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大连理工大学 博士学位论文 函数空间上的Toeplitz算子及Hankel算子 姓名：刘朝美 申请学位级别：博士 专业：基础数学 指导教师：卢玉峰 20090523 大连理工大学博士学位论文 摘要 T o e p l i t z 算子和H a n k e l 算子是函数空间上两类重要的的算子．由于与算子理论、函 数论、B A n a c h 代数等数学分支的紧密联系和在物理、概率论、信息控制论等学科中的广 泛应用，这两类算子成为算子理论的热门研究方向，吸引了众多学者的关注．上世纪5 0 年 代以来，数学家们对T o e p l i t z 算子和H a n k e l 算子进行了深入的研究，取得了大量重要的成 果．但到目前为止，对于T o e p l i t z 算子和H a n k e l 算子还有许多重要的问题没有得到解决， 特别是多变量的T o e p l i t z 算子和H a n k e l 算子．本文主要研究单位圆周上k 阶斜T o e p l i t z 算子的交换性和本性交换性、单位圆盘的加权B e r g m a n 空间上T o e p l i t z 算子的交换性和 亚正规性，以及单位球的加权B e r g m a n 空间上T o e p l i t z 算子乘积的有界性和H a n k e l 算子 乘积的有界性及紧性． 第二章研究了L 2 ( T ) 上的k 阶斜T o e p l i t z 算子的性质，得到了两个k 阶斜T o e p l i t z 算 子可交换的充要条件及其乘积和换位子是紧算子的充要条件，特别地，给出了两个k 阶斜 T o e p l i t z 算子的交换性与本性交换性是一致的．在此基础上，通过对单位圆周T 上本性有 界函数性质的研究，给出了以特殊函数为符号的两个k 阶斜T o e p l i t z 算子本性可交换的充 要条件． 第三章利用M e ] l i n 变换研究了单位圆盘的加权B e r g m a n 空间上T o e p l i t z 算子的性质． 首先得到了以有界函数为符号的T 0 e p l i t z 算子和以单项式函数为符号的T o e p l i t z 算子可交 换的充要条件，同时给出了f 0 ，1 ) 区间上的有界函数的M e l l i n 变换为有理函数的充要条件． 其次，借助于有界函数的M e U i n 变换的性质，得到了以特殊函数为符号的T o e p l i t z 算子为 亚正规算子的一些充要条件和充分条件． 第四章研究了单位球的加权B e r g m a n 空间上T o e p l i t z 算子乘积和H a n k e l 算子乘积 的性质．设一1 o 日∞『a ／+ b g ，a ．f + 的I 垦日o 。

c 当且仅当对每个支集s ， 下面的条件之一成立：( 1 ) ／I 和g l 属于H 0 0 l 2 ) ．厂l 和- l 属于日o o l 3 ) 存在不全 2 大连理工大学博士学位论文 为零的常数n ，b 使得n ，+ 的I 是常数，这里日∞f ，1 是由己∞中的函数．厂生成的D o u g l a s ’5 oo 代数． 在单位圆盘的B e r g m a n 空间上，对T o e p l i t z 算子交换性研究第一个完整的结果是由 A x l e r 和Z e l j k oC u 芒k o v i d 得到的．他们在f 1 5 】中证明了以有界调和函数为符号的T o e p l i t z 算子乃和E 可交换的充要条件是B r o w n 和H a l m o s 在H a r d y 空间中给出的．S t r o e t h o f f 在『1 6 1 中研究了以调和函数为符号的T o e p l i t z 算子的本性交换性，得到了两个以调和函数 为符号的T o e p l i t z 算子本性可交换的充要条件．A x l e r 、Z e l j k oC u 琶k o v i 6 和R a o 在『17 ] 中 证明了：若两个T o e p l i t z 算子可交换，并且其中一个T o e p l i t z 算子的符号是非常数的解析 函数，则另一个T o e p l i t z 算子的符号也是解析的．此外，Z 。

e l j k oC u 琶k o v i 6 和R a o 研究了与 以单项式函数为符号的T o e p l i t z 算子可交换的T o e p l i t z 算子的性质，得到了充要条件f 1 8 ] ． 近来，L o u h i c h i 和Z a k a r i a s y 在f 1 9 1 中研究了以拟齐次函数为符号的T o e p l i t z 算子的性质， 得到了以8 次拟齐次函数为符号的T o e p l i t z 算子和以k 次拟齐次函数为符号的T o e p l i t z 算 子可交换的充要条件，这里s 和七都是整数，此外，他们还得到了带有一般符号的T o e p l i t z 算子和带有k 次拟齐次符号的T o e p l i t z 算子可交换的必要条件． 在多复变量的B e r g m a n 空间上，情况更为复杂．运用朋调和函数理论，Z h e n g 在f 2 0 ] 中研究了单位球风的B e r g m a n 空间上或单位球面& 的H a r d y 空间上以多重调和函数为 符号的可交换T o e p l i t z 算子的性质，证明了以多重调和函数妒为符号的T o e p l i t z 算子乃 和以多重调和函数矽为符号的T o e p l i t z 算子％可交换当且仅当下面条件之一满足：( 1 ) 妒 和矽在玩上解析，( 2 ) ≯和妒在鼠上解析，( 3 ) 妒或妒在鼠上是常数，( 4 ) 存在非零常数 6 ·使得妒一渺在鼠上是常数；L e e 在f 2 1 1 中研究了加权的情况．近来，Q u i r o g a - B a r r a n c o 和V a s i l e v s k i 在『2 2 ] 和f 2 3 1 中研究了T o e p l i t z 算子的交换矿代数．在f 2 4 1 中S u n 和Z h e n g 证明了多元盘的B e r g m a n 空间上解析T o e p l i t z 算子的共轭算子口和解析T o e p l i t z 算子 已本性可交换当且仅当它们可交换．L u 在f 2 5 1 中刻画了双圆盘的B e r g m a n 空间上带有 日o 。

D 2 ) + 日o D 2 ) 符号的可交换T o e p l i t z 算子．C h o e 、K o o 和L e e 在f 2 6 ] 中研究了多元 盘的B e r g m a n 空间上以多重调和函数为符号的( 本性) 可交换T o e p l i t z 算子的性质．· ，’ 1 ．1 2 T o e p l i t z 算子的亚正规性 到目前为止，对H a r d y 空间上T o e p l i t z 算子的亚正规性的研究已经取得了很多成果， 具体可见f 2 7 - 4 3 ] ．特别地，F a n 在f 2 8 1 中研究了以多项式函数为符号的T o e p l i t z 算子的 亚正规性，得到了以函数妒( 名) = ∑：一一，a k ≯为符号的T o e p l i t z 算子是亚正规的当且仅当 I a 2 1 2 一I a _ 2 1 2 ≥l a 2 h - - j - i —h - - 写_ 2 a 1 1 ．在[ 3 0 】中C o w e n 研究了以函数妒= ，+ 耍∈p ( T ) 为符 号的T o e p l i t z 算子已的亚正规性，这里．，，g ∈日2 ( ．Ⅱ’) ，得到了已是亚正规的当且仅当集合 { 恐∈日∞( ．Ⅱ．) ：l I k l l o 。

≤1 ，妒一婶∈日o ，Ⅱ．) } 不是空集，等价地，存在满足l I h l l ∞墨1 的函 数h ∈日o - Ⅱ’) 及常数C 使得g = c + 死．厂．N a k a z i 和T a k a h a s h i 在『3 1 1 中推广了C o w e n 的 这个结果．G u 在『3 2 1 中将C o w e n 的结果推广到向量值T o e p l i t z 算子．之后Z h u 在『3 3 1 中 3 函数空间上的T o e p l i t z 算子及H a n k e l 算子 详细阐述了C o w e n 的结果，并且证明了以( 三角) 多项式函数为符号的T o e p l i t z 算子的亚正 规性的问题可以简化为函数论中经典的S c h u r 算法．之后L e e 和其他学者对以多项式函数 等有界函数为符号的T o e p l i t z 算子的亚正规性进行了研究，相继取得了大量的成果． 在单位圆盘的B e r g m a u 空间A 2 上，S 钺i r a o u 在㈦中研究以函数，+ 虿为符号的 T o e p l i t z 算子乃粕的亚正规性，这里，和夕都是有界解析函数，得到了T o e p l i t z 算子 乃+ 誊是亚正规的当且仅当下列条件之一成立：( 1 ) 皤岛≤衅月≥；( 2 ) 对任意k ∈A 2 ， | | ( ，一P ) ( 歹七) I I ≤I I ( I —P ) ( 一f k ) t l ；( 3 ) 对任意k ∈A 2 ，I I 虿七1 1 2 一I I P ( 虿k ) 1 1 2 ≤1 1 7 k l l 2 一I I P ( - f k ) 1 1 2 ； ( 4 ) 皤= C 三一，这里C 的范数小于等于1 ．P a t r i c kA h e r n 和Z 。

e 1 ] k oe u 邑k o v i 6 在f 4 5 ] 中运 用均值不等式和B e r e z i n 变换将S a d r a o u 的结果一般化．在【4 6 ] 中H w a n g 讨论了以．，+ 虿 为符号的T o e p l i t z 算子乃撕的亚正规性，其中．厂与夕均是多项式，得到了一个充要条件及 一些必要条件．H w a n g 和L e e 在f 4 7 1 中研究了以特殊函数为符号的T o e p l i t z 算子的亚正规 性，得到了必要条件．最近，H w a n g 在[ 4 8 ] 中讨论了以特殊函数为符号的T o e p l i t z 算子的 亚正规性，并得到了一些结果． 尽管在T o e p l i t z 算子亚正规性方面成果众多，但T o e p l i t z 算子亚正规性问题的解决还 很遥远． 1 ．1 ．3 T o e p l i t z 算子乘积 关于T o e p l i t z 算子乘积的问题是：什么时候T o e p l i t z 算子的乘积仍是一个T o e p l i t z 算 子，什么时候T o e p l i t z 算子的乘积是零算子及T o e p l i t z 算子的乘积有哪些代数性质．这些 问题与算子所带符号之间存在着密切联系． 在H a r d y 空间铲( T ) 上，S a r a s o n 首先在[ 4 9 ] 中提出了稠定义的T o e p l i t z 算子乘积 乃码什么时候有界的问题，他猜想T r e i l 得到的必要条件也是T o e p l i t z 算子乘积有界的一 个充分条件，这个问题与L 2 ( T ) 上的双权H i I b e r t 变换的有界性有着紧密联系f 5 0 1 ．在f 5 1 1 中C r u z - U r i b e 研究了以外函数为符号的T o e p l i t z 算子乘积的有界性和可逆性．Z h e n g 在 『5 2 1 中证明了只要比S a r a s o n 猜想的条件稍强一点就是。