2021-2022学年高二数学同步测试卷03 等差数列B卷能力提升(解析版).docx

卷03 等差数列B卷能力提升测试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在数列中，，，若，则　　A．671 B．672 C．673 D．674【解答】解：数列中，，，则数列是以1为首项，3为公差的等差数列，，解得，故选：．2．已知为等差数列的前项和，若，，则的值等于　　 A．6 B．7 C．8 D．9【解析】设等差数列的公差为d，依题意有，解得，故．故选D3．已知数列为等差数列，，，则数列的前10项和为　　A．40 B．48 C．58 D．90【解答】解：设等差数列数列的公差为，，，，，解得，．．设数列的前项和为．令，解得．则数列的前10项和．故选：．4．设等差数列的前项和为，若，，则　　A．28 B．32 C．16 D．24【解析】由等差数列的性质，可得成等差数列，，解得成等差数列，可得，解得故选B解题通法已知等差数列的前n项和，可以构造出新的等差数列，从而利用等差数列相关知识解题．常见的构造方法有：(1) ，．．．是等差数列，公差为数列的公差的．(2)数列是等差数列，公差为数列的公差的为常数)⇔为等差数列，且有成等差数列，其实质是成等差数列．5．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有　　A．13项 B．12项 C．11项 D．10项【解答】解：依题意，又故选：．6．已知数列的各项均为正数，，，则数列的前15项和为　　A．3 B．4 C．127 D．128【解答】解：∵，∴， 即是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，解得，∴，∴数列的前15项和为．故选：A．7．(情景创新)图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为　　A．54 B．48 C．42 D．30【解答】解：设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为，，，成等差数列，由题意得，即，所以，因为阴影部分的面积，所以，联立得或（不合题意舍），故，所以最外层六边形的周长为48．故选：．8．已知非常数数列满足，为数列的前项和，若，，则　　A．2022 B． C． D．2019【解答】解：，，化简得：，即，数列为等差数列，又，，∴，，则．故选B．技巧点拨在等差数列问题的求解中，若，，则此性质常与前n项和公式结合在一起应用，运用整体代换的思想，可简化解题过程．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知是等差数列的前项和，且，则下列四个命题正确的是　　A． B． C．数列中的最大项为 D．【解析】因为所以正确；，所以，B正确；因为所以数列的最大项为不正确；因为，所以，，D正确．故选ABD．10．(数学文化)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法正确的是　　A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短【解析】由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中公差；同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，其中，公差，故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为，所以，因为秋分的晷长为所以故春分和秋分两个节气的暑长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为，所以，即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为，，所以故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误．故选AB．11．已知数列的前项和为，且满足，，，则　　A． B． C． D．数列为递减数列【解答】解：，，，则，，故正确；由，得，数列是首项为，公差为的等差数列，，则，故错误；当时，，又符合上式，，故正确，错误．故选：．12．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是　　A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则 C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为【解答】解：对于：因为为等差数列，所以，即，所以，化简得，所以，故正确；对于：因为为等差数列，所以，所以，所以，故正确；对于：因为为等差数列，所以，所以，化简得，所以或，故不正确；对于：因为，且，所，所以，所以也为等差数列，且公差为，故不正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可以是　　　　　　．答案 答案不唯一)【解析】设等差数列的公差为，由得，即＜．不妨取，可得 (答案不唯一)．14．把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，进行排列，得到如下排列：（3），，，11，，，17，19，，，，，31，，，37，39，，，，则第100个括号内各数之和为 　 　．【解答】解：由题意数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，，，第100个括号内有4个数，第一个数：当时，，即第100个括号内各数为，497，499，，所以第100个括号内各数之和为，故答案为：1992．15．数列的前项和为，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是　 　．【解答】解：数列的前项和为，，且满足，整理得（常数），所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．所以，整理得，由于对于任意，都有恒成立，故，即，由于，解得，故，即的最小值为2．故答案为：2．16．已知数列是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数，记集合，，，的元素个数为，则　　　　　；把的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为　293　．(本题第一空2分，第二空3分)【解答】解：设，则，由题意，当，时，取最小值，当，，取得最大值，易知可取遍1，2，3，，，即．数阵中前16行共有个数，所以第17行左数第10个数为故答案为：293四、解答题：本题共6小题，共70分．角答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列中，其前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】(1)当时，； (1分)当n≥2时，，当时也符合上式，∴数列的通项公式为 (5分)(2)， (7分) ． (10分)18．(12分)某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元．若2021年为第1年，且该公司第年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和（单位：万元）的情况如图所示．（1）求；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？【解答】解：（1）由题意知，数列是，公差的等差数列，； (4分)（2）设引进这种设备后，净利润与年数的关系为，则， (8分)令，得，解得， (10分)又，，3，4，，18，即第二年该公司开始获利． (12分) 19．(12分)已知是公差为正的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和．【解答】解：（1）是公差的等差数列，由，． 解得：，， (2分)，解得，． (4分)． (5分)（2），，相减得，可得，当时，，， (9分)时，， (10分)又时，适合上式． (11分)综上所述：． (12分)20．(12分)已知为数列的前项和，满足，．再从条件①②③中选择一个作为已知条件，完成下列问题：（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．条件①；②为常数）；③．【解答】解：（1）选条件①时，①；整理得②，②①得：，整理得，故数列为等差数列； (4分)当时，解得，所以，所以． (6分)故， (8分)，． (12分)选条件②时，；②为常数）；当时，解得．所以①，当时，②，① ②得：即， (4分)由于数列为正项数列，所以（常数），故数列是以1为首项，2为公差的等差数列；所以． (6分)故， (8分)，． (12分)选条件③时，（常数列）．所以，所以． (4分)时， ，又符合上式故． (6分)，． (12分)21．(12分)已知数列的前项和满足，设．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）按以下规律构造数列，具体方法如下：，，，，，求数列的通项公式．【解答】证明：（1）由题意，，①令，得，则， (2分)当时，，②①②得，，即，，，数列是公差为1的等差数列． (4分)又，， (5分)又，； (6分)（2）由题意，， (8分)又，，，，是首项为，公差为1的等差数列，且共有项，． (12分)22．(12分)已知数列满足，其中．（1）求证是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设．若对任意的恒成立，求的最小值．【解答】（1）证明：，，（1分）由于，，（2分）是以1为首项，1为公差的等差数列．（3分），．（4分）（2），，即，对任意恒成立， （6分）而，设，8分，， （9分），数列单调递减，（10分）时，（1），故．的最小值为1． （12分）。