中考数学二轮培优训练专题16 婆罗摩笈多模型（原卷版）.doc

专题16 婆罗摩笈多模型婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C2）等线段：BC=DC CE=CG3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90°一、基础模型已知：四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线若点I为中点，则CH⊥BE，BE=2IC，S∆DCG=S∆BCE证明（思路）：①延长IC到点P，使PI=IC，连接PG先证明∆DIC≌∆GIP(SAS)，所以DC=PG，∠DCI=∠P 则DC‖PG∵四边形ABCD、CEFG为正方形∴DC=BC CE=CG ∠GCE=∠BCD=90° ∴BC=PG∵∠PGC= =180°-∠DCG (两直线平行同旁内角互补) ∠BCE=360°-90°-90°-∠DCG=180°-∠DCG∴∠PGC=∠BCE则∆PCG≌∆BEC(SAS) ∴∠PCG=∠CEB∵∠PCG+∠ECH=180°-90°=90°∴∠CEB +∠ECH=90° ∴∠CHE=90°∴CH⊥BE②∵∆PCG≌∆BEC ∴PC=BE ∴BE=2IC③S∆EBC=S∆PCG=S∆PIG+S∆GCI= S∆DIC+S∆GCI=S∆DCG【问题二 已知垂直证中点】已知：四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线若CH⊥BE, 则点I为中点，BE=2IC，S∆DCG=S∆BCE证明（思路）：①分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3由已知条件可得∆CDM≌∆BCH(AAS) ∴DM=CH CM=BH同理∆GCN≌∆CEH(AAS) ∴NG=CH NC=HE ∴NG=DM再证明∆DMI≌∆GNI(AAS) ∴DI=IG MI=NI则点I为中点②BE=BH+HE=CM+NC=NM+NC+NC=2NI+2NC=2IC③∵S∆BHC=S∆DMC S∆GNC=S∆CHE S∆DMI=S∆GNI ∴S∆DCG= S∆DCI + S∆GNI + S∆CNG= S∆DMC+ S∆GNC= S∆BHC+ S∆CHE= S∆BCE二、变形变形一：如图∆AOB、∆COD为等腰直角三角形，连接AC、BD，MN过点O且与AC交于点N、BD交于点M则有如下结论：1）若点N为中点，则MN⊥BD，2）若MN⊥BD，则点N为中点3）BD=2ON4）S∆BOD=S∆AOC证明（思路）：1）延长MN至点H，使NH=NO，连接HC先证明∆ANO≌∆CNH(SAS)，所以AO=HC，∠AON=∠H 则AO‖HC再证明∆HOC≌∆BDO(SAS) ∴∠COH=∠ODB HO=BD∴BD=2ON，S∆BOD=S∆AOC∵∠COH+∠DOM=90°∴∠ODB +∠DOM=90° ∴∠OMD=90°∴MN⊥BD2）方法一：构造一线三垂直模型（与问题二证明方法相同）方法二：在BD上截取一点P，使BP=ON，连接OP先证明∆ANO≌OBP(SAS) ∴∠ANO=∠BPO AN=OP ON=BP再证明∆NOC≌∆PDO(SAS) ∴NC=OP ON=PD ∴BD=2ON，S∆BOD=S∆AOC变形二：如图∆AOB、∆COD为等腰直角三角形，连接AC、BD，MN过点O且与AC交于点N、BD交于点M则有如下结论：1）若点N为中点，则MN⊥BD，2）若MN⊥BD，则点N为中点3）BD=2ON4）S∆BOD=S∆AOC证明（自行证明）：1）延长ON至点H，使ON=NH，连接AH2）在BD上截取DH=ON，连接OH 【培优训练】1．（2021秋·重庆·八年级重庆市大学城第一中学校校联考期中）如图，在锐角中，是边上的高，分别以为一边，向外作等腰和等腰其中，连接与的延长线交于点，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（2022春·四川自贡·八年级校考期中）如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论是(   　)A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④3．（2022·浙江温州·校考一模）如图， 在中以 为边向外作正方形与正方形， 连结， 并 过点作于并交于． 若， 则的长为 (      )．A． B． C． D．4．（2022秋·浙江温州·九年级温州市第十二中学校考阶段练习）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，延长，交边于点，连接，分别交边，于点，，已知，，则正方形的边长为（    ）A． B． C． D．5．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（      ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2022秋·八年级课时练习）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．7．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是_________．8．（2023秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期末）如图，以的两边，为边向形外作正方形，，则称这两个正方形为外展双叶正方形．有以下5个结论：①面积与面积相等．②过点作边的垂线交于点，则．③为边的中点，延长线与交于点，则且．④连接、相交于点，则且．⑤连结，为的中点，则且．其中正确的结论是_________（填序号）．9．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点．　（1）如图1，若，，易证：；（2）如图2，；如图3，，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．10．（2020·福建·统考模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写作法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程．11．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H．求证：（1）AMEG （2）AH⊥EG； （3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．12．（2019秋·湖北十堰·九年级校联考期末）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，(1)如图，若∠BAC＝90°，求证：AM＝EG，AM⊥EG；(2)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由；(3)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．13．（2019春·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，分别以的边为腰向外作等腰和等腰，连是的中线．     （1）知识理解：图①所示，当时，则与的位置关系为______，数量关系为______；（2）知识应用：图②所示，当时，M，N分别是BC，DE的中点，求证：且；（3）拓展提高：图③所示，四边形中，，分别以边和为腰作等腰和等腰，连，分别取、的中点，连．①求证：；②直接写出之间的数量关系．14．（2021秋·河南新乡·九年级统考期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系： ．15．（2019·安徽合肥·校联考一模）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．（1）求证：BE⊥DC；（2）若BE＝BC．①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求 的值．②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．16．（2020春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）（1）猜想发现如图1，已知△ABC，分别以AB和AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接DE．设△ABC的面积是S1，△ADE的面积是S2，猜想S1和S2的数量关系为　 　．（2）猜想论证如图2，已知△ABC，分别过点A作线段AD和AE，满足∠DAB+∠EAC＝180°，并且AD＝AC，AE＝AB，连接DE．设△ABC的面积是S1，△ADE的面积是S2，（1）中S1和S2的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）拓展探究如图3，点D是锐角∠ABC角平分线上的一点，满足BD＝CD，点E在BC上，且DE⊥DC．请问在射线BA上是否存在点F，使得S△BDE＝S△CDF，如果存在，请确定点F的位置并证明；如果不存在，请说明理由．17．（2019秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接DE.若M为BC中点，MA延长线交DE于点H，(1) 求证：AH⊥DE.(2) 若DE=4，AH=3，求△ABM的面积18．（2021春·四川成都·八年级校考期中）请解答下列各题：(1)如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，试猜想与的数量关系为_________．(2)如图2，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的大小关系，并说明理由．(3)如图3，在中，，以为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求长．(4)如图4，已。