安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学Word版含解析.docx

2023级高二上学期11月期中考数学（人教A版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第I卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1. 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）A. 点和点关于x轴对称 B. 点和点关于平面对称C. 点和点关于y轴对称 D. 点和点关于平面对称【答案】B【解析】【分析】根据点的坐标对称关系判断即可.【详解】已知点和点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点和点关于平面对称故选：B.2. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（ ）A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据共面向量定理结合题意设，然后将向量的坐标代入列方程可求得结果.【详解】由题意得，，即，所以，解得.故选：D.3. 已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题设得反射光线所在直线的斜率为，再应用点斜式写出直线方程.【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点，所求直线的方程为，即.故选：A4. 若点在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆的一般方程以及点与圆的位置关系列式求解即可.【详解】因为点在圆的外部，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C.5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量在向量上投影向量计算公式求解.【详解】向量在向量上的投影向量为，故选：A6. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可.【详解】设，，则，将A，B的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，因此椭圆的焦距为，故选：B7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，根据得到轨迹方程，并得到，表达出，当时，面积最大，求出，，由余弦定理得到答案.【详解】由题意设，，，由得：，化简得，故，∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则，.∴.故选：D.8. 已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设Px0,y0，，结合椭圆上点到同侧焦点和准线的距离比为离心率得，根据角平分线的性质有，列方程求，即可得结果.【详解】根据对称，不妨设Px0,y0，.由题意得，，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则或B. 若，则C. 若直线不经过第四象限，则D. 若直线与轴负半轴和轴正半轴分别交于点，，为坐标原点，则面积最小值是20【答案】BD【解析】【分析】对于A、B，根据直线的位置关系，建立方程，通过验根，可得答案；对于C、D，由直线方程，求得斜率与截距、点的坐标，建立不等式组，可得答案.【详解】若，则，解得或，经检验时，这两条直线重合，所以，故A错误；若，则，解得，故B正确；若直线：不经过第四象限，则，解得，故C错误；，，则，解得，，令，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：BD.10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（ ）A. 离心率B. 的周长与点M的位置无关C. D. 直线与直线的斜率之积为定值【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆方程得到、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的定义判断B，根据椭圆的性质判断C，设，表示出斜率，即可判断D.【详解】因为椭圆C：，则，，，则离心率，故A错误；∵M是椭圆C上的动点（不与A，B重合），∴，故B正确；因为，即，故C正确；不妨设，，，则，所以，故D正确.故选：BCD.11. 如图，正方体的棱长为2，为上底面内部一点（包括边界），，分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当直线和直线所成的角是30°时，点的轨迹长度是B. 若平面，则的最小值为C. 若，则直线和底面所成的最大角是45°D. 平面被正方体所截的截面形状是六边形【答案】AB【解析】【分析】根据线面垂直得到线线垂直，即平面，则，进而得到，得到点的轨迹可判断A；由面面平行得到线面平行，即平面平面，则平面，得到点的轨迹可判断B；根据向量关系式确定点的位置，设点在底面的投影为，求出直线和底面所成角的正弦值可判断C；根据平面的性质作出平面被正方体所截的截面可判断D.【详解】对于A，由正方体得平面，平面，，在中，，，则，所以点的轨迹是上底面内以为圆心，以为半径的弧，所以点的轨迹长度是，故A正确；对于B，如图1， 分别取棱和的中点，，连接，，，，易证平面平面，若平面，则点段上运动，故的最小值即到的距离，即，故B正确；对于C，由得点段上，设点在底面的投影为，易得点段上，则为直线和底面所成的角，则，当最大时最小，因为，所以，则直线和底面所成的最小角是45°，故C错误；对于D，如图2， 延长，分别交，的延长线于点，，连接，，分别交，于点，，则平面被正方体所截的截面是五边形，故D错误.故选：AB.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________.【答案】【解析】【分析】求得线段垂直平分线方程并与直线可得圆心为，即可得半径为.【详解】由题意得的中点为，，则线段的垂直平分线为，即，联立，解得，即圆心，所以该圆的半径为.故答案为：13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可.【详解】因为，所以，其表示为圆的上半部分.设半圆上一动点Px,y，表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率，当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值，设直线的方程为，即，所以，解得或（舍去），则直线的斜率的最大值为；当点为2,1时，则直线的斜率取最小值，为，综上，的取值范围为.故答案为：. 14. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件列方程，求得的取值范围，由此列不等式，由此求得离心率的取值范围.【详解】，即，，当且仅当时等号成立.，由于，所以当或时，有最小值为，所以，则，即，即，解得.故答案为：【点睛】关键点睛：椭圆焦点和离心率的应用：通过利用椭圆的焦半径和离心率关系，结合椭圆上的点条件，推导出离心率的范围，这是解题的关键步骤.不等式解的准确性：通过解不等式，得出离心率的范围，确保计算过程中的符号处理正确，是确保结论正确的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.【答案】（1） （2）或.【解析】【分析】（1）由两条直线垂直求出所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可；（2）分截距为零和截距不为零两大类进行讨论求解即可.【小问1详解】因为，，所以，则直线的方程为，即.【小问2详解】当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为，将代入，得，解得，∴，即.当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为，将代入，得，解得，∴，即.综上，直线的方程为或.16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，分别为，的中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）建系，由方向向量的垂直即可求解；（2）建系，通过点到面距离的向量法即可求解.【小问1详解】以为坐标原点，，，分别为x，y，轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，，，，，，，，.易得，，所以，所以异面直线和垂直.【小问2详解】易得，.设平面的法向量为，则，即，令，则.因为，所以点到平面的距离为.17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点.（1）若弦的长度为，求直线的方程；（2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或. （2）存在，【解析】【分析】（1）分斜率存在与否进行分析，结合弦长公式.列方程求解，可得答案；（2）分斜率存在与否进行分析，联立方程，利用韦达定理，结合斜率与倾斜角的关系，可得答案.【小问1详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不妨得，，则，与题意不符，舍去.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx−1，即.由弦长公式得圆心到直线的距离为，所以，解得，故直线的方程为或.【小问2详解】当直线轴时，直线的方程为，不妨得，，此时x轴平分.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx−1，，Ax1,y1，Bx2,y2.联立，得，，所以，.若x轴平分，则，即，即，则，即，解得.综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立.18. 如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E，利用空间向量可得，进而可得线面、面面垂直；（2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E.因为，，所以，，，因为，，所以，即，所以，所以.因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.小问2详解】如图。