空间两条直线的位置关系.docx

空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系1.异面直线⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线⑵特点：既不相交，也不平行⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性② “不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”③ 不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线•也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线.2•空间两条直线的位置关系⑴相交一一在同一平面内，有且只有一个公共点；⑵平行一一在同一平面内，没有公共点；⑶异面一一不同在任何个平面内，没有公共点.例1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论:① 直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为.（注：把你认为正确的结论的序号都填上）答案：③④例2、异面直线是指.① 空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线；③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线.变式1、一个正方体中共有对异面直线.知识点二平行直线1•公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行•符号表示：a〃b2.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为dCAB、BC的中点，求证：EF//A1C1.变式1、如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGHA的如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形边形吗？为什么?ABCD，那么四边形EFGH的形状还是平[|行四边形吗?例4、如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E1、E分别为A1D1、AD的中点，求证：/C1E1B1=/CEB.B知识点三异面直线F1、GII异面直线的画法：为了充分显示岀它们既不平行又不相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托强直观性，如下图（I），若画成如下图（2）的情形，就分不开了，千万不能画成孕）的图形。

画平面衬托时，通常画成下图中的情形以加2、异面直线的判定⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有：① 定义法：不同在任一平面内的两条直线.② 定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线.③ 推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线.反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提岀与结论相反的假设；二是由此假设推岀与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立，3、异面直线所成的角a与b是异面直线，经过空间任意一点0,作直线a'//a，b'将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小（3）我们规定：两条平行直线所成的角为0°角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角（或直角），因此在空间中的两条直线所成的角的范围为（0°，90°];特别地，若两异面直线所成角为90°,则称两异面直线互相垂直；（4）求异面直线所成角的一般步骤是：① 构造恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角.② 证明证明①中所作岀的角就是所求异面直线所成的角，③ 计算通过解三角形（常用余弦定理）等知识，求①中所构造的角的大小，结论假如所构造的角的大小为，若0°<<90°，则即为所求异面直线所成角的大小；若90°<<180°，贝U180°—即为所求。

例5、已知平面I，直线a,alP,直线b,b//l，求证：直线a和b是异面直线.例6、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1⑴AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解：（1）不是异面直线.理由如下：•/M、N分别是A1B1、B1C1的中点，•••MN//A1C1.又•••A1A—^D1D，而D1D_C1C,「.A1A丄C1C,A1ACC1为平行四边形,•A1C1//AC，得到MN//AC,•A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线.理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，贝UB€平面CC1D1,C€平面CC1D1,•BC?平面CC1D1，这与BC是正方体的棱相矛盾，•假例7、如图2.1.2—18,已知不共面的三条直线a,b,c相交于点P,A€a,B€a,C€b,D€c,求证：AD和BC是异面直线.证法一：（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面为a,那么点P、A、B、C、D都在平面a内，•直线a、b、c都在平面a内，与已知条件a、b、c不共面相矛盾.• AD与BC是异面直线.证法二：（直接用判定定理）：•••anc=P,• a和c确定一个平面，设为B,巳知C平面B,B€平面B,AD平面B,BAD,• AD和BC是异面直线.变式1、如图2.1.2—19,a,b是异面直线，A、B€a,C、D€b,E、F分别为线段AC和BD的中点，判断直线EF和a的位置关系，并证明你的结论.答案：EF和a是异面直线，可用反证法证明.例&正方体ACl中，E,F分别是A1B1,B1Cl的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小变式1、空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BC=AD=2EF，求直线EF与直线例9、直三棱柱亠厂一4"〔中，若,A£=AC=AA与4-1所成的AD所成的角角等于A.30B.45C.60D.90°的角的大解：C变式1已知空间四边形ABCD各边长相等，求异面直线AB和CD所成小.解：•••异面直线ABCD成90°角.巩固练习：1. 一、判断题若三条直线两两平行，则这三条直线必共面.（）互不平行的两条直线是异面直线.（）二、单选题关于异面直线，有下列3个命题：① 分别在两个不同平面内的两直线是异面直线② 平面内的一直线与平面外的一直线是异面直线③ 都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是A. 0B.1C.2D.32.直线a、b是两条异面直线,A、B与C、D分别为直线a、b上不同的点，则直线AC与BD的关系是A•可能相交B•可能平行C.异面D•相交或异面3.两条异面直线指的是A.在空间不相交的两条直线B•分别位于两个不同平面内的两条直线C. 一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线4. 不同在任何一个平面内的两条直线下列命题中，真命题的是A•两两相交的三条直线共面5. C•不共面的四点中可以有三点共线空间两条互相平行的直线，指的是A•在空间没有公共点的两条直线B•两两相交且不共点的四条直线共面D•边长相等的四边形一定是菱形C•位于同一平面内且没有公共点的两条直线B•分别在两个平行平面内的两条直线D•分别与第三条直线成等角的两条直线6.平面M、N相交于EF，分别在平面A•异面B•平行C•相交N内作/EAC=/FBD，贝UAC和BD的关系是D•不确定7.直线a和b是异面直线，直线cIIa，那么b与cA•异面B•不异面C•相交D•异面或相交8.如果一条直线和两条异面直线都相交，那么它们可确定A.4个平面B.3个平面C.2个平面D.1个平面9.若m和n是异面直线，n和丨也是异面直线，则A.当mQl=©时，m与丨异面B.mAl=$C.当m与丨共面时，mI丨D.m与丨相交、异面、平行都可能10.若P是两条异面直线丨、m外的任意一点，则（）A.过点P有且仅有条直线与丨、m都平行B.过点P有且仅有条直线与丨、m都垂直C.过点P有且仅有条直线与丨、m都相交D.过点P有且仅有条直线与丨、m都异面11.过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A作直线丨，使丨与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线丨可以作（）A.1条B.2条C.3条D.4条三、填空题1.“直线a、b异面”的否定说法是“”.2. 不平行的两条直线的位置关系是.3. “直线ab相交”的否定说法是“”.4. 过已知直线外一点，可以作条直线与已知直线垂直.5. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是.6. 已知直线a和b是异面直线，直线c和a平行而不和b相交，则c和b的位置关系是直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系是.7. “直线a、b异面”还可以说成“直线a、b既不，又不”.8. 空间有三条直线a、b、c，如果b丄a，c丄a，那么直线b、c的位置关系是.9. 和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是.10. 已知直线a、b、c满足aIIb，b与c是异面直线，则a与c的位置关系是.11. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，与侧面对角线AD1成异面直线的棱共有条，它们分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中，与棱AB成异面直线的棱共有条，它们分别是正方体的12条棱中，互为异面直线的有对.答案一、判断题1.X2.X二、单选题1.A2.C3.D4.B5.C6.D7.D8.C9.D三、填空题1.a、b共面2.相交或异面3.a、b不相交或a、b无公共点4. 无数5.平行或相交或异面6.异面7.相交或平行8.相交，平行9.平行或相交或异面10.相交或平行或异面11.相交或异面12.6;BC，B1C1，BB1，CC1，DC，A1B113.4;A1D1，B1C1，CC1，DD114.24空间两条直线的位置关系1.已知直线a,b都在平面夕卜，则下列推断错误的是（）A.a〃b,b〃a〃b.ab,ba//C.a〃，b〃a〃bd.a,ba//b【答案】C2.已知直线1I平面a，P€a，那么过点P且平行于l的直线（A. 只有一条，不在平面a内只有一条，在平面a内有两条，不一定都在平面a内有无数条，不一定都在平面a内【答案】B3.下列命题正确的是（）A.若两条直线与冋一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C4. 下列四个条件中，能确定一个平面的是A.一条直线和一个点B.C.空间任意三点D.【答案】D5. 在平整的地面上任意放一根笔直的钢管A.平行B.相交C.异面D.垂直）空间两条直线两条平行直线,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线【答案】D平行于同一平面的两条直线的位置关系（）A.平行B•相交C•异面D•平行、相交或异面A. 【答案】D下列命题中，错误的是（）三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面.B. 平面a//平面3,aa,过B内的一点B有惟一的一条直线b,使b//a.C. a//3,y〃3,a、3、丫、3的交线为a、b、c、d,贝Ua/b//c//d.D. —条直线与两个平面所成角相等，则这两个。