pq14.1幂级数.doc

第十四章 幂级数一、主要内容与教学要求主要内容阿贝尔第一定理, 幂级数的收敛半径与收敛区间,内闭一致收敛性，幂级数的性质，幂级数的四则运算泰勒级数，函数可以展开成泰勒级数的条件,初等函数的幂级数展开式复变量的指数函数和欧拉公式教学要求1 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法2 理解幂级数的和函数在收敛区间内的分析性质，并能运用逐项微积分和逐项积分在收敛区间内求幂级数的和函数3 理解函数展开成泰勒级数的充分必要条件4掌握的麦克劳林展开式，会用直接法和间接法将初等函数和某些非初等函数展开成幂级数教学重点：1 幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法2 幂级数的内闭一致收敛性3 幂级数的和函数在收敛区间内的分析性质及收敛区间内幂级数的运算4 函数的幂级数展开教学难点：1 幂级数收敛区间的端点上敛散性的讨论2 利用逐项求导或逐项积分法求幂级数的和函数3 直接法将函数展开成泰勒级数对余项的讨论二、本章教材处理建议1. 掌握阿贝尔定理及其证明，弄清幂级数收敛区域的特征注意缺项的幂级数的收敛半径的求法重点掌握利用逐项求导和逐项求和的方法求幂级数的数函数　　2. 函数的幂级数展开部分2. 函数展开为幂级数实质上用多项式函数来逼近函数，这种逼近是一种局部逼近，可通过多媒体加以演示，使之形象化。

3. 归纳并补充幂级数的相关应用，如讨论微分方程的解、证明不等式、验证函数方程、讨论整系数线性方程的整数解的个数等三、本章习题处理意见1. §14.1幂级数(P50)：第1，2,4题要求学生重点掌握第3题，第5题作为重要在课堂上讲授第6题，第8题及第9题可在习题课上讨论第7题可仅要求程度较高的同学掌握2. §14.2函数的幂级数展开（P58）：第2，3,4题要求学生重点掌握第1题在讲授相应定理时补充讲解第5题可在习题课上讲授3．§总练习题（P43）： 第1,2，3,4等题均要求学生掌握其余各题可仅要求程度较高的同学掌握§ 1 幂级数引言前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广泛的应用） 什么样的函数项级数是幂级数--幂级数的一般概念.1 定义（幂级数）：形如 （1）的函数项级数称为幂级数幂级数由系数数列唯一确定.2 特例：当，即在点零处展开的幂级数为 （2）3 若在（1）中令，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂级数即可。

4 幂级数形式上的特点：一般项为，从而所求的部分和和是多项式（最简单函数），因此幂级数是最简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质如幂级数至少有一个收敛点，收敛域一定是区间（退化区间——点）又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数以下只讨论型如的幂级数.一 幂级数的收敛区间1 收敛半径 、收敛区间和收敛域：定理14.1（Abel阿贝尔定理） 若幂级数在点收敛 ， 则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛 ；若在点发散 ，则对满足不等式的任何，幂级数发散.证明 收敛, {}有界. 设||, 有 |, 其中 ..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径 R. 幂级数的收敛区间: .幂级数的收敛域: 一般来说 , 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.幂级数在内绝对收敛，在内发散幂级数的收敛域为区间，幂级数在的内部内绝对收敛收敛半径 R的求法.定理14.2 对于幂级数, 若, 则ⅰ>时, ; ⅱ> 时; ⅲ>时. 证明, ( 强调开方次数与的次数是一致的).……由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.求收敛半径和收敛域的例子例1 求幂级数的收敛域 . 例2 求幂级数=的收敛域 . 补例1求下列幂级数的收敛域:（1）； （2）； （3）（4）; 补例2 证明在绝对收敛，在其他点发散。

2. 复合幂级数: 令, 则化为幂级数.设该幂级数的收敛区间为，则级数的收敛区间由不等式 确定.可相应考虑收敛域.特称幂级数为正整数)为缺项幂级数 .其中. 应注意为第项的系数 . 并应注意缺项幂级数 并不是复合幂级数 , 该级数中, 为第项的系数 .补例3求幂级数的收敛域 . 解 是缺项幂级数 .. 收敛区间为. 时, 通项. 因此 , 该幂级数的收敛域为.补例4 求级数的收敛域 .解 令, 所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散性结果, 当且仅当时级数收敛. 因此当且仅当, 即时级数收敛. 所以所论级数的收敛域为.补例5 求幂级数的收敛半径 .解 .3 幂级数的一致收敛性定理14.4 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛 . （阿贝尔第二定理）证 , 设, 则对, 有 ,级数绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数在上一致收敛. 因此 , 幂级数在区间内闭一致收敛.定理14.5 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或 )收敛,则幂级数在区间( 或 )上一致收敛 .证 . 收敛 , 函数列在区间上递减且一致有界 , 由Abel判别法, 幂级数在区间上一致收敛 .易见 , 当幂级数的收敛域为(时 , 该幂级数即在区间上一致收敛.注：若的收敛半径为，则此级数在收敛域内部上内闭一致绝对收敛；在收敛域上内闭一致收敛。

二 幂级数的性质定理14.6设幂级数（2）在(内. 则ⅰ> 在内连续;ⅱ> 若级数或收敛, 则在点( 或)是左( 或右 )连续的;逐项求导和积分后的级数:设 （2）； （7）； （8）（7）和（8）仍为幂级数. 我们有定理14.7幂级数（2）与幂级数（7）和（8）仍为)有相同的收敛半径 . ( 简证 )值得注意的是，*) 和 **)与虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域，例如级数.定理14.8设幂级数（2）在(内. 则ⅰ> 对, 在点可微且有;ⅱ> 对, 在区间上可积, 且.当级数收敛时, 无论级数在点收敛与否,均有. 这是因为: 由级数收敛, 得函数在点左连续, 因此有.推论1 和函数在区间内任意次可导, 且有, …….由推论1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.推论2 若, 则有注：设幂级数的收敛半径为，和函数为，则于收敛域内部，可以逐项积分和逐项微分，即： 对上任一点，有三 幂级数的运算性质定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.定理14.9,.定理14.10设幂级数和的收敛半径分别为和, , 则ⅰ> , — Const ，.ⅱ> +, .ⅲ> ()(), , .补例验证函数满足微分方程.验证所给幂级数的收敛域为.., 代入, .P65 3 ( 提示 ) , 4 , 6 .求幂级数的和函数例1: 求幂级数的和函数. 例2: 求的和函数.例3: 求的和函数. 例4: 求的和函数.作业 P50：1（1）、（3）、（5）、（7），2（1）、（3）8。