圆锥曲线题型训练-轨迹方程的求法.doc

圆锥曲线题型训练 轨迹方程的求法总论 21 直接法 3练习1 42 定义法 5练习2 73 代入法 9练习3 114、交轨法 11练习4 135参数法 14练习5 186、练习题答案 20练习1答案 20练习2答案 23练习3答案 28练习4答案 29练习5答案 34总论轨迹:是指一个动点按某种特点来运动，运动构成的曲线，可以是，直线，线段，圆，或椭圆，双曲线等等，我们这里把“曲线”也叫做“轨迹”；求动点轨迹方程:即已知动点的运动规律，我们来求满足此条件的动点的坐标满足的方程（即等式）；这个过程要求我们善于将几何图形中点、线之间的关系转化为代数形式，比如，长度，距离，向量的关系式等等，将条件坐标化，注意分析运动过程中不变的等量关系，将“不变的关系”化为“等式”，即达到了求轨迹方程的目的可能用到的公式：两点间距离：点到直线的距离：两条平行新间的距离：平面向量的数量积的坐标形式：平面向量数乘的坐标形式：1 直接法本着“求谁设谁”的原则，将所求轨迹的动点的坐标设为,根据其运动特点列等式,利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式等）进行整理、化简，把运动特点“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。

例 一条线段AB的长等于,两个端点分别在轴和轴上滑动，求中点的轨迹方程？解：设，则，由得，化简得变式：若，则点的轨迹方程是什么？例 已知点，动点满足，求动点的轨迹方程解：因为,代入，得化简得，说明轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.说明：由此题可以得到一个推论：已知平面上两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆（阿氏圆）例2 （2009海南20） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，其中由已知及点在椭圆上可得，整理得，其中i）时，化简得，即，轨迹是两条平行于轴的线段；（ii）时，方程变形为，其中，当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆点评：直接法求轨迹方程的特点是，直截了当，看似容易掌握，但也会有难一点的问题，难题可能难在：与数学思想结合，比如上例，分类讨论，也可能是运动特征比较复杂，需要严密的分析，如练习题中的第6,7题。

练习11、已知点，动点满足，则点的轨迹是（　　）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线2、设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,，动点的轨迹为E．求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；3、（2006四川）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（A） （B） （C） （D）4、（2013陕西理）已知动圆过定点, 且在轴上截得的弦的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹的方程; (Ⅱ) 已知点, 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 5、如图,圆与圆的半径都是1,，过动点P分别作圆、圆的切线PMN（分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.6. （2013四川理）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.7、（2012四川理）如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为.(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.2 定义法我们经过分析发现动点的运动特征符合某种已知曲线（椭圆、双曲线等）的定义，就可以确定轨迹的曲线类型，用待定系数法，确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1 已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹解：由可知，即，故顶点的轨迹是椭圆（不含轴上的点）设椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）例2 一条线段AB的长等于,两个端点分别在轴和轴上滑动，求中点的轨迹方程？解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以为圆心，为半径的圆周.例 已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为，由两圆外切的条件可得：,，得，∴动圆圆心P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，，故所求轨迹方程为例 双曲线，左右焦点分别是，Q是双曲线右支上的动点，过作的平分线的垂线，求垂足M的轨迹．解：设点M的坐标为，延长与交于点T，连接OM．∵ QM平分，且QM⊥，∴ ，．又∵点Q是双曲线右支上的动点，∴ ∴ ，∴ ，即点M在以O为圆心，为半径的圆上．∵ 当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线，∴ 点M的轨迹是圆弧CBD，除去点C,点D.方程为：．【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键l 圆：到定点的距离等于定长l 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）l 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）l 抛物线：到定点与定直线的距离相等（定点不在定直线上）。

练习21、（1）到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A． B． C． D．（2）（2004年全国理）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为 .2．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是( )A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．以上都不对3．设定点、，动点满足条件，则点P的轨迹( )A．椭圆 B．线段 C. 不存在 D．椭圆或线段4．求下列动点的轨迹方程：（1）动点P与定点、的连线的斜率之积为；（2）ABC的一边BC的长为6，周长为16；（3）若；5、（1）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线（2）平面内到点、距离之和为的点的轨迹为( ) A．椭圆 B．一条射线 C．两条射线 D．一条线段（3）一动圆与圆O：外切，与圆C：内切，动圆的圆心M的轨迹是( ) A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支6、 如图,已知圆B：(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点，则线段AC的垂直平分l与线段CB的交点P的轨迹方程是 .7、2016年全国新课标卷Ⅰ(理)真题20. （本小题满分12分）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.《考前圈题：利用定义求轨迹方程问题》如图,已知圆B：(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点，设线段AC的垂直平分l与线段CB的交点为P,求点P的轨迹方程.7、已知中，A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，求顶点C的轨迹方程8、点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为 .9、动圆与圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心轨迹方程是 .10、在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程．11、 (2005重庆)已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 。

12、（2007江西理21）设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．13、（2007湖南文19）已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．（I）证明，为常数；（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．14. （2013新课标1理）已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 15、（唐山2015一模）已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为．求曲线的方程；直线交圆于，两点，当为的中点时，求直线的方程．3 代入法在运动过程中，存在不止一个动点，所求动点的运动依赖于另一个动点P，而动点P的轨迹方程C是已知的，我们可以借助二者坐标的关系，将代入C中即可求得；例 点是圆上的动点，点,求的中点的轨迹方程解：设，，则依题意有， 因为点在圆上，从而，即 整理得M的轨迹方程为例 如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 解: 设，为的中点，则在直角△中，, 又因为是弦的中点，则①,又②，由①②得，因为是的中点，所以,代入方程,得，得,这就是所求的轨迹方程。

例 (2005江西)设抛物线的焦点为,动点在直线上运动,过作抛物线的两条切线,且与抛物线分别相切于两点，求的重心的轨迹方程；解：设切点坐标分别为，对函数，求导得，于是切线的方程为①，切线的方程为②，由①②可得点的坐标为，的重心的坐标为，，∴，由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为，即练习31. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为： （ ） A、 B、 C、 D、=12、双曲线有动点P，F1, F2是曲线的两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程3、( 01上海) 设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 4、若动点P在y =2x2+1上移动,则点P与点Q( 0,-1)连线中点的轨迹方程是 5、动圆。