浅析对数换底公式的引伸及其应用.doc

浅析对数换底公式的引伸及其应用上海市第五十四中学（邮编200030）裴华明对数的换底公式，是进行对数的有关运算及其对数武恒等变形的重耍理论依据之一，若 在其换底公式的基础上进行引伸，则乂对推导岀一些重要的推论，这些推论在解决有关对数 的运算及恒等变形时，有着非常显著的作用因此，在学习或复习对数的有关内容吋，必须 要使学生理解对数换底公式及其推论的意义，熟练掌握这些公式或推论在解答不同类型习题 时的应用，这样将会人人提高解题能力，简化解题过程，加快解题速度现将对数换底公式 及其推论的意义、推导和应用简述如下，仅供参考一、对数的换底公式1、 对数换底公式的意义log N =卷 N 乜〉o且“I,〉0且心1, N>0） g a即以a（a > 0且a工I）为底,N（N > 0）的对数，转换成了以任意实数c（c > 0且c H 1） 为底的对数，其中—―叫做转换模数log/所以，以a（a> 0且QH1）为底，N（N〉0）的对数，就等于以c（c> 0且chI）为底, N（N > 0）的对数乘以转换模数2、 对数换底公式的证明 证法一：设 log<; N = x,贝U ax = N ,两边取以c(c > Ofic * 1)为底的对数,得logc. ax - logc N ,所以 xlogc a = logt N 即 x = * 八 log.log, a证法二:由对数恒等式,得N = a呱“,两边取以 c（c>0_ELch1）为底的对数，得 logt. N = log0Hch1）为底的对数,得mn = logc N ,iogf N logt. N所以 n = , 即 log“ N = om log（ tz3、对数换底公式的应用loa N换底公式log“N = d—（c>0JlcHl,。

〉0且北1, N〉0）的应用包括两个 log,方而，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽 视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例1、化简：1^也+ 1^也+ 12』+ 12鱼巴10氐 N log, N log, N log川解：原式=log v M + log" M + log v M + log" M = 4 log^ M 例2、已知: 证明：因为所以所以所以logA. x,log/w x,logN x(x Hl)成等差数列,求证:n2 = (k n)logkm log^ xAogm xAogn x(x Hl)成等差数列,2log,” X = log, X + log“ X ,即 logw X2 = log, X + log,, X , 如二些+些，乂 "1,则Igzo, lg/77 \gk lg/22 1 1 = 1 \gm }gk lg n2\gn lg m所以lg 伽)Igk故 n2 =(kn)[0gkmo二、对数换底公式的推论及其应用 推论1、蜒亠1^也(>0, log. N log, N2 _ lg(^)lg加 lg^-lgn log如 n~ = log, m ,〃>0且心1, gl, M >0, N>0)证法一、lg“ M 二 log M log： a 二 log?, M八 log。

N log, a log, N log： N 证法二、因为吨“必=bg M , b M = bg m , log“N log, TV所以皿如=凹沁N log’, N例3、化简：曲鱼也log： N logN log” N loga N解：原式」og“M Jo甌 M log( M log〃M logN log/7 N logc N log/ N=log v M • log v M • log v M • log v M = (log” M )4推论 2、log<; b = —!—(d〉0, 〃〉0且工1,方 H 1)logM证法一：log" b = * -g/— = —!—log/, ci logb a证法二：一!—= -)g/? - = logfl h olog/, a log, a例 4、试证：—-—I—!—I—!—…—!— = —-— 9 log?兀 log3X log4X log,, X log„,X证明： 一!——+ —-— + ——!——+ …+ ——!— = Iogv(2x3x4x---XM) log2^ log-M logz log"=logv(l x 2x3x4x---xn) = logv n\=——!——。

例 5、试证：一—+ ―*—>2o>Og2 71 log” 2证明： + = + log9 7T ,log2^- logzT 2 10g2 兀 因为 log"；r>0, —!—> 0 , log’/THl,■ log?穴 ■所以(Jlogc 7T —— )2 > 0 , 11 卩 log.兀 + —! 2 > 0 ,〜 Jlog?" - 蕊2兀log2 71 log” 2推论 3、log* b = log 丁 b" (a > 0, b > 0且 a Hl, z? H 0)logrt b" nlogj?址法一：log ” = = = log" h olog"斤证法二：设 a: = log, b ,则 ax = b ,所以(/)"=b"SH0),即(a“y =b“, 所以 x= log 严 hn，即 log" b = log a” bn o例 6、已知 lgN = a,求 log is N、log顶 N、log ] N 的值lo解:log100?/= log10 V^v=|lg?/o厶 Jlog俪 N = log|N2=21gN = 2Glog ! ?/ = log107V_l =-\gN = -aolo例 7、求证：(log2 3 + log4 9 + logs 27 4- • • • + log2„ 3;,)log9 V32 = - □2证明：(log2 3 + log4 9 + log8 27 + ••• + log.2n 3H)log9 ^32=(log。

3 + log3 + log3 + …+ log3) • — log9 32—= = 7_= — n"个=“ >0g2 3 --10g3 V32 = log2 3 • - log3 2 = -o n 2 2推论 4、log m TV = — log" N(a > ()且Hl,加 H 0) Q m证法一：log /K N :二呃“」曲N log“ 中 m f证法二：logt/M N :=logfl V/V 二丄 log“ N omi例 8、已知：log石 3 =加，logj 2 = n ,求log^ 187 的值5解：因为log肩3：乂因为 log1 2 =5=21ogs 3 = m ,所以 log5 3 = —//?, 2:-log5 2 = n 9 所以 log5 2 = -n 9所以 log25V?18^|log518 = ^ log518 = ^ log5 9 x 222 2 2=—(logs 9 + log5 2) = —(2log5 3 + log5 2) = — (m 一 n)例 9、[2知：log25 3 = a，log25 4 = b ,求 15 72 的值解：因为 log25 3 = 6/,所以一log53 = a,即 logs 3 = 2a, 乂因为 log25 4 = /?,所以 log5 2 = /?,所以 logs 72 = log58x9 = log5 23 + log5 32 =4a + 3bofrj推论 5、log, bm = — log6, b(a > 0, b > Olla Hl, m • h 0) o 门 n证法一:log w bmaJogJ/ =mlogj, = znloglog a an n n m证法二：log““ b,n例 10、己知：log[6 27 = a,求log9 96 的值。

3 3 解：因为 log1627 = -log93 = t/,所以 log? 2 = —,4 ~ 4a则 log9 96 = log9 32x3 = log9 32 + log9 3 =-log3 2 + -log3 22 2=log“ = log“ bn =—loga b on5 3 1 4a+ 15=—X 1 = o2 4a 2 8a例 11、己知:log , — = a , log! - = &,求 log81175 的值方7 5 5解：因为 log j - = log27 7 = -log3 7 = ,所以 log3 7 = 3cz , 方7 3又因为 log, - = log3 5 = b ,55所以 log J 75 =扌 log? 25 x 7 二扌(log3 25 + log3 7) = ^(21og35 + log37) = ^^。