2013年全国普通高考数学(江苏卷)精编解析版纯word版.docx

普通高等学校招生全国统一考试数学真题江苏数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=1n∑i=1n(xi-x)2,其中x=1n∑i=1nxi.棱锥的体积公式:V=13Sh,其中S是锥体的底面积,h为高.棱柱的体积公式:V=Sh,其中S是柱体的底面积,h为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(2013江苏,1)函数y=3sin2x+π4的最小正周期为　　　　　.答案:π解析:函数y=3sin2x+π4的最小正周期T=2π2=π.2.(2013江苏,2)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为　　　　　.答案:5解析:|z|=|(2-i)2|=|4-4i+i2|=|3-4i|=32+(-4)2=5.3.(2013江苏,3)双曲线x216-y29=1的两条渐近线的方程为　　　　　.答案:y=34x解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=34x.4.(2013江苏,4)集合{-1,0,1}共有　　　　　个子集.答案:8解析:由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8.5.(2013江苏,5)下图是一个算法的流程图,则输出的n的值是　　　　　.答案:3解析:第一次循环后:a←8,n←2;第二次循环后:a←26,n←3;由于26>20,跳出循环,输出n=3.6.(2013江苏,6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　　　　　.答案:2解析:由题中数据可得x甲=90,x乙=90.于是s甲2=15[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,s乙2=15[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,由s甲2>s乙2,可知乙运动员成绩稳定.故应填2.7.(2013江苏,7)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为　　　　　.答案:2063解析:由题意知m的可能取值为1,2,3,…,7;n的可能取值为1,2,3,…,9.由于是任取m,n:若m=1时,n可取1,2,3,…,9,共9种情况;同理m取2,3,…,7时,n也各有9种情况,故m,n的取值情况共有79=63种.若m,n都取奇数,则m的取值为1,3,5,7,n的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有45=20种.故所求概率为2063.8.(2013江苏,8)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=　　　　　.答案:1∶24解析:由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4.因此V1∶V2=13AFS△AED2AFS△ABC=1∶24.9.(2013江苏,9)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是　　　　　.答案:-2,12解析:由题意可知抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x-1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示:当直线x+2y=0平移到过点A12,0时,x+2y取得最大值12.当直线x+2y=0平移到过点B(0,-1)时,x+2y取得最小值-2.因此所求的x+2y的取值范围为-2,12.10.(2013江苏,10)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　.答案:12解析:由题意作图如图.∵在△ABC中,DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC=λ1AB+λ2AC,∴λ1=-16,λ2=23.故λ1+λ2=12.11.(2013江苏,11)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为　　　　　.答案:(-5,0)∪(5,+∞)解析:∵函数f(x)为奇函数,且x>0时,f(x)=x2-4x,则f(x)=x2-4x,x>0,0,x=0,-x2-4x,x<0,∴原不等式等价于x>0,x2-4x>x,或x<0,-x2-4x>x.由此可解得x>5或-50,b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=6d1,则椭圆C的离心率为　　　　　.答案:33解析:设椭圆C的半焦距为c,由题意可设直线BF的方程为xc+yb=1,即bx+cy-bc=0.于是可知d1=bcb2+c2=bca,d2=a2c-c=a2-c2c=b2c.∵d2=6d1,∴b2c=6bca,即ab=6c2.∴a2(a2-c2)=6c4.∴6e4+e2-1=0.∴e2=13.∴e=33.13.(2013江苏,13)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=1x(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为22,则满足条件的实数a的所有值为　　　　　.答案:-1,10解析:设P点的坐标为x,1x,则|PA|2=(x-a)2+1x-a2=x2+1x2-2ax+1x+2a2.令t=x+1x≥2,则|PA|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2(t≥2).结合题意可知(1)当a≤2,t=2时,|PA|2取得最小值.此时(2-a)2+a2-2=8,解得a=-1,a=3(舍去).(2)当a>2,t=a时,|PA|2取得最小值.此时a2-2=8,解得a=10,a=-10(舍去).故满足条件的实数a的所有值为10,-1.14.(2013江苏,14)在正项等比数列{an}中,a5=12,a6+a7=3.则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为　　　　　.答案:12解析:设正项等比数列{an}的公比为q,则由a5=12,a6+a7=a5(q+q2)=3可得q=2,于是an=2n-6,则a1+a2+…+an=132(1-2n)1-2=2n-5-132.∵a5=12,q=2,∴a6=1,a1a11=a2a10=…=a62=1.∴a1a2…a11=1.当n取12时,a1+a2+…+a12=27-132>a1a2…a11a12=a12=26成立;当n取13时,a1+a2+…+a13=28-13213时,随着n增大a1+a2+…+an将恒小于a1a2…an.因此所求n的最大值为12.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(2013江苏,15)(本小题满分14分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若|a-b|=2,求证:a⊥b;(2)设c=(0,1),若a-b=c,求α,β的值.(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0.故a⊥b.(2)解:因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cos α=cos(π-β).由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6.16.(2013江苏,16)(本小题满分14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.17.(2013江苏,17)(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,|3k+1|k2+1=1,解得k=0或-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以x2+(y-3)2=2x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤a2+(2a-3)2≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为0,125.18.(2013江苏,18)(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=1213,cos C=35.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=1213,cos C=35,所以sin A=513,sin C=45.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=51335+12。