之处12.【答案】 D 【解析】解：如 图所示： 设 OP=x（ x0），则PA=PB=， APO=， 则 APB=2 ，sin = ，=（ 1-2sin2 ）=（ x2-1）（1-） =x2+-32-3，1 0 当且仅当 x2=时取“=”，故的最小 值为 2-3故选： D要求的最小值，我们可以根据已知中，圆 O 的半径为 1， PA、 PB为该圆的两条切线， A、B 为两切点，结合切线长定理，设出 PA， PB的长度和夹角，并将表示成一个关于 x 的函数，然后根据求函数最 值的办法， 进行解答本小题主要考 查向量的数量 积运算与 圆的切 线长定理，着重考 查最值的求法 -判别式法，同时也考查了考生 综合运用数学知 识解题的能力及运算能力13.【答案】 1，1，3，3 【解析】解：不妨 设 x1x2x3x4，依题意得 x1+x2+x3+x4=8， 即，所 以（ x4-2）24， 则 x44，结合 x1+x2+x3+x4=8，及中位数是 2，只能x1=x2=1， x3=x4=3， 则。