绝对值三角不等式图文.ppt

§ §2.1 2.1 绝对值不等式绝对值不等式|a|=|a|AaOx几何意义几何意义:|a|表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A到原点的距离到原点的距离.复习引入复习引入1. 实数实数 a 的绝对值的绝对值 |a| 的定义是什么？的定义是什么？|a-b|AaBxb几何意义：几何意义：表示数轴上实数表示数轴上实数a,b对应的点对应的点A，，B之间之间的距离，即线段的距离，即线段AB的长度的长度复习引入复习引入2.2.设设a,ba,b为任意两个实数，则为任意两个实数，则|a|a－－b| b| 的几何意的几何意义是什么？义是什么？3.3.设设a,ba,b为任意两个实数，则为任意两个实数，则| |a+ba+b| | 的几何的几何意义是什么？意义是什么？3.3. 实数实数 a a 的绝对值的绝对值 | |a a| | 的运算性质的运算性质思考： |a| +|b|=|a+b| ？？ |a| -|b|=|a - b| ？？复习引入复习引入|a||b|＝＝ |ab|你能用恰当的方法在数轴上把你能用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|表示出来吗？表示出来吗？xO aba+bxOaba+bxOaba+bxOaba+bab>0ab<0探究新知探究新知 （1）a·b>0时 |a+b|＝|a|+|b|xabOa+bxabOa+bxabOa+bxabOa+b（2）a·b<0时 （3）a·b=0时 |a+b|<|a|+|b||a+b|=|a|+|b|探究新知探究新知 定理定理1: 如果如果a,b是实数是实数,则则|a+b| |a|+|b|当且仅当当且仅当ab 0时时,等号成立等号成立.1、如果把定理、如果把定理1中的实数中的实数a,b分别换为向分别换为向量量 ,能得出什么结果能得出什么结果? 当向量当向量 不共线时，不共线时，Oxy当向量当向量 共线时，共线时，同向同向：：反向反向：：定理1的几何意义 当且仅当当且仅当 ，，等号成立等号成立.由于定理由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为中的不等式为绝对值三角不等式绝对值三角不等式.定理定理1: 如果如果a,b是实数是实数,则则|a+b| |a|+|b|当且仅当当且仅当ab 0时时,等号成立等号成立.推广：推广：何时取等号？何时取等号？何时取等号？何时取等号？定理定理1: 如果如果a,b是实数是实数,则则|a+b| |a|+|b|当且仅当当且仅当ab 0时时,等号成立等号成立.分析分析:由于由于a-c, a-b与与b-c都是实数都是实数,且且a-c=(a-b)+(b-c)证明证明:根据定理根据定理1,有有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)| |a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c) 0时时,等号成等号成立立.则可使用定理则可使用定理1的结论进行证明的结论进行证明.整体代换思想整体代换思想探究：你能给出定理2的几何解释吗？数轴上任意一点到两点的距离的和，不小于这数轴上任意一点到两点的距离的和，不小于这两点的距离。

两点的距离定理定理2：： 如果如果a, b, c是实数，那么是实数，那么 |a-c| ≤ |a-b| + |b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)≥0时等号成立时等号成立问：问： |a|-|b|与与|a+b|，，|a|-|b|与与|a-b|有什么关系有什么关系?||a|-|b|| |a-b|，，当且仅当当且仅当ab ≥ 0，等号成立，等号成立 定理定理1的完善的完善 由定理由定理1知：知：|a+b| |a|+|b|，， |a-b| |a|+|b|||a|-|b|| |a-b| |a|+|b|，，||a|-|b|| |a+b| |a|+|b|，，左左边取等的条件为边取等的条件为abab  0：：右右边取等的条件为边取等的条件为ab ≥0 左左边取等的条件为边取等的条件为ab ≥0 ：：右右边取等的条件为边取等的条件为ab  0定理定理1的完善的完善 例例1:已知已知 >0 |x-a|<  |y-b|< , 求证求证:|2x+3y-2a-3b|<5 证明证明:|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| |2(x-a)|+|3(y- b)|=2|x-a|+3|y-b|<2 +3 =5 故故 |2x+3y-2a-3b|<5  典例示范，应用新知典例示范，应用新知练习1．若．若a、、b∈∈R，则以下命题正确的是，则以下命题正确的是(　　 　　)A．．|a|－－|b|≤|a＋＋b|≤|a|＋＋|b|B．．|a|－－|b|＜＜|a－－b|＜＜|a|＋＋|b|C．当且仅当．当且仅当ab＞＞0时，时，|a＋＋b|＝＝|a|＋＋|b|D．当且仅当．当且仅当ab≤0时，时，|a－－b|＝＝|a|－－|b|A2．设．设a，，b是满足是满足ab＜＜0的实数，则下列不等式中正确的的实数，则下列不等式中正确的是是(　　 　　)A．．|a＋＋b|＞＞|a－－b|　　　　　　　　　　B．．|a＋＋b|＜＜|a－－b|C．．|a－－b|＜＜||a|－－|b|| D．．|a－－b|＜＜|a|＋＋|b|3．若．若|a＋＋b|＜－＜－c，则下列不等式：，则下列不等式：①①a＜－＜－b－－c；；②②a＋＋b＜＜c；；③③a＋＋c＜＜b；；④④|a|＋＋c＜＜|b|；；⑤⑤|a|＋＋|b|＜－＜－c.其中，一定其中，一定成立的个数是成立的个数是(　　 　　)A．．1个个 B．．2个个C．．3个个 D．．4个个BB4. 函数函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为（的最小值为（））A.2B.C.4D.65. 方程方程 的解集为的解集为______________ 不等式不等式 的解集为的解集为_______________ A答案： {x|-30} {x|x>2或x<0}6．不等式．不等式 ≥1成立的充要条件是成立的充要条件是________．．(－3,8)|a|＞＞|b|5　 19. 求函数求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值的最大值和最小值.解：∵||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4.即ymax=4, ymin=-4.3．含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如：．含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如：|a1＋＋a2＋＋a3|≤|a1|＋＋|a2|＋＋|a3|；；|a1＋＋a2＋＋…＋＋an|≤|a1|＋＋|a2|＋＋…＋＋|an|；；|a|－－|b|≤|a－－b|≤|a|＋＋|b|.4．求函数．求函数f(x)＝＝|x－－1|＋＋|x＋＋1|的最小值．的最小值．解：解：∵∵|x－－1|＋＋|x＋＋1|＝＝|1－－x|＋＋|x＋＋1|≥|1－－x＋＋x＋＋1|＝＝2，，当且仅当当且仅当(1－－x)(1＋＋x)≥0，，即－即－1≤x≤1时取等号．时取等号．∴∴当－当－1≤x≤1时，函数时，函数f(x)＝＝|x－－1|＋＋|x＋＋1|取得最小值取得最小值2.5．若对任意实数，不等式．若对任意实数，不等式|x＋＋1|－－|x－－2|>a恒成立，求恒成立，求a的的 取值范围．取值范围．解：解：a<|x＋＋1|－－|x－－2|对任意实数恒成立，对任意实数恒成立，∴∴a<[|x＋＋1|－－|x－－2|]min.∵∵||x＋＋1|－－|x－－2||≤|(x＋＋1)－－(x－－2)|＝＝3，，∴∴－－3≤|x＋＋1|－－|x－－2|≤3.∴∴[|x＋＋1|－－|x－－2|]min＝－＝－3.∴∴a<－－3.即即a的取值范围为的取值范围为(－－∞，－，－3)．．公路牌例例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第牌的第10km和第和第20km处处.现要在公路沿线现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一工队每天在生活区和施工地点之间往返一次次. 要使两个施工队每天往返的路程之和最要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？小，生活区应该建于何处？.10.20.x分析分析:如果生活区建于公路路碑的第如果生活区建于公路路碑的第x km处处,两个两个施工队每天往返的路程之和为施工队每天往返的路程之和为S(x) km.那么那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题转化为数学问题故实际问题转化为数学问题:当当x取何值时取何值时,函数函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值取得最小值.解解:设生活区应该建于公路路碑的第设生活区应该建于公路路碑的第x km处处,两个两个施工队每天往返的路程之和为施工队每天往返的路程之和为S(x) km,则则:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)方法方法1：去绝对值变成分段函数：去绝对值变成分段函数:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS10 20 3020406060-4x020S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20| |(x-10)-(x-20)|=10当且仅当当且仅当(x-10)(x-20) ≤0时取等号时取等号.又解不等式又解不等式: (x-10)(x-20) ≤0得得: 10 x 20故当故当10 x 20时时, 函数函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值取最小值20.方法方法2：定理：定理1S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| |(x-10)+(20-x)|=10当且仅当当且仅当(x-10)(20-x) 0时取等号时取等号.又解不等式又解不等式: (x-10)(20-x) 0 得得: 10 x 20故当故当10 x 20时时, 函数函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值取最小值20.方法方法3：定理：定理2反思盘点，整合新知反思盘点，整合新知1.两个定理及拓展：定理两个定理及拓展：定理1、定理、定理2及几何意义；及几何意义； 及两边取等号的条件及两边取等号的条件2.三种思想：分类讨论、数形结合、整体代换三种思想：分类讨论、数形结合、整体代换精选作业，拓展新知：精选作业，拓展新知：2. 能力提升（选作）：能力提升（选作）：3.预习准备：课本预习准备：课本P15---19 绝对值不等式的绝对值不等式的 解法解法 。