中考数学复习指导：梯形中的常用辅助线.doc

梯形中的常用辅助线在研究有关梯形的问题时，常常需要通过添加辅助线，把梯形的问题转化为三角形或四边形(特殊的 三角形或四边形)问题来研究，下面就转化方法总结归纳，供参考1. 平移梯形一腰目的是将梯形转化成一个三角形和一个平行四边形，从而得到一个以梯形的两腰和两底差为边的三角 形例1 . 以2、3、8为边长的等腰梯形，你能画出几种？研究一下解：如图所示，梯形ABCD中，AD〃BC , AB=CD ,这里不妨过点D作DE〃AB ,交BC于点E 这就转化成了三角形和平行四边形，利用三角形三边关系定理分类讨论：腰长分为2、3、8三种情况1 )若 AB二CD二2 ,AD=3 ,BC=8，贝ij BE=AD=3 ,EC=BC-BE=5 , DE=AB=2 , ADEC 中,DE=DC=2 , EC=5 , 2+2<5 ,这个三角形不能构成，所以这样的梯形不能构成2 )若 AB=CD=3 , AD=2 , BC=8 则 BE=2 , EC=6 , DE=3 , ADEC 中，DE=DC=3 , EC=6 , 3+3=6 , 这个三角形不能构成，所以这样的梯形不能构成3 )若 AB=CD=8 ,, AD=2 , BC=3 贝ij BE=2 , EC=1 , DE=8 ,ADEC中，DE=DC=8 , EC=1 ,任意两边之和大于第三边，ADEC能构成，所以梯形也能构成。

综合上述情况这样的梯形只有一种2. 平移梯形两腰其目的是将梯形转化成两个平行四边形和一个三角形，从而进一步研究问题例2.如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB与ZC互为余角，M、N分别为AD、BC的中点 求证：MN二 *(BC・AD)证明:过点M作ME〃AB交BC于点E,作MF〃CD交BC于点F.・.・AD〃BC,AB〃ME,CD〃MF,二四边形 ABEM 和 MFCD 都是平行四边形，「.AM二BE, MD=FC.VM.N 分别是 AD,BC 的中点，.\AM=MD, BN=NC.・・・EN二NF,即N是EF的中点.又ZMEF=ZB, ZMFE=ZC, ZB 与ZC 互为余角，.\ZMEF+ZMFE=90°. .-.ZEMF=90°,・・・MN二*(BC・AD)3、延长梯形两腰目的是把梯形转化为三角形，再利用三角形的有关性质进一步研究.例3.如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC, ZB二30ZC=60°,E,M,F,N 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，已知 BC=9,MN=4,求 EF 的长.解:分别延长BA,CD交于点R,则ZBRC=90°,易得R, N, M三点在一条直线上，所以 RM=4.5, RN=0.5,则有 AD=1,所以 EF=| (AD+BC)=54、作梯形的高其目的是把梯形转化成矩形和直角三角形，根据这些性质把问题解决.例 4•如图所示，在直角梯形 ABCD 中，AD〃BC, ZD=ZC=90°,MA=MB, ZBMC=75°, ZAMD=45°求证:BC=CD证明:作 AE丄BC 于 E,则 AE=DC, V ZAMB=180°-(75o+45o)=60°, MA=MB,AAAMB为等边三角形，即AB=BM,•・・ ZABE=60°+15°=75°=ZBMC, /. RtAABE^RtABMC, AE=BC, 又 DC=AE, 故 BC=CD5、平移梯形的对角线其目的是构造以梯形两条对角线与两底之和为边的三角形，在题目中涉及对角线时，应尝试这种作辅助线的方法.例5.已知:如图，梯形ABCD中，AD〃BC, AB=CD,AC丄BD, AD=12, BC=18.求梯形的高.解:过点D作DH丄BC,垂足为H,作DE〃AC,交BC的延长线于点E,则四边形ACED为平行四边形.・\CE=AD=12, BE二BC+CE二BC+AD二30 T AD〃BC, AB=CD,・・・AC二BD.又TAC二DE,・：BD二DE. VACXBD.DE//AC,・\BD丄DE,在 RtABDE 中,BD二DE, DH±BE,・\BH=HE.・\DH= —= —=152 26、利用梯形腰上中点具体做法是(1)连接上底与腰的中点并延长交下底的延长线于一点,其目的是把梯形割补成一个三角形.(2) 利用中点作梯形的中位线利用中位线的性质.例6.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC, AB=AD+BC,E是CD中点，求证:AE丄BE。

证明:延长AE交BC的延长线于F,・・・AD〃BC, E是CD的中点，AZ1 = ZF, Z2=Z3, ,DE=CE,即△AEDMFEC, AE=FE, AD=CF,又・・・ AB 二 BC+AD 二 BC+CF 二 BF, Z. AE±BE例7.如图，在梯形ABCD中，AB〃DC, AB+CD=AD,M为BC中点,求证:DM平分ZADC证明:作梯形中位线MN,则Z2=Z3 , AB+CD=2MN,又 AB+CD=AD,所以 AD=2MN=2DN,fiP MN=DN ,/仁Z3=Z2故DM平分ZADC7、作梯形的对角线等腰梯形的对角线相等,利用这一性质研究梯形中有关问题，常是事半功倍.例8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC, E、F、G、H分别是四边的中点. 求证:四边形EFGH是菱形证明：连接AC,BD,・・•四边形ABCD是等腰梯形，.・.AC=BD,EF=-AC,2易证 四边形EFGH是平行四边形，又TEH二丄BD,2・•・EH=EF,・・・四边形EFGH是菱形。