2022年历年IMO国际奥林匹克数学竞赛试题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 59 年1. 求证 〔21n+4〕/〔14n+3〕 对每个自然数n 都是最简分数；x 的实数解：〔a〕 A=√22. 设√ 〔x+ √ 〔2x-1〕〕+ √ 〔x-√ 〔2x-1〕〕=A ,试在以下3 种情形下分别求出〔b〕A=1 ；〔c〕A=2 ；3. a、b、c 都是实数,已知 cos x 的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程, 使它的根与原先的方程一样； 当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x的方程式；4. 试作始终角三角形使其斜边为已知的c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值；5. 段 AB 上任意选取一点 M ,在 AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形 AMCD 、MBEF ,这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q,设这两个外接圆又交于 M 、N, 〔a.〕 求证 AF 、BC 相交于 N 点； （b.〕 求证 不论点 M 如何选取 直线 MN 都通过肯定点S； 〔c.〕 当 M 在 A 与 B 之间变动时,求线断 PQ 的中点的轨迹；6. 两个平面 P、Q 交于一线 p,A 为 p 上给定一点, C 为 Q 上给定一点,并且这两点都不在直线 p 上；试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于 CD ）,使得它有一个内切圆,并且顶点B、D 分别落在平面P 和 Q 上；60 年1. 找出全部具有以下性质的三位数N：N 能被 11 整除且N/11 等于 N 的各位数字的平方和；2. 查找使下式成立的实数x： 4x2/〔1 - √ 〔1 + 2x〕〕2 < 2x + 9 3. 直角三角形 ABC 的斜边 BC 的长为 a,将它分成 n 等份（ n 为奇数）,令 a 为从 A 点向中间的那一小段线段所张的锐角,从 A 到 BC 边的高长为 h,求证： tan a = 4nh/〔an2 - a〕. 4. 已知从 A 、B 引出的高线长度以及从 A 引出的中线长,求作三角形 ABC ；5. 正方体 ABCDA'B'C'D' （上底面 ABCD ,下底面 A'B'C'D' ）；X 是对角线 AC 上任意一点,Y 是 B'D' 上任意一点； a. 求 XY 中点的轨迹； b. 求〔a〕中轨迹上的、并且仍满足 ZY=2XZ 的点 Z 的轨迹；6. 一个圆锥内有一内接球,又有一圆柱体外切于此圆球,其底面落在圆锥的底面上；令 V1 为圆锥的体积, V2 为圆柱的体积； 〔a〕. 求证： V1 不等于 V2 ； 〔b〕. 求 V1/V2 的最小值；并在此情形下作出圆锥顶角的一般；7. 等腰梯形 ABCD ,AB 平行于 DC, BC=AD ；令 AB=a,CD=c ,梯形的高为 h；X 点在对称轴上并使得 角 BXC 、AXD 都是直角；试作出全部这样的 X 点并运算 X 到两底的距离；再争论在什么样的条件下这样的 X 点的确存在；61 年1. 设 a、b 是常数,解方程组 x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2 并求出如使 x、y、z 是互不相同的正数, a、b 应满意什么条件？2. 设 a、b、 c 是某三角形的边, A 是其面积,求证： a2 + b2 + c2 >= 4 √ 3 A. 并求出等号何时成立；名师归纳总结 3. 解方程cosnx - sinnx = 1, 其中 n 是一个自然数；第 1 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. P 是三角形 ABC 内部一点, PA 交 BC 于 D,PB 交 AC 于 E,PC 交 AB 于 F,求证 AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2；5. 作三角形 ABC 使得 AC=b, AB=c ,锐角 AMB = a,其中 M 是线断 BC 的中点；求证这个三角形存在的充要条件是 b tan〔a/2〕 <= c < b. 又问上式何时等号成立；6. 三个不共线的点 A 、B、C,平面 p 不平行于 ABC ,并且 A、 B、C 在 p 的同一侧；在 p上任意取三个点 A', B', C' , A'', B'', C'' 设分别是边 AA', BB', CC' 的中点, O 是三角形 A''B''C''的重心；问,当 A',B',C' 变化时, O 的轨迹是什么？62 年第 4 届1. 找出具有以下各性质的最小正整数n：它的最终一位数字是6,假如把最终的6 去掉并放在最前面所得到的数是原先数的4 被；2. 试找出满意以下不等式的全部实数x： √〔3-x〕- √ 〔x+1〕 > 1/2.3. 正方体 ABCDA'B'C'D' （ABCD 、A'B'C'D' 分别是上下底） ；一点 x 沿着正方形 ABCD 的边界以方向 ABCDA 作匀速运动；一点 Y 以同样的速度沿着正方形 B'C'CB 的边界以方向B'C'CBB' 运动；点 X、 Y 在同一时刻分别从点 A、B'开头运动；求线断 XY 的中点的轨迹；4. 解方程 cos2x + cos22x + cos23x = 1 ；5. 在圆 K 上有三个不同的点A 、B、C；试在 K 上再作出一点D 使得这四点所形成的四边形有一个内切圆；6. 一个等腰三角形,设R 为其外接圆半径,内切圆半径为r,求证这两个圆的圆心的距离是√〔R〔R-2r〕〕；7. 求证：正四周体有 5 个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切； 反过来,假如一个四周体有 5 个这样的球,就它必定是正四周体；63 年第 5 届1. 找出以下方程的全部实数根（其中 p 是实参数）： √ 〔x2-p〕+2 √ 〔x2-1〕 = x. 2. 给定一点 A 及线断 BC,设空间中一点 P 使得存段 BC 上有一点 X 满意 角 APX 是直角,试求出全部这样的点 P 的轨迹；3. 在一个 n 边形中,全部内角都相等,边长依次是 a1 >= a2 >= ... >= an ,求证：全部边长都相等；名师归纳总结 4. 设 y 是一个参数,试找出方程组xi + xi+2 = y xi+1 〔i = 1, ... , 5〕的全部解x1, ... , x5 ；第 2 页,共 24 页5. 求证cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 五个同学 A、B、C、D、E 参与竞赛,一种推测说竞赛结果的名次依旧是 ABCDE ；但是实际上没有一位同学的名次被猜中, 而且推测中名次相邻的同学也没有真的相邻 （例如, C、D 两位同学名次不是 〔1,2〕、〔2,3〕、〔3,4〕、〔4,5〕中的任何一种） ；仍有一种推测说结果会是 DAECB的次序；实际上是恰好有两个同学所得的名次与推测的一样；而且有两对同学（ 4 个不同的同学）的名次像推测中的一样是相连；试争论最终的名次如何？64 年第 6 届1. 〔a〕 求全部正整数n 使得 2n - 1 能被 7 整除；〔b〕 求证不存在正整数n 使得2n + 1 能被 7 整除；2. 假设 a、b、c 是某三角形的三边长, 求证： a2〔b + c - a〕 + b2〔c + a - b〕 + c2〔a + b - c〕 <= 3abc. 3. 三角形 ABC 的三边长为别为 a、b、c；分别平行于 ABC 的各边作三角形 ABC 内切圆的切线,每条切线都在 ABC 中又切出一个小三角形,再在每个这样的小三角形中作内切圆,求这四个内切圆的面积之和（用 a,b,c 表示）；4.十七个人相互通信, 每一个人都和其他人写信；在他们的信上一共争论有三个不同的话题,每两个人只争论一个话题,求证：这些人当中至少有三个人他们所争论的话题是一样的；5.平面上有五个点,任意两点的连线都不平行,也不垂直,现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线,试求出全部这些垂线的交点的最大数目；6.四周体 ABCD 的中心是 D0 ,分别过 A、B、C 作 DD0 的平行线,这些线分别交平面 BCD 、CAD 、ABD 于点 A0 、 B0、 C0,求证： ABCD 的体积是 A0B0C0D0 的三分之一；再问如果 D0 为三角形 ABC 内的任意一点,结果是否仍旧成立？65 年第 7 届1. 试找出全部位于区间[0, 2pi] 的 x 使其满意2 cos x ≤ | √ 〔1 + si n 2x〕 - √ 〔1 - sin 2x〕| ≤ √2 . 2. 如下方程组的系数 aij , a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0 满意： a. a11、 a22、 a33 是正数, 其余是负数；b. 每个方程中的系数之和是正的； 求证：该方程组的有唯独的解 x1 = x2 = x3 = 0 ；3. 四周体 ABCD 被平行于 AB 、CD 边的一个平面分割成两部分,并且该平面到 AB 边的距离是该平面到 CD 边距离的 k 倍；试求出 这两部分的体积比；4. 四个实数, 它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于 值；5. 三角形 OAB 中的角 O 是锐角, M 是边 AB 上任意一点,从2,求出这四个数的全部可能M 向 OA 、OB 边引垂线,垂名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 足分别为 P、Q；设三角形OPQ 的垂心为,求出当M 在 AB 边上移动时点H 的轨迹；如M在三角形 OAB 内部移动是 H 的轨迹又是什么？6. 平面上给定了 n>2 个点,任何两点之间都有线断相连,这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径,求证：长度为直径的线断至多有 n 条；66 年第 8 届1. 在一次数学竞赛中共有A 、B、 C 三道题, 25 名参赛者每人至少答对了一题；在全部没有答对 A 的同学中,答对B 的人数是答对C 的人数的两倍,只答对问题A 的人数比既答对A 又至少答对其他一题的人数多1；又已知在全部恰好答对一题的参赛者中,有一半没有答对 A ；请问有多少同学只答对 B？2. 三角形 ABC ,假如, BC + AC = tan C/2 〔BC tan A + A。