推理2.4兔子数列家族兴旺又添新成员.doc

2．4 兔子数列 家族兴旺 又添新成员附：由递推关系求 n 重复合函数的定义域斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约 1170～1250)也许是生活在丢番图之后，费马之前欧洲最杰出的数学家. 在他最重要的著作《算盘书》记载了一个问题：某人饲养一对小兔子，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子在第二个月后也是每个月生一对兔子，问一年后共有多少对兔子. 书中对此作了分析，设新出生的一对小兔子，第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔子，共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；依次类推可以列出下表：月数 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …兔子对数 a1 1 2 3 5 8 13 21 34 …数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 被称为“兔子数列”. 书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得，即可以表示为 = + . 1na1n可以联想的是，兔子的繁殖如此，动物的繁殖都有这样的规律吗？换句话问，在什么条件下，就产生“兔子数列”呢？也许我们可以从蜜蜂的繁殖中找到答案. 一般动物都有父亲和母亲，但蜜蜂例外，它只有母亲而不一定有父亲. 养蜂人都知道，蜂后产的卵，若能受精，则孵化为雌蜂；若不能受精，则孵化为雄蜂. 也就是说，雄蜂有母无父，雌蜂有父有母. 按照这个追溯上去，一只雄蜂的上一代，再上一代，……各代总蜂数恰好构成了“兔子数列”. 1730 年法国数学家棣莫弗发现了“兔子数列”的通项公式：，有趣的是，这样一个完全是自然])251()251[(1nnna数的数列，通项公式却要用无理数来表达. 1753 年希姆松发现“兔子数列”前后两项之比可展成连分式： 11na1843 年另一位法国数学家比内首先证明了通项公式，因此现在称其为比内公式. 19 世纪法国数学家吕卡首先将这个“兔子数列”命名为斐波那契数列. 比内公式有不少证明方法，下面介绍的方法是联想得到的. 能否利用关系式 = + 构造一个我们熟悉的等比数列呢？如果1na1n可以的话，等比数列的通项必须含有 与 ，这样后项含有na1与 ，才能构成 与 ， 的关系式. 1na1na1设{ }是公比为 的等比数列，即有xq，)(11nnxaxa比较 = + ，得 = ， =1. 1nanq于是通项 = ，注意到 ，所以1nxa10)((nx10a= . 1nxa)(由 =1， ，所以 = ，同时可以求得x11nxan)(. 251x取 ，得 = ，……①125nnaan)25(取 ，得 = ，……②251x①—②得- ， [ - ]. 15nan)25(n)1(51an)2(n)51(这就证明了 . ])()2[(511nnna斐波那契数列还有很多奇妙的属性，有兴趣的话，你可以参考沈康身著《历史数学名题赏析》第九章，在那里还给出了证明. 例如矩阵等式也是其中一个：.nna011斐波那契数列是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用. 1963 年美国还创刊《斐波那契季刊》，用来专门研究斐波那契数列，又发现了与斐波那契数列的很多奇妙的性质. 举两个斐波那契数列的例子：例 1 上楼问题：上楼梯的时候，如果规定一步只能上一级或二级台阶，那么对于楼梯台阶数为 n 时的上楼方式数 是多少呢？na解：n=1 时，显然只有 1 种上楼方方式，即 =1；n=2 时，可以1一级一级上，也可以二级一步上，只有 2 种上楼方方式，即=2；……；上第 n+1 级时，或是从第 n 级上了一级，或是从第 n-2a1 级上了二级，只有这两种方式，所以 = + ，显然这是一1a1n个斐波那契数列的应用问题.例 2 座位问题：师生集合坐一排，但老师们坐在一起总会聊些有关学校的无聊话题，因此规定老师彼此不可相邻而坐，若有 n张椅子，则有多少种可能的坐法？解：n=1 时，显然有 2= 种坐法：可坐老师(T)或学生(S)；2an=2 时，可坐 SS、TS、ST，共有 3= 种坐法；n=3 时，可坐3SSS、SST、STS、TSS、TST，共有 5= 种坐法；……；若有 n 张椅4a子，设有 种坐法. 可以分为两类，如果最后坐的是学生，前面1nan-1 张椅子的坐法是 种，如果最后坐的是老师，则最后两张坐的na必定要是 ST 才符合条件，即最后两张已经固定，相当于有 n-2 张椅子， 种坐法. 因此 = + ，斐波那契数列又再度出现，1na1na1n所不同的是数列少了前面两项 1. 类似例 2 的还有子集问题：求集合{1,2,…,10}中所有不包含相邻正整数的子集个数. 类比一下，你能求出来的！在小说《达 ·芬奇密码》中从卢浮宫博物馆馆长被杀场面开始，凶杀在现场留下了如下的神秘数字：“13-3-2-21-1-1-8-5” ，就是乱序的斐波那契数列. 可见斐波那契数列应用之广泛. 更有思考空间的是斐波那契数列居然与“贾宪三角”、“黄金分割”等数学问题也密切相关. 将“贾宪三角”如下排列：过第一行的“1”向左下方作 45º 斜线，之后作直线的平行线，1① 1 1① 1 2 1② 1 3 3 1③ 1 4 6 4 1⑤ 1 5 10 10 5 1⑧ 1 6 15 20 15 6 1将每条直线所经过的数加起来，即得到 1，1，2，3，5，8，……真是“横看成岭侧成峰” ，斐波那契数列在其中. 将斐波那契数列前一项与后一项求比，可以发现越来越接近黄金分割数 0.618…. 事实上可以求极限,证明这一点： ])251()251[(limli 11 nnnna251)(251li nn≈0.618. 251如果你任意挑两个数为起始，比如 5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成 5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割. 如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如6、10、16、26、……（从 2 开始每个数的两倍）. 斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用. 除了动物繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关. 数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年. 再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝. 那么，第1 年它只有主干，第 2 年有两枝，第 3 年就有 3 枝，然后是 5 枝、8枝、13 枝等等，每年的分枝数正好是斐波那契数. 这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”. 仔细观察大自然各种花，它们的花瓣的数目也喜欢按斐波那契数列排列. 你看，最常见的花瓣数目就是 5 枚，像梅、桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等，就都开 5 瓣花，另外百合的花瓣有 3 枚，飞燕草等的花瓣是 8 枚，瓜叶菊等的花瓣是 13 枚，向日葵的花瓣有的是 21 枚，有的是 34 枚，皱菊的花瓣有的是 34、55 或 89 枚. 许多植物的树叶、果实或种子的排列也出现了斐波那契数列. 让我们来欣赏植物：蓟的果实吧，它的头部几乎呈球状. 在下面这个图里，标出了两条不同方向的螺旋. 我们可以数一下，顺时针旋转的螺旋一共有 13 条，而逆时针旋转的则有 21 条. 事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚. 尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字. 这样的螺旋被称为斐波那契螺旋. 大自然也在使用斐波那契数列呢！为什么植物的叶子、花瓣和果实会按照斐波那契数列进行排列？是不是这个数列本身揭示出了某种自然法则？现在还是个迷团. 不过，这个看似平凡的数列现在已经吸引了许多科学家的注意，也许用不了太长时间，科学家就能发现这个平凡的“兔子数列”家族如此兴旺发达的真正缘由. 你还能发现斐波那契数列的例子吗？当时在高中一年级读书的、我的女儿顾劼惺居然在做一道数学题时偶然发现了又一个斐波那契数列. 下面就是她写的一篇小论文，经过修改与《数学通讯》评审委员会评审，被评为 2001 年全国高中生小论文一等奖，刊登于《数学通讯》2002 年 1 月-2 月合刊 P89-90. 附在下面，算作“发现并不神秘”的一个注脚. 尽管这论文很“小” ，但却在我们身边，我们可以触摸到；尽管这算不了什么“灵感” ，但我们可以由此想象一下灵感产生的过程；尽管小论文并没有什么价值，但却说明了在学习过程中，你只要善于合情推理，是可以有新的哪怕是很微小的发现的. 期待你的小论文，期待你的发现呵！正是：继承前人学而思,突破自我思而学.附: 由递推关系求 n 重复合函数的定义域顾劼惺 南京大学苏州附中高二(2)班在一次练习中，我遇到了如下问题：若 ，求1)(xf的定义域.)]([xf最初我先求出 = ，再求定义域，答案为 2. 错了! )]([xf21x错在求出 后不应该化简, 正确的答案是 1, 且 2, 其包)]([f含在 的定义域内.xf我喜欢联想推广, 如果要求 的定义域呢? 于是我再)]}([{xf求出 ,其定义域包含在 的定义域内，应是32)]}([{xf f1, 2, 且 .x我进一步想： 如果多次复合, 求 = 的定)(xfn)]}([{xffn 重义域( 为>1 的正整数), 该有什么答案呢? 好奇心吸引着我. 我老n老实实地作了几次复合:，1)(1xfxf= ，][)(2ff 2, 3)(23xfxf, 5][)(34ff,8)(45xfxf…….它们的定义域依次为: , , ,1x23x5, ,……, 且 的定义域包含在 的定义域内.4x58x)(fn)(fn仔细观察终于发现, 的解析式与 都是有规律的. xfx= = 就是解析式的递推公式, 而)(xfn)]([1xfn1)(fn是定义域的递推关系. 于是可以得到上述问题的一1n般结论: 的定义域是 , , ,……,且)(xf 1x2x3x( 为>1 的正整数).1nx数列{ }的通项呢？我希望由递推关系找到通项的有限式. 再进一步观察, 我惊喜地发现， ,……,其分子与分母813,52,1不都是兔子繁殖的斐波那契数列吗? 想不到世界竟是如此的和谐!我知道这数列满足 , . 于是, 根据数学10a1nna归纳的思想, 由 =1,设 = ，则 = +1= , 1x1nnxn1na1可以证得数列{ }的通项是 = . 也可以证明函数列{ }nxa)(xf的通项是 ( 为>1 的正整数).naxf12)(为了求得斐波那契数列{ }的通项, 我费了不少时间, 失败了, 最后还是在常庚哲等编的《高中数学竞赛教程》上找到了答案: , 好一个复杂却对称的通项公式!])251()251[(1nnna这是一道有趣的练习. 我以为对分式函数都会有差不多的结论. 于是，我对函数 作了同样的演练: xf1)(,xff1)(= ,][)(2fxf,xff)(23……, .ffnn函数列出现了周期现象! 当 时 的定义域始终是1)(xf, 十分简洁. 与 仅相差一个符号, 结果截然不01xx1同. 数学真是变幻莫测, 妙哉!其它类型的函数是否有类似的结果呢? 我自己编了几道,如， 等，求复合函数1)(xgxh1)(与 的定义域. ]}[{gnn 重 )]}([{)(xhnn 重解得的结果与前面又有惊人的相似: 的定义域由递推关系)(g确定: , . 而 的定。