养老保险精算基础第二节.ppt

第二章第二章 养老保险精算基础养老保险精算基础学习要点：学习要点：1.1.实际利率、名义利率实际利率、名义利率2.2.实际贴现率、名义贴现率实际贴现率、名义贴现率3.3.期末付年金、期初付年金以及付款次数多期末付年金、期初付年金以及付款次数多 于计息次数的年金于计息次数的年金4.4.寿险保费的基本原理以及保费算寿险保费的基本原理以及保费算5.5.责任准备金的计算责任准备金的计算第一节第一节第一节第一节 利息与年金利息与年金利息与年金利息与年金§一、利息的度量一、利息的度量一、利息的度量一、利息的度量 （一）利息的含义（一）利息的含义（一）利息的含义（一）利息的含义 定义：定义：定义：定义：在一定时期内，借用一定数量的资本所在一定时期内，借用一定数量的资本所在一定时期内，借用一定数量的资本所在一定时期内，借用一定数量的资本所付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬一般用一般用一般用一般用I I I It t t t表示。

表示 在某种意义上，利息可以理解为在某种意义上，利息可以理解为在某种意义上，利息可以理解为在某种意义上，利息可以理解为租金租金租金租金的一种形的一种形的一种形的一种形式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段时间内不能使用该笔资金所引起的损失时间内不能使用该笔资金所引起的损失时间内不能使用该笔资金所引起的损失时间内不能使用该笔资金所引起的损失 一般来说，利息包含对一般来说，利息包含对一般来说，利息包含对一般来说，利息包含对机会成本的补偿和对风机会成本的补偿和对风机会成本的补偿和对风机会成本的补偿和对风险的补偿险的补偿险的补偿险的补偿 ●几个基本概念：几个基本概念：几个基本概念：几个基本概念：本金、积累值、第本金、积累值、第本金、积累值、第本金、积累值、第t t t t时刻的利息、初时刻的利息、初时刻的利息、初时刻的利息、初始时刻到第始时刻到第始时刻到第始时刻到第t t t t时刻的利息、积累函数、折（贴）现函时刻的利息、积累函数、折（贴）现函时刻的利息、积累函数、折（贴）现函时刻的利息、积累函数、折（贴）现函数、现值数、现值数、现值数、现值■本金：本金：本金：本金：开始时投资的金额或用来生息的初始投资资本开始时投资的金额或用来生息的初始投资资本开始时投资的金额或用来生息的初始投资资本开始时投资的金额或用来生息的初始投资资本 称为本金。

一般用称为本金一般用称为本金一般用称为本金一般用P P P P表示 ■积累值（终值）：积累值（终值）：积累值（终值）：积累值（终值）：本金在一定时间之后所积累的数额本金在一定时间之后所积累的数额本金在一定时间之后所积累的数额本金在一定时间之后所积累的数额 或业务开始一定时间之后回收的总金额称为该时刻或业务开始一定时间之后回收的总金额称为该时刻或业务开始一定时间之后回收的总金额称为该时刻或业务开始一定时间之后回收的总金额称为该时刻 的积累值（终值）一般用的积累值（终值）一般用的积累值（终值）一般用的积累值（终值）一般用A A A At t t t或或或或A A A A（（（（t t t t））））表示第一节第一节 利息与年金利息与年金■第第第第t t t t时刻的利息（时刻的利息（时刻的利息（时刻的利息（I I I It t t t）：）：）：）：012…..t-1t第1期第2期第t期It=At-At-1■从初始时刻到第从初始时刻到第从初始时刻到第从初始时刻到第t t t t时刻的利息：时刻的利息：时刻的利息：时刻的利息： At-P=I1+I2+···+It影响利息大小的三要素：影响利息大小的三要素：影响利息大小的三要素：影响利息大小的三要素：本金、利息率、时间本金、利息率、时间本金、利息率、时间本金、利息率、时间■积累函数：积累函数：积累函数：积累函数：也称为也称为也称为也称为t t t t期积累因子，是单位本金在期积累因子，是单位本金在期积累因子，是单位本金在期积累因子，是单位本金在t t t t期末期末期末期末 的积累值。

的积累值的积累值的积累值 考虑考虑考虑考虑1 1 1 1单位本金，定义该投资在第单位本金，定义该投资在第单位本金，定义该投资在第单位本金，定义该投资在第t t t t时刻的积累值为时刻的积累值为时刻的积累值为时刻的积累值为 a(t) a(t) a(t) a(t)，我们将，我们将，我们将，我们将a(t)a(t)a(t)a(t)定义为该投资的积累函数其中，定义为该投资的积累函数其中，定义为该投资的积累函数其中，定义为该投资的积累函数其中， a(0)=1 a(0)=1 a(0)=1 a(0)=1 假设初始投资为假设初始投资为假设初始投资为假设初始投资为K K K K，那么，那么，那么，那么 A (t)=K·a(t)A (t)=K·a(t)A (t)=K·a(t)A (t)=K·a(t) a(t)a(t)a(t)a(t)可以看作是积累值可以看作是积累值可以看作是积累值可以看作是积累值A (t)A (t)A (t)A (t)在在在在K=1K=1K=1K=1时的特例时的特例时的特例时的特例 ■ t t t t期折现因子或折现函数期折现因子或折现函数期折现因子或折现函数期折现因子或折现函数：：为了使在第为了使在第为了使在第为了使在第t t t t期末的积累期末的积累期末的积累期末的积累值为值为值为值为1 1 1 1，而在开始时进行投资的本金金额，一般用，而在开始时进行投资的本金金额，一般用，而在开始时进行投资的本金金额，一般用，而在开始时进行投资的本金金额，一般用PVPVPVPV表表表表示折现值。

例如：为了使示折现值例如：为了使示折现值例如：为了使示折现值例如：为了使t t t t期末的积累值期末的积累值期末的积累值期末的积累值a(t)=1a(t)=1a(t)=1a(t)=1，而在，而在，而在，而在初初初初期进行投资的本金金额期进行投资的本金金额期进行投资的本金金额期进行投资的本金金额 折现因子或折现函数表现为折现因子或折现函数表现为折现因子或折现函数表现为折现因子或折现函数表现为积累因子的倒数：积累因子的倒数：积累因子的倒数：积累因子的倒数： a a a a-1-1-1-1(t)(t)(t)(t)，，，，一般定义一般定义一般定义一般定义1 1 1 1期折现因子为期折现因子为期折现因子为期折现因子为v v v v，，，， v= a v= a v= a v= a-1-1-1-1(1)=1/1+i(1)=1/1+i(1)=1/1+i(1)=1/1+i 例如：如果例如：如果例如：如果例如：如果a(t)=1+2t,a(t)=1+2t,a(t)=1+2t,a(t)=1+2t, a a a a-1-1-1-1(t)=1/(1+2t)(t)=1/(1+2t)(t)=1/(1+2t)(t)=1/(1+2t)。

A (t)=K·a(t)A (t)=K·a(t)A (t)=K·a(t)A (t)=K·a(t)，如果，如果，如果，如果K= aK= aK= aK= a-1-1-1-1(t)(t)(t)(t)，那么：，那么：，那么：，那么： A (t)=K·a(t)= a A (t)=K·a(t)= a A (t)=K·a(t)= a A (t)=K·a(t)= a-1-1-1-1(t)·a(t)=1(t)·a(t)=1(t)·a(t)=1(t)·a(t)=1 ■现值现值 为了在为了在t t期末得到某个积累值，而在开始期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）折现值）折现因子：为了使在第折现因子：为了使在第t t期末的积累值为期末的积累值为1 1，而，而在开始时进行投资的本金金额在开始时进行投资的本金金额如果如果t t期末支付期末支付k k，那么，那么t t期末期末k k的现值为的现值为 k ·a k ·a-1-1(t)(t)（二）实际（二）实际利率利率 利率是利息的利率是利息的第一种第一种度量方式，可以将度量方式，可以将绝对数的利息转变为相对数，去掉量纲、规绝对数的利息转变为相对数，去掉量纲、规模等影响，用以衡量借款成本或投资收益。

模等影响，用以衡量借款成本或投资收益 实际利率是指该度量期内得到的利息实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金之间的比金额与此度量期开始时投资的本金之间的比率，一般用率，一般用i it t代替，用百分数表示代替，用百分数表示 ■实际利率的计算公式实际利率的计算公式实际利率的计算公式实际利率的计算公式 实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息金额，与给定的时期有关金额，与给定的时期有关金额，与给定的时期有关金额，与给定的时期有关 例题：例题：1. 教材教材p8（三）单利和复利（三）单利和复利 在投资期为多个或非整数个度量期在投资期为多个或非整数个度量期时，根据实际利率计算积累值和利息的两种时，根据实际利率计算积累值和利息的两种不同的方式不同的方式 ■■■■单利单利 只有本金产生利息，而已产生的利息只有本金产生利息，而已产生的利息在后面的时期不再生息。

在后面的时期不再生息 考虑考虑1 1单位本金，如果在单位本金，如果在t t时刻的积累时刻的积累值值为：为：a (t)=1+i ta (t)=1+i t ，那么可以说该笔投资以每，那么可以说该笔投资以每期期单利单利i i计息，并将这样产生的利息称为单利计息，并将这样产生的利息称为单利单利计息的特征单利计息的特征: : 1. 1. 利息恒定利息恒定 I It t=A(t)-A(t-1)=A(t)-A(t-1) =k[a(t)-a(t-1)] =k[a(t)-a(t-1)] =k[1+it-1-i(t-1)]=k[1+it-1-i(t-1)] =k i =k i 2. 2. 实际利率递减实际利率递减 d it /d t<0 因此，因此，i it t递减递减■复利复利 本金和已产生的利息一起在之后的时期生本金和已产生的利息一起在之后的时期生息。

息 如果在如果在t t时的积累值为：时的积累值为：a (t)=(1+i)a (t)=(1+i)t t, ,那么那么可以说该笔投资以每期复利可以说该笔投资以每期复利i i计息，并将这样产计息，并将这样产生的利息称为复利生的利息称为复利复利计息的特征复利计息的特征: : 1. 1. 各期利息不同各期利息不同 I I I It t t t=A(t)-A(t-1)=A(t)-A(t-1)=A(t)-A(t-1)=A(t)-A(t-1) =k[(1+i)=k[(1+i)=k[(1+i)=k[(1+i)t t t t-(1+i)-(1+i)-(1+i)-(1+i)t-1t-1t-1t-1] ] ] ] =ki(1+i)=ki(1+i)=ki(1+i)=ki(1+i)t-1t-1t-1t-1  2. 2. 2. 2. 实际利率恒定实际利率恒定实际利率恒定实际利率恒定 ■单利与复利的比较单利与复利的比较 1.1.1.1. 从积累函数看从积累函数看 单个度量期（单个度量期（t=1t=1））: : 1+it=(1+i)1+it=(1+i)t t 结果相同结果相同 较长时期（较长时期（t>1t>1））: : (1+i) (1+i)t t>1+it >1+it 复利产生更大积复利产生更大积累值累值 较短时期（较短时期（t<1t<1））: : (1+i) (1+i)t t<1+it <1+it 单利产生更大积单利产生更大积累值累值 2. 2. 2. 2. 从增长形式看从增长形式看从增长形式看从增长形式看单利单利单利单利：同样长时间积累：同样长时间积累：同样长时间积累：同样长时间积累值增长的绝对金额为常值增长的绝对金额为常值增长的绝对金额为常值增长的绝对金额为常数。

数a (t + s) – a (t)=s a (t + s) – a (t)=s a (t + s) – a (t)=s a (t + s) – a (t)=s · i· i· i· i 利息与时间长度利息与时间长度利息与时间长度利息与时间长度s s s s成比，成比，成比，成比，与与与与t t t t无关 复利：复利：复利：复利：同样长时间积累值同样长时间积累值同样长时间积累值同样长时间积累值增长的相对比率保持为常增长的相对比率保持为常增长的相对比率保持为常增长的相对比率保持为常数在实务中，期限达到或超在实务中，期限达到或超在实务中，期限达到或超在实务中，期限达到或超过一个度量期的金融业务过一个度量期的金融业务过一个度量期的金融业务过一个度量期的金融业务几乎全部使用复利几乎全部使用复利几乎全部使用复利几乎全部使用复利例题：例题： 2. 2. 某银行以单利计息，年息为某银行以单利计息，年息为6%6%，某，某人人存入存入50005000元，求元，求5 5年后的积累值是多少？年后的积累值是多少？ A(5)=5000a(5)=5000(1+6% ·5)=6500( A(5)=5000a(5)=5000(1+6% ·5)=6500(元元) ) 3. 3. 如果该银行以复利计息，其他条件不如果该银行以复利计息，其他条件不变，求变，求5 5年后的积累值。

年后的积累值 A(5)=5000a(5)=5000(1+6%)A(5)=5000a(5)=5000(1+6%)5 5=6691.13(=6691.13(元元) ) 4. 4. 已知年利率为已知年利率为8%8%，复利计息，求，复利计息，求4 4年后年后支付支付1000010000元的现值元的现值 PV=10000aPV=10000a-1-1(4)(4) =10000/ =10000/（（1+8%1+8%））4 4=7350.3(=7350.3(元元) )例题例题 5. 5. 5. 5. 教材教材教材教材p10p10p10p10，例，例，例，例2-22-22-22-2 (1) (1) (1) (1) 期限超过了一个度量期限超过了一个度量期限超过了一个度量期限超过了一个度量 期，期，期，期，t=1t=1t=1t=1和和和和t>1t>1t>1t>1时单利、复利时单利、复利时单利、复利时单利、复利 下积累值的比较下积累值的比较下积累值的比较下积累值的比较 (2) (2) (2) (2) 单利、复利条件下，单利、复利条件下，单利、复利条件下，单利、复利条件下，I I I It t t t的的的的 变化趋势。

变化趋势变化趋势变化趋势 (3) (3) (3) (3) 单利、复利条件下，单利、复利条件下，单利、复利条件下，单利、复利条件下，i i i it t t t的的的的变化趋势变化趋势变化趋势变化趋势t tAtAtItItit(%)it(%)单利单利复利复利单利单利复利复利单利单利复利复利初始初始1001001001000 00 00 00 01 11051051051055 55 55 55 52 2110110110.25110.255 55.255.254.764.765 53 3115115115.76115.765 55.515.514.554.555 54 4120120121.55121.555 55.795.794.354.355 55 5125125127.63127.635 56.086.084.174.175 5习题：习题：习题：习题：1. 1. 1. 1. 已知：已知：已知：已知：A(t)=2t+ +5 A(t)=2t+ +5 A(t)=2t+ +5 A(t)=2t+ +5 ，求，求，求，求: : : : （（（（1 1 1 1）对应的）对应的）对应的）对应的a(t)a(t)a(t)a(t)，（，（，（，（2 2 2 2））））I I I I3 3 3 3, , （（（（3 3 3 3））））i i i i4 4 4 4 解：解：（（1））a(t)=A(t)/k=1+0.4t+ （（2））I3=A(3)-A(2)=2+ （（3））i4=I42.2.若若A(3)=100A(3)=100，，i in n，求：，求：I I5 5=?=?解：解： I I5 5/A(4)=i/A(4)=i5 5 I I5 5=0.05A(4)=0.05A(4) [A(4)-A(3)]/A(3)=i[A(4)-A(3)]/A(3)=i4 4，， A(3)=100A(3)=100 A(4)=104A(4)=104 因此，因此，I I5 5 3. 3. 如果如果30003000元在元在5 5年半内积累到年半内积累到50005000元，求：元，求：单利利率、复利利率。

单利利率、复利利率 解：单利利率：解：单利利率：30003000（）（）=5000=5000 复利利率：复利利率：30003000（（1+i1+i））=5000=50004. 3004. 300元投资复利计息经过元投资复利计息经过3 3年增长至年增长至400400元，求：分别在第元，求：分别在第2 2年末、第年末、第4 4年末、第年末、第6 6年末年末各付款各付款500500元的现值之和元的现值之和 解：复利条件下：解：复利条件下：a(t)=(1+i)a(t)=(1+i)t t A(3)=ka(3)=300(1+i)A(3)=ka(3)=300(1+i)3 3=400=400 现值：现值：500[a500[a-1-1(2)+a(2)+a-1-1 (4)+a(4)+a-1-1 (6)] (6)] =1034.7 =1034.7 ( (四四) )实际贴现率实际贴现率 年初向银行借款年初向银行借款100100元，利息为元，利息为6 6元，元，期限为一年，银行要求在年初把利息还清？期限为一年，银行要求在年初把利息还清？ 10010694100 ■定义：定义：定义：定义：一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，一般用得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，一般用得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，一般用得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，一般用d d d d表示。

表示 即：即：即：即：d d d dt t t t=I=I=I=It t t t/A(t)=[A(t)-A(t-1)]/A(t)/A(t)=[A(t)-A(t-1)]/A(t)/A(t)=[A(t)-A(t-1)]/A(t)/A(t)=[A(t)-A(t-1)]/A(t) A(t)=A(t-1)(1-d) A(t)=A(t-1)(1-d) A(t)=A(t-1)(1-d) A(t)=A(t-1)(1-d)-1 -1 -1 -1 A(t-1)=A(t)(1-A(t-1)=A(t)(1-A(t-1)=A(t)(1-A(t-1)=A(t)(1-d)d)d)d) i i i it t t t=I=I=I=It t t t/A(t-1)/A(t-1)/A(t-1)/A(t-1) 例题：例题：6. 教材教材p10，例，例2-3。

it=[A(t)-A(t-1)]/A[t-1]=[100-94]/94=6.38% dt= It/A(t)=100-94/100=6%实际贴现率实际贴现率实际贴现率实际贴现率是对期初支付的利息的度量，而是对期初支付的利息的度量，而是对期初支付的利息的度量，而是对期初支付的利息的度量，而实际利率实际利率实际利率实际利率是对期末支付的利息的度量是对期末支付的利息的度量是对期末支付的利息的度量是对期末支付的利息的度量 复利假设下实际贴现率为常数复利假设下实际贴现率为常数 复利条件下，对任意正整数复利条件下，对任意正整数t t，有：，有： d dn n=[a(t)-a(t-1)]/a(t)=[a(t)-a(t-1)]/a(t) =[(1+i) =[(1+i)n n-(1+i)-(1+i)n-1n-1]/(1+i)]/(1+i)n n =i/(1+i)=i/(1+i) 这种情况下的贴现称为这种情况下的贴现称为““复贴现复贴现””，，类似于类似于““复利复利””。

例题：例题：7. 7. 某人到银行存入某人到银行存入10001000元，第一年末元，第一年末存折上余额为存折上余额为10501050元，第二年余额为元，第二年余额为11001100元，求：第一、二年的实际利率和实际贴现元，求：第一、二年的实际利率和实际贴现率实际利率：实际利率：i i1 1=[A(1)-A(0)]/A(0)=[A(1)-A(0)]/A(0) =(1050-1000)/1000=5% =(1050-1000)/1000=5% i i2 2=[A(2)-A(1)]/A(1)=[A(2)-A(1)]/A(1) =(1100- =(1100-1050)/1050=4.762% 1050)/1050=4.762% 实际贴现率实际贴现率: : d1=[A(1)-A(0)]/A(1) =(1050-1000)/1050=4.762% d2=[A(2)-A(1)]/A(2) =(1100-1050)/1100=4.545% ■ “等价等价”的概念的概念 实际利率和实际贴现率都是度量利息的方实际利率和实际贴现率都是度量利息的方法。

任何一笔业务都可以同时用这两种方法来法任何一笔业务都可以同时用这两种方法来度量 如果对于给定的投资金额，在同样长的时如果对于给定的投资金额，在同样长的时间内，利率与实际贴现率（或其他任何利息的间内，利率与实际贴现率（或其他任何利息的度量方式）能够产生同样的积累值，则称两个度量方式）能够产生同样的积累值，则称两个“率率”是是“等价等价”的 如例如例6中的中的6%与与6.38%就是等价的就是等价的■ 实际贴现率与实际利率的关系实际贴现率与实际利率的关系 考虑一笔业务：某人以贴现方式（实际考虑一笔业务：某人以贴现方式（实际贴现率为贴现率为d)d)借款借款1 1元，则实际上本金为（元，则实际上本金为（1-1-d d）元，而利息（贴现）金额为）元，而利息（贴现）金额为d d元实际利元实际利率为：率为： i=d/(1-d)d =i/(1+i) , 即即d=ivd =(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-vv=1-dv=1-d，方程两端均可以看作是期末付，方程两端均可以看作是期末付1 1的现值 d=i(1-d)，即，即i-d=id4.对于对于8%8%的复利和单利，分别求：的复利和单利，分别求：d d4 4= =？？ 解：复利条件：解：复利条件：d d4 4=[a(4)-a(3)]/a(4) =[a(4)-a(3)]/a(4) =i/(1+i) =i/(1+i) 单利条件：单利条件：d d4 4=[a(4)-=[a(4)-a(3)]/a(4) a(3)]/a(4) = =（（1+4i-1+4i-1-3i)/(1+4i)1-3i)/(1+4i)6.6.已知一项借款在一年后支付的利息金额为已知一项借款在一年后支付的利息金额为336336元，而如果采取贴现方式，等价贴现率下元，而如果采取贴现方式，等价贴现率下贴现金额为贴现金额为300300元，求本金值。

元，求本金值 解：解：Pi=336,Pi=336, Pd=300Pd=300 i/(1+i)=di/(1+i)=d 1/(1+i)=300/336 1/(1+i)=300/336 P=336/0.12=2800 P=336/0.12=2800（五）名义利率（五）名义利率（五）名义利率（五）名义利率 实际利率实际利率实际利率实际利率--------------------------------利息在每个度量期支付一次此利息在每个度量期支付一次此利息在每个度量期支付一次此利息在每个度量期支付一次此时时时时 称一个度量期内的利率称一个度量期内的利率称一个度量期内的利率称一个度量期内的利率为实际利为实际利为实际利为实际利 率。

一般用率一般用率一般用率一般用i i i i表示 名义利率名义利率名义利率名义利率--------------------------------一个度量期内利息支付不止一一个度量期内利息支付不止一一个度量期内利息支付不止一一个度量期内利息支付不止一次次次次 （或在多个度量期内利（或在多个度量期内利（或在多个度量期内利（或在多个度量期内利息才支付一息才支付一息才支付一息才支付一 次）。

此时称一个度次）此时称一个度次）此时称一个度次）此时称一个度量期内的利量期内的利量期内的利量期内的利 率为名义利率一般率为名义利率一般率为名义利率一般率为名义利率一般用用用用i i i i(m)(m)(m)(m)表示■定义：定义： 名义利率名义利率i i(m)(m)是指每是指每1/m1/m个度量期支付利息个度量期支付利息一次，而在每一次，而在每1/m1/m个度量期上的实际利率为个度量期上的实际利率为i i(m)(m)/m/m 也就是说，每一度量期也就是说，每一度量期i i(m)(m)的名义利率意味的名义利率意味着每着每1/m1/m度量期度量期i i(m)(m)/m/m的实际利率（复利计息）的实际利率（复利计息） 例：例：若以一年为一个度量期，若以一年为一个度量期， i i(4)(4)=8%=8%的名义利率指的是每季度的实际利率为的名义利率指的是每季度的实际利率为2%2%，称作每年计息，称作每年计息4 4次的年名义利率次的年名义利率8%8%。

名义利率图名义利率图■与名义利率等价的实际利率：与名义利率等价的实际利率： 由等价的定义，可以得到由等价的定义，可以得到 i i(m)(m)与等价的实与等价的实际利率之间的关系：际利率之间的关系： 1+i=(1+ i1+i=(1+ i(m)(m)/m)/m)m m 可得：可得： ①① i=(1+ i(m) /m)m-1 ②② i(m) =m[(1+i)1/m-1]例：例：（（1 1））i i(4)(4)=8%=8%，求年实际利率求年实际利率 （（2 2））i=10%i=10%，求，求i i(5)(5) 解：解：（（1））1+i=[1+ (i(4)/4)]4 i=[1+ (i(4)/4)]4-1=8.24% （（2）） i(m)=m[(1+i)1/m-1] =5[(1.1)1/5-1]=9.6% （六）名义贴现率（六）名义贴现率（六）名义贴现率（六）名义贴现率 与名义利率的含义相同，用与名义利率的含义相同，用与名义利率的含义相同，用与名义利率的含义相同，用d d d d(m)(m)(m)(m)表示每一度量表示每一度量表示每一度量表示每一度量期支付期支付期支付期支付m m m m次利息的名义贴现率。

如果名义贴现率为次利息的名义贴现率如果名义贴现率为次利息的名义贴现率如果名义贴现率为次利息的名义贴现率如果名义贴现率为d d d d(m)(m)(m)(m)，那么有：，那么有：，那么有：，那么有： 1-d=(1- d1-d=(1- d1-d=(1- d1-d=(1- d(m)(m)(m)(m)/m)/m)/m)/m)m m m m 名义贴现率图名义贴现率图名义贴现率图名义贴现率图可得可得可得可得: : : : ①① d=1-(1- d(m)/m)m ②②d(m)=m[1-(1-d)1/m] §名义利率与名义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系等价等价 01/m2/mm-1/mm/m………1元(1+i)=(1+i(m)/m)m元1元生息贴现 (1-d(m)/m)-m元 (1+i(m)/m)m=(1+i)=(1-d(m)/m)-m (1+i(m)/m)m=(1+i)=(1-d(m)/m)-m (1+i(m)/m) =(1-d(m)/m)-1 如果如果m=1：：1+i=(1-d)-1例：教材例：教材例：教材例：教材p12p12p12p12。

假设年实际利率等于假设年实际利率等于假设年实际利率等于假设年实际利率等于12%12%12%12%，分别求每，分别求每，分别求每，分别求每年、每半年、每季度、每月、每周和每天计息一次时年、每半年、每季度、每月、每周和每天计息一次时年、每半年、每季度、每月、每周和每天计息一次时年、每半年、每季度、每月、每周和每天计息一次时的名义利率和名义贴现率的名义利率和名义贴现率的名义利率和名义贴现率的名义利率和名义贴现率解：解：（（1））名义利率名义利率 1+i=(1+ i(m)/m)m i(m)=m[(1+ i)1/m-1] i=12% m=1, i(m)=12%; m=2, i(m)=11.66%; m=4, …… (2)(2)名义贴现率名义贴现率 第一种方法：第一种方法： 1+i=(1-d 1+i=(1-d(m)(m)/m)/m)-m-m d d(m)(m)=m[1-(1+i)=m[1-(1+i)-1/m-1/m] ] 第二种方法：第二种方法： d=i/1+id=i/1+i 1-d=(1-d 1-d=(1-d(m)(m)/m)/m)m m d d(m)(m)=m[1-(1-d)=m[1-(1-d)1/m1/m] ]例：例：（（1 1）求与实际利率）求与实际利率8%8%等价的每年计息等价的每年计息2 2次的年名义利率，以及计息次的年名义利率，以及计息4 4次的年名义贴现次的年名义贴现率。

率2 2）已知每年计息）已知每年计息1212次的年名义贴现率次的年名义贴现率为为8%8%，求等价的实际利率求等价的实际利率 第一节第一节 利息与年金利息与年金解解:(1)1+i=(1+i(m)/m)m i(m)=m[(1+i)1/m-1] i=8%,m=2, i(m)=7.85% (1-d(m)/m)-m=1+i d(m)=m[1-(1+i)-1/m] i=8%,m=4, d(m)=7.623%(2) (1-d(m)/m)-m=1+i i= (1-d(m)/m)-m-1 m=12, d(m)=12%,i=8.36%例：求例：求1 1万元按每年计息万元按每年计息4 4次的年名义利率次的年名义利率6%6%投资投资3 3年的积累值年的积累值解：解：A(3)=10000a(3) =10000(1+0.06/4)12 =10000(1.015) 12例：以每年计息例：以每年计息2 2次的年名义贴现率为次的年名义贴现率为10%10%，，在在6 6年后支付年后支付5 5万元，求其现值。

万元，求其现值解：解：PV=50000a-1(6) =50000(1-d)6 =50000(1-0.1/2)12 =50000 =27018。