一级倒立摆控制方法比较.docx

一级倒立摆控制方法比较摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统针对一级倒立摆系统， 首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用 Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型，使模型 更具灵活性，给仿真带来很大方便根据状态方程判断系统的能控、能观性通过LQR控制算法和极点配置设 计控制器使系统达到稳定状态，分析两种方法的优缺点，并利用Matlab仿真加以证实关键词：倒立摆; LQR ;极点配置 ;MatlabDISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUMAbstract：the inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system, firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model, and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model.The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure. Designing the LQR control algorithm and pole-place makes the system stable state, analyzes the advantages and disadvantages of two methods confirmed through the simulation of MATLAB.Key words：Inverted pendulum ;LQR ;pole-place ;Matlab0 引言倒立摆系统作为研究控制理论的一种典 型的实验装置，具有成本低廉，结构简单， 物理参数和结构易于调整的优点。

研究倒立 摆系统具有很强的理论意义，同时也具有深 远的实践意义许多抽象的控制概念如稳定 性、能控性和能观性，都可以通过倒立摆系 统直观地表现出来希望对倒立摆的研究能 够加深对控制理论的了解，为后面学习奠定 坚实的基础倒立摆［1］的稳定控制主要可分为线性控 制和智能控制两大类，下面分别对其归纳介 绍1）线性理论控制方法应用线性控制方法的基本前提是倒立摆 处在平衡点附近，偏移很小时，系统可以用线性模型来描述线性控制的典型代表有： PID控制、状态反馈控制、LQR控制算法等2)智能控制方法智能控制融合了计算机科学、物理学、 数学、脑科学、心理学、认知学、生物学等 学科的思想，是自然学科与社会学科交叉渗 透的方法它源自于人的实践经验，不需要 精确的数学模型，是目前应用较广的控制方 法在倒立摆的控制中用到的智能控制方法 主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能 控制、拟人智能控制、云模型控制和泛逻辑 控制等［2-3］本论文采用LQR控制器和极点配置方法 对一级倒立摆系统进行控制，主要工作如下:1、 利用指导书中推导的模型和实际的参 数，建立一级倒立摆的数学模型，并进行 线性化；2、 通过simulink建立仿真模型并进行 封装；3、通过在matlab编程中求取合适的反 馈变量K,然后与仿真模型结合构成最优控 制的一级倒立摆，通过图形分析是否满足 系统的性能参数；4、 选取合适的极点并通过图形分析是否 满足系统的性能参数；5、 最后比较这两种方法优缺点。

1一级倒立摆数学模型1・1数学模型推导对系统建立数学模型是系统分析、设计 的前提，而一个准确有简练的数学模型将大 大简化后期工作对于忽略空气阻力和各种 摩擦之后，直线一级倒立摆系统抽象为小车 和匀质杆组成的系统［4］图1所示为一级倒 立摆模型图1倒立摆小车和摆杆的受力分析应用Newton方法来建立系统的动力学 方程如下：(1) 分析小车水平方向受力情况M =F-b -N (1)(2) 分析摆杆水平方向受力情况N=m dA^( x + l sin 6 ) (2)dx 2I IN=m +ml ■ -ml sin (3)(3) 把这式子⑶带入到(1)，就得到(m+M)；+bn+ml“ ： :r=F⑷(4)对摆杆垂直向上的力进行分析d2vP — mg = m-—； (lees8)P-mg=ml-匚工一 ..-;- (5)力矩平衡方程如下-PlsinB — NlcmB = 1(9 (6)将⑹与(5)合并消去P和N，所得( (7)根据文献［5］系统状态空间方程为：x = x•- — (I + ml2 )b - m 2 gl 2 © (x - I(M ml 2 I(M ) + Mml 2 I(M© =©I + ml 2) ) u+ m ) + Mml 2£ -mlb - mgl (M + m ) © ml -I(M ml 2 I(M ) + Mml 2 I(M ) + Mml 2表格 1本系统参数定义参数意义参数值M小车质量0.5kgm摆杆质量0.2kgb小车摩擦系统0.1N/m/sl摆杆转动轴心到0.3m杆质心的长度I摆杆惯量0.006kg*m*F111加在小车上的力x小车位置①摆杆与垂直向上方向的夹角e摆杆与垂直向下方向的夹角1.2系统仿真模型建立Simulink 是 Matlab 最重要的组件之一， 它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析 的集成环境。

在该环境中，可以构造出复杂 的仿真模型，下文根据倒立摆的数学模型， 利用 Simulink 的封装功能，构建了倒立摆系 统仿真模型子系统［5］根据倒立摆的状态空间模型，在Matlab 中，用 Simulink 构建一级倒立摆模块 daolibai,具体步骤如下：(1)双击 Matlab 图标，启动 Matlab， 在工具栏中双击 Simulink 图标启动 Simulink 模块库浏览器窗口，然后再单击其 工具栏中的新建(creat a new mode)图标， 新建一个 Simulink 模型窗口2)从 Simulink 模块库浏览器的菜单 Simulink的子菜单端口和子系统模块(Port & Subsystems)下选中子系统 Subsystem，并 用左键拖入到新建的 Simulink 模型窗口中 左击系统框图下字符串“ Subsystem ”，删 除后输入“ daolibai”，实现子系统的重新命 名3) 双击中的 daolibai 模块，从 Port &Subsystems 下在拖出三个输出模块 out， 把一个输入模块和四个输出模块分别重新命 名为：u和x、x '、a、a '，分别代表系统的输 入向量u和输出向量x、x'、©、0'。

4) 双击 daolibai 模块，然后从 Simulink 下子菜单“用户自定义函数模块”(User-Defined Functions)中拖出 Fen 子模 块，单击Fen子模块下的Fen，删除Fen重 新命名为K1；再双击Fen子模块并将对话框 中的“Expression”中的内容修改为：［-4 * b /( 4 * M + ml) ］*u,然后按OK,这就定义 好了 K15) 重复步骤4)依次定义K2, K3, K4, K5，K66) 在窗口中再加入四个积分模块和两 个加法模块，双击四个积分模块，把“Initial eondition ” 下 的 内 容 分 别 修 改 为“ init_eond( 1) 、 init_eond(2) 、 init_eond(3) 、 init_cond(4)”它们表示倒立摆的系统的初始 条件7) 利用Simulink的Mask功能进行封 装，封装后的模型如图3右击daolibai模块, 选择Mask Subsystem (封装子系统)菜单， 弹出子系统封装对话框，点击 Parmeters 标 签，在参数对话框中，依次添加 init_ cond、 M、 M 1、 l、 b 、 g 等各参数变量(8) 双击封装后的子系统，弹出模块的 参数对话框，分别输入上述各参数变量的值，完成后如图2。

CDX*CDif00.00440.06000.059500.0001-0.71150.71200-0.00000.69740.6970c=diag([1 1 1 1]);d=[0 0 0 0]';[V,t]=eig(A) %求A的特征值V =1.0000 -1.0000 -0.0613 0.0608• flu]*

通过构造Tc=[B,AB,..An-B] (n是系统的阶 数)，如果rank(Tc)=n,^J称系统完全能控Tc=ctrb(A,b)Tc =0 0.0559 -0.0003 0.01150.0559 -0.0003 0.0115 -0.00010 0.1399 -0.0008 0.13420.1399 -0.0008 0.1342 -0.0009rank(Tc)ans = 4可见，因为Tc矩阵的秩为4,等于系统 的阶数，所以系统完全可控3、 能观性系统完全能观取决于状态方程(A,C)矩 阵，因此对于完全能控的系统，通常称之为 (A， C)完全能控通过构造 To=[C,AC,..An-1C]T(n是系统的阶数)，如果 rank(To)=n则称系统完全能观To=obsv(A,c)To =1.0000 0 0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 1.000001.0000000-0.00560.0。