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第8章 本构方程的原理第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler描述法质量守恒：动量守恒： 动量矩守恒：局部能量守恒：熵产率原理：≥0② Lagrange描述法：可用表示，也可以用表示上述公式2．几何关系式 其中以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中）②热传导过程（热力学中）本构方程式的建立：a）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料b）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设C）原理：从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义4．初始条件和边界条件以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类 力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等））材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应）材料的力学行为复杂唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）不管响应产生的机制如轴向拉压：图材料的破坏的二个最基本形式：① 韧性破坏（有明显的变形）② 脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。

这些条件包括：温度、应力状态等）如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等通常我们称某材料为韧性或脆性的，是以静载、常温、正常环境条件和应力状态下材料呈现的性质为依据的影响（决定）材料力学性质的主要因素有：1）材料的固有的成份、组成、内部构造等微观因素有关例如，一般的铸铁是脆性的，但球墨化可使其增韧；而钢中掺碳可使其增强变脆利用这一点可以人工改善材料性质，甚至设计材料目前自然界材料、普遍高强、低韧，人们要保持其强度，但要提高韧度形成一门科学性——材料科学-力学，较成功的材料为：陶瓷增韧2）材料的力学行为通常通过对构件进行实验，构件的尺寸、形状会影响材料的力学性质如岩石实验，用一块体作实验，实验结果严格地说应为结构的响应，并非真正的材料的响应，构件越大，包含缺陷越多3）外部环境：周围介质、温度、辐射、磁场4）加载方式：速度、交变、应力状态高速加载带粘性，交变使材料变脆，三向等拉变脆，三向等压变韧裂纹尖端三向等拉5）时间因素：老化理论上说：将上述因素作为参数，来确定一个区分韧性破坏和脆性破坏区的过渡区（但实际上要做到是很困难的，甚至不可能的）因此，要描述材料的力学性质是非常困难的，到目前为止，不可能用一个函数来直接、全部描述材料性质。

目前可行的办法：根据各种材料（常见材料），在一定条件下的主导行为（主要表现、性质、抓主要矛盾）进行分类建立相应的模型（模拟原型），及对应的理论每一个模型不是一种或一类材料力学性质的直接和全部的描述，而是多种材料在各自一定条件下共同主导行为的模拟这种在总体唯象方法上建立起来的材料性质的分类法称为流变学分类法，1930年由Bingham提出的，在50年代得到重要的发展例如：较一个典型的单元体，从它受干扰的响应分为：（单元体是一个微小系统，简称为系统）一、长程系统：材料的响应不仅与该系统的状态变量的现时值及其其全部历史有关，而且与物质其它质点（单元体）的状态变量及全部历史有关，甚至认为与体积力有关最复杂的材料性质）二、短程系统：材料的响应与本单元体的状态变量的现时值及其全部历史有关，与其它质点的状态参数无关力学中现有的流变模型大我数属短程系统短程系统分为两类：①梯度形：不仅与上述因素有关，而且与状态变量的梯度有关如：与，有关，且与有关②非梯度形：与状态变量梯度无关现学的本构方程属于这类）短程系统：① 老化；②非老化力学中研究的对象为：短程，非梯度型，非老化干扰→引起响应移去干扰→消减响应于是可得出以下的分类框图（未考虑材料的损伤）Plasticity塑性后效即时响应粘性Viscosity（热）弹性Thermo-elastisity嗣续性Heredity可逆响应不可逆响应通常将（热）弹性、塑性和粘性视作基本的流变模型。

其实材料在一定条件下，一般地可用上述三种模型之一或其组合来模拟如：弹塑性、粘弹性、粘塑性、弹-粘塑性等如上所述，这种流变分类法不是固有的，而是一种人为的分类方法，它只是提供材料一般性质的参考框架给定材料的行为，只相对于预期的用途和期望的精度而言，才可用一种流变模型来表示例如室温下的钢、按其设计用及期望精度可被视为下列模型：① 线弹性的——对于结构的静力分析（小变形）② 粘弹性的——对于振动阻尼分析③ 刚塑性的——对于塑性极限分析（土木）④ 弹性强化的——对精确计算残余变形⑤ 弹粘塑性的——对应力松驰分析⑥ 韧性损伤的——对于求加工限度（成型极限，分几次成型）⑦ 疲劳损伤的——对于估计构件寿命时2．状态变量（参数）力学-热学系统的状态要有一定的变量来描述或确定，称为状态变量状态变量变化必定引起或对应于状态变化，称为过程状态变量分两类：①独立的状态变量；②可用独立状态变量来表示的，称为状态函数体积、应变（）、温度（）称为独立变量，压力，应力（）、内能（）或自由能（），熵（）、热流矢（）称为状态函数状态变量之间的函数关系系，称为本构方程在空气动力学中称状态方程应变、组分浓度等称为运动性状态变量，与绝对温度一起构成为独立状态变量。

也可以应力作为独立状态变量相应地应变为状态函数广义虎克定律中可用应变表示应力，反之也行状态函数中有一类特殊函数，称为态函数，即此类函数只与独立状态变量的值有关，而与变化的过程（历史）无关，具体地说，与独立的状态变量的变率、无关，，、等是态函数，它们的增量是数学中的全微分§8.2 本构方程的表述方法三大方法：1．微观方法：在原子、分子或晶粒尺度上来考虑或模型材料的变形或断裂，再将微观变量（位错浓度、孔洞浓度、构成等）加以整体化或平均化，以获材料的客观行为（该法距离应用还远）对于微体力学，要用微观方法，如生物力学中血管流动力学等2．热力学方法：引入等价于真实介质的均匀介质（均匀、连续假设），引入宏观的内变量来反映材料行为的不可逆过程，即材料的历史相关性用，熊书77页）表示内变量，则本构方程可表示为：其中，为Euler（Cauchy）应力张量，为比熵，为比自由能（也可用比内能，），为热流矢 上述四类本构方程中，若为可逆过程，则没有出现，若为不可逆过程，则出现，由于的出现，多了未知数，因此，还要建立内变量的变化规律为（率方程）：3．泛函表述法（上面用“”表示泛函）：其中，左边的量与2中叙述相同，右边的量为：为该单元体以外所有的质点（长程系统），为该单元体内的质点，：表示时刻以前的所有的时间（≤≤）。

最后导出一个积分型的遗传规律（与历史有关），这个规律表示材料的特征函数微观方法难在：微观变量不好测量，且平均化有误差热力学方法难在：①引入的势函（自由能，耗散势）难于直接观测；②内变量按定义就是不可直接观测的，有人为的任意性泛函方法难在：具体写出泛函数的形式粘弹性力学用泛函方法，但不是直接写出泛函的形式，而是一个积分形式微观和宏观相结合的方法建立了本构方程，目前有用§8.3 本构方程的原理（相当于工程中的规范）1．确定性原理：认为任何力学—热学状态都是可确定的牛顿经典力学确定性原理：只要知道初始状态就可知任何状态近代力学确定性原理：只要知道现在和历史，方可知未来但现在的浑沌问题具有不确定性将来过去令：，为从现时刻回到时刻的经过的时间物质点在时刻以前的变形史 为现时刻，为过去时刻或记为：按确定性原理写出的本构方程为：其中称为本构泛函——单值性2．局部作用原理（短程原理）只与本身单元有关，与周围无关即：离开物质点有限距离之外的物质点的变形史与点的应力无关以为中心取一领域 即 设和是二个变形史，在内的物质点变形史完全一样，但在以外的物质点的变形史不一样，根据确定性原理，分别写出其本构方程，于是有：3．客观性原理：（时空系无关原理，标架无关原理）材料本构方程完全决定于材料本身的本构属性。

材料的本构方程与观察者所处的时空系无关；作相对运动的两个观察者观测同一个本构实验，应得到同一个本构方程以上为Noll三原则（1958年），后又提出以下原理（进一步完善）4．短暂记忆原理衰减记忆5．坐标系不变性原理本构方程是张量方程，张量是坐标系不变的6．许可性原理本构方程不违反守恒定律和熵不等式7．等存在性原理各类本构方程所包含的状态变量相同如果对一类本构方程证明某个变量难排除，则一般地在其它级本构方程中也不包含该变量§8.4 参考标架的变换，标架无关量1．参考标架的变换时空系：参考系+时钟在系中看： 在系中看： 时空系的变换：其中变换张量，（夹角余弦），与时间有关的正交变换张量设（为常数，即两个钟快慢一致）上述变换具有两个性质：①空间距离不变性（两事物发生地点的距离相同）②时间间隔不变化（两事物发生的时间差相同）1)空间距离不变性质系中：系中： 2）时间间隔不变性： （均只相差常数）2．标架无关量的变换规律：一个标架（一个观察者） ： 另一个标架（另一个观察者）标架变换规律1）标量： 称为标架无关标量，标量的变换规律，否则称为标架有关的标量2）矢量：两点之间的相对位置是一个标架无关的矢量或 或3）张量：中：矢量的变换为二阶张量，即 中，在什么条件下才称与标架无关张量？将一个标架无关矢量变换为另一个标架无关矢量的张量，称为标架无关张量。

则： 比较，有： 标架无关张量变换规律上述三种称为典型的规律本构方程是与标架无关，所以要研究与本构方程有关量的标架无关性3．力学中遇到的量的标架变换规律（力学的客观量与非客观量）①（矢性算子，）（本构方程中要用到它，如：）中：中：又，则 则 （现时构形中）现时构形中的矢性算子是标架无关的算子在参考构形中，中：中： （）它符合标量的变换规律，用它时，将就可写为② 变形梯度张量在中：在中：变形梯度张量相当于矢量的变换规律（原因是它为两点张量，只有与不同观察者有，而与参考标架无关）③ Green变形张量在中：在中：的标架变换规律符合标量变换规律（原因是它为物质张量，即一点张量，且在参考构形中）④ （与上同理，也为一点张量，物质张量）⑤ 极分解正交张量在中：在中：又 比较有：的变换规律相当于矢量变换规律（是一个两点张量）⑥ Cauchy应变张量。