2014年全国普通高考数学(天津卷)理精编解析版纯word版.docx

普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)选择题:共40分一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014天津,理1)i是虚数单位,复数7+i3+4i=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　A.1-i B.-1+iC.1725+3125i D.-177+257i答案:A解析:7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i,故选A.2.(2014天津,理2)设变量x,y满足约束条件x+y-2≥0,x-y-2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为(　　).A.2 B.3 C.4 D.5答案:B解析:画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分).由z=x+2y,得y=-12x+12z,作直线l:y=-12x,平移l,由图形可知当l经过可行域中的点A(1,1)时,z取最小值,且zmin=1+21=3,故选B.3.(2014天津,理3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为(　　).A.15 B.105 C.245 D.945答案:B解析:第一次执行循环体T=21+1=3,S=13=3,i=2;第二次执行循环体T=22+1=5,S=35=15,i=3;第三次执行循环体T=23+1=7,S=157=105,i=4.这时满足i≥4,跳出循环,输出S=105,故选B.4.(2014天津,理4)函数f(x)=log12(x2-4)的单调递增区间为(　　).A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)答案:D解析:由x2-4>0得x>2或x<-2,因此函数定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).令t=x2-4,当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=log12t随t的减小而增大,所以y=log12(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.5.(2014天津,理5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　).A.x25-y220=1 B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1 D.3x2100-3y225=1答案:A解析:由于双曲线焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l平行,因此ba=2,可解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为x25-y220=1,故选A.6.(2014天津,理6)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FDFA;③AECE=BEDE;④AFBD=ABBF.则所有正确结论的序号是(　　).A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④答案:D解析:由弦切角定理知∠FBD=∠BAD,∵AD平分∠BAC,∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠DBC.∴∠FBD=∠CBD,即BD平分∠CBF,∴①正确;由切割线定理知,∴②正确;由相交弦定理知,AEED=BEEC,∴③不正确;∵△ABF∽△BDF,∴ABBD=AFBF.∴AFBD=ABBF,∴④正确.故选D.7.(2014天津,理7)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:C解析:令f(x)=x|x|,则f(x)=x2,x≥0,-x2,x<0,画出f(x)的图象(如图),易知f(x)在R上为单调递增函数,因此a>b⇔f(a)>f(b),故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选C.8.(2014天津,理8)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若AEAF=1,CECF=-23,则λ+μ=(　　).A.12 B.23 C.56 D.712答案:C解析:由于菱形边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.由AEAF=1,得(AB+BE)(AD+DF)=ABAD+ABDF+BEAD+BEDF=22cos 120+2(2μ)+2λ2+2λ2μcos 120=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以4(λ+μ)-2λμ=3.由CECF=-23,得(2-2λ)(2-2μ)-12=-23,所以λμ=λ+μ-23,因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+43=3,解得λ+μ=56,故选C.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2014天津,理9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取　　　　名学生.答案:60解析:依题意知,应从一年级本科生中抽取44+5+5+6300=60(名).10.(2014天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为　　　　　m3.答案:20π3解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为2,高为2;下部是一个圆柱,底面圆半径为1,高为4,故该几何体的体积V=13π222+π124=8π3+4π=20π3.11.(2014天津,理11)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为　　　　　.答案:-12解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+432(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-12.12.(2014天津,理12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sin B=3sin C,则cos A的值为　　　　　.答案:-14解析:由2sin B=3sin C,结合正弦定理得2b=3c,又b-c=14a,所以b=32c,a=2c.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=32c2+c2-(2c)2232cc=-14.13.(2014天津,理13)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为　　　　　.答案:3解析:由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4y.所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r=2;由ρsin θ=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于△AOB是等边三角形,所以圆心C是等边三角形OAB的中心,若设AB的中点为D(如图).则CD=CBsin 30=212=1,即a-2=1,所以a=3.14.(2014天津,理14)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为　　　　　.答案:(0,1)∪(9,+∞)解析:在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=a|x-1|的图象,由图知,当a=0时,两函数的图象只有2个交点,当a<0时,两图象没有交点,故必有a>0.若曲线y=-x2-3x(-3≤x≤0)与直线y=-a(x-1)(x≤1)相切,联立方程得x2+(3-a)x+a=0,则由Δ=0得a=1(a=9舍去),因此当00)与直线y=a(x-1)(x>1)相切,联立方程得x2+(3-a)x+a=0,则由Δ=0可得a=9(a=1舍去),因此当a>9时,f(x)的图象与y=a|x-1|的图象有4个交点,故当方程有4个互异实数根时,实数a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(2014天津,理15)已知函数f(x)=cos xsinx+π3-3cos2x+34,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间-π4,π4上的最大值和最小值.分析:(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式,化简函数解析式为一个角的三角函数的形式,再求周期.(2)可利用函数f(x)在区间-π4,π4上的单调性求最值.解:(1)由已知,有f(x)=cos x12sinx+32cosx-3cos2x+34=12sin xcos x-32cos2x+34=14sin 2x-34(1+cos 2x)+34=14sin 2x-34cos 2x=12sin2x-π3.所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π4,-π12上是减函数,在区间-π12,π4上是增函数,f-π4=-14,f-π12=-12,fπ4=14,所以,函数f(x)在闭区间-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.16.(本小题满分13分)(2014天津,理16)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.分析:(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解.(2)根据随机变量x的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列,再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望.解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=C31C72+C30C73C103=4960.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=C4kC63-kC103(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P1612310130随机变量X的数学期望E(X)=016+112+2310+3130=65.17.(本小题满分13分)(2014天津,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.分析:方法一:用向量方法解.通过建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标.(1)用向量积为0,证线线垂直.(2)设平面PBD的一个法向量.利用垂直关系确定法向量坐标,再由向量夹角公式求线面角.(3)确定出二面角的两个面的一个法向量,由向量夹角公式求二面角余弦值.注意共线向量定理的应用.方法二:几何证明法:(1)取PD中点M.通过证明ABEM为平行四边形来证明。