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数据波动性分析(波动率分析) 为大家解读：引言长期以来，波动率模型一直在金融时间序列研究中占据核心地位学者们提出过各种各样的方法对波动率进行估计，其中最具代表性的当属Engle〔1982〕、Bollerslev〔1986〕提出的ARCH/GARCH类模型，这类模型在描述波动率聚类，尖峰厚尾现象上有相当出色的表现GARCH模型的成功提出，鼓励了后继者们开发各种类型的GARCH模型〔Bollerslev，2022〕特别地，为了衡量收益率对于波动率的非对称影响，Nelson〔1991〕、Glosten等〔1993〕分别提出EGARCH和GJR-GARCH模型来刻画这种杠杆现象Engle和Victor〔1993〕提出用“信息冲击曲线〞〔News Impact Curve，NIC〕来分析“杠杆效应〞除了“杠杆效应〞，研究者还发现基于正态分布的GARCH模型并不能很好地刻画残差的厚尾性质，因此开始考虑使用厚尾分布，如Student's-t分布、GED分布等随着高频数据的可得性越来越强，基于高频数据非参数的各种“实现〞测度①〔Realized Measure〕在波动率研究中越发占据重要地位鉴于GARCH模型在日数据上的成功表现，如何将实现测度和传统的GARCH模型框架结合起来就成为波动率建模中的一个热点话题。

一个直接的方法就是将实现测度简单地参加到方差方程式中作为一个外生变量，如GARCH-X模型由于仅仅是将实现测度当做外生变量，这类模型并不是完整的模型，并不能解释实现测度的变动为了改进这一点，人们开始寻找“完整〞的模型Engle和Gallo〔2022〕、Shephard和Sheppard〔2022〕分别提出了MEM模型和HEAVY模型，但这两个模型都依赖于至少两个以上的隐变量〔Latent Variable〕相比之下Hansen等〔2022〕提出了Realized GARCH模型就要简单直接得多，这个模型只用一个隐变量就可以实现收益率，波动率和实现测度的联合建模其想法是将GARCH-X模型的条件波动率h和实现测度X用一个测量方程连接，从而将模型封闭起来并在其中植入一个杠杆函数来描述“信息冲击曲线〞②Hansen等〔2022〕提出的Realized GARCH模型采用的残差分布是标准正态分布，这种分布并不能充分拟合收益率序列中可能的厚尾和偏峰的情况，本文使用美国股市数据进行拟合的结果也证实了这一点因此本文将标准Realized GARCH模型推广到残差服从Skewed-t分布的情形之下，结果显示这种推广可以显著地增强模型对样本的拟合。

另外，标准Realized GARCH模型将杠杆函数的幂次锁定在2，这等于先验地设定了信息冲击曲线的陡峭程度，或者说是设定了波动率对于收益率冲击的敏感程度本文的第二个推广在于将幂次系数d作为一个数据决定的待估参数，与模型的其他参数一起进行估计结果显示，在相当的情况下，这样的处理可以改进模型的拟合，运用“开盘价—收盘价〞计算收益率的模型其信息冲击曲线参数d集中在1.5附近，而并不是标准模型中设定的2Wantanabe〔2022〕和本文平行开展了基于Skewedt分布Realized GARCH模型，但是和本文有显著的不同：第一，侧重点不同，Wantanabe〔2022〕侧重于将结果应用于VaR的估计，本文侧重于在更合理的残差假定下最优的估计“信息冲击曲线〞的参数；第二，应用数据不同，本文除了讨论指数数据SPY以外，还讨论了个股数据；第三，收益率的计算更多样，除了讨论“收盘价一收盘价〞收益率以外，还讨论“开盘价一收盘价〞收益率这两种收益率的比较表达了隔夜收益率或者说是隔夜信息对于残差分布以及信息冲击曲线的影响一、Realized GARCH模型简介为了简单起见，本文使用Hansen等〔2022〕提出的最简单的Realized GARCH〔1，1〕模型为例：从而有v〔z〕=γτ〔z〕∝π〔z〕。

因此，本文在样本中不加区分地将τ〔z〕称为“信息冲击曲线〞和传统的GARCH模型一样，Realized GARCH模型使用的也是正态的残差分布，这种分布有可能不能给出足够的偏峰和厚尾性质因此我们有理由疑心Realized GARCH模型和传统GARCH模型一样在拟合收益率分布的偏峰和厚尾性质能力缺乏本文使用基于正态分布的Realized GARCH模型对指数〔SPY〕和个股〔MSFT〕2022年1月至2022年8月日数据进行拟合其中，日收益率使用“收盘价一收盘价〞和“开盘价一收盘价〞两种不同的方式计算实现波动率使用的实现“核〞波动的计算方法如下：其中，K〔·〕是核函数，这里使用的是Bartlett核H是核函数的带宽实现“核〞波动率和传统的实现波动率RV相比，由于显著地考虑了高频收益率之间的相关性，因此削弱了市场微观噪音对于实现测度计算的影响为了确定残差的尾部厚度和偏斜情况，本文对残差进行Skewed-t分布拟合，结果如下页图1所示结果显示残差仍存在厚尾和偏斜现象，且个股数据表现更突出，更加偏离正态分布基于“收盘价一收盘价〞日收益率模型的残差比使用“开盘价一收盘价〞日收益率模型的残差更加接近正态分布。

由图1可知，正态分布对于残差的描述能力有限，因此有必要对模型进行拓展，使残差能够容纳厚尾和偏斜这两个特征二、模型扩展对根本的Realized GARCH模型进行两项扩展，第一项为哪一项改变误差的分布鉴于前面正态分布不能拟合的偏度和厚尾的性质，本文使用Hansen〔1994〕提出Skewed-t分布来改进③使用Skewed-t分布的好处在于其相当灵活，t分布、Skewed-Normal分布、Normal分布都是其特殊情况Skewed-t分布密度函数：Hansen〔1994〕证明了上述分布的均值为0，方差为1分布中的参数λ控制了Skewed-t的偏度，当λ时分布右偏，当λ时分布左偏当λ=0时，Skewed-t分布退化为标准t分布进一步，和t分布一样，自由度η控制了尾部的厚度，当η→∞时，Skewed-t分布趋向Skewed-Normal分布：其中，-1＜λ＜1进一步，当λ=0时，Skewed-Normal分布退化为标准正态分布，并有标准的尾部厚度〔峰度为3〕第二个扩展是把τ〔〕函数的幂次作为优化变量来处理，具体为：三、估计结果及检验本文使用的数据包括股票指数〔SPY〕和个股数据〔MSFT、IBM、INTC、WMT、XOM〕的2022年1月至2022年6月的日数据。

使用MLE方法估计基于Skewed-t分布的Realized GARCH模型，结果见表1表1中的第一局部是基于“收盘价一收盘价〞计算收益率的估计结果，第二局部是基于“开盘价一收盘价〞计算的收益率的估计结果，两者之间的差距可以认为是隔夜收益率的影响和前面一样，实现波动率使用实现“核〞波动率〔RK〕计算从表1中可以看出，系数β和γ的大小在指数和个股之间都相对稳定系数Ф取值接近于1，印证了式〔3〕被看做测量方程是有道理的，同时这个结论也和Andersen和Bollerslev〔1998〕给出的结论一致，即GARCH模型可以给出波动率的一个较好的估计参数η显示，相对于“收盘价一收盘价〞收益率而言，“开盘价一收盘价〞收益率计算的模型残差尾部更薄一些这是因为实现“核〞波动率的计算只是用到了日内收益数据，并不包含隔夜收益的信息因此，相对于同是日内收益率概念的“开盘价一收盘价〞收益率而言，“收盘价一收盘价〞收益率蕴含更多的不确定性，而这种附加的不确定性导致了“收盘价一收盘价〞收益率模型的残差有更厚的尾部④以，和d衡量的τ〔z〕函数形状在不同的股票之间显示出相同的特征，负向收益率会增大波动率，超过平均水平的收益率会增大波动率。

参数d的取值在“收盘价一收盘价〞收益率模型中波动较大，但是在“开盘价一收盘价〞收益率模型中波动相对较小，大多在1.5左右τ〔z〕对应于传统文献中的“信息冲击曲线〞；其中参数d的大小决定了这条曲线陡峭程度，d越小曲线越平坦，条件波动率对于信息冲击的反应越迟钝；d越大曲线越陡峭，条件波动率对于信息冲击的反应越敏感模型显示日内收益率“信息冲击曲线〞的敏感程度相对稳定，但隔夜收益率“信息冲击曲线〞的敏感程度那么有相当的差异这导致了使用“收盘价一收盘价〞收益率模型计算的敏感程度参数d波动很大在Skewed-t分布中控制尾部厚度的参数是自由度η，η趋向无穷时，Skewed-t分布趋向Skewed-Normal分布在定义给出的偏度参数范围之内，Skewed-Normal分布的峰度接近标准正态分布的峰度⑤，特别地，在λ=0时退化为正态分布我们使用两种方式对厚尾性进行检定，一种是Skewed-t分布和Skewed-Normal分布的比较，一种是标准t分布和正态分布的比较偏峰与否等价于λ是否为0，从结果中看，残差的偏斜程度因股票而不同，指数数据存在着相当的偏斜，某些股票〔特别是使用“收盘价一收盘价〞收益率模型时〕并没有出现明显的偏斜。

下面使用传统的似然比检验对上述假设进行推断：其中，k是约束的个数做检验用的数据集和模型估计用的数据集一致为了讨论方便，我们对不同模型进行如下设定：SKT为基于Skewed-t分布的Realized GARCH模型；SN为基于Skewed-Normal分布的Realized GARCH模型；T为基于Student's-t分布的Realized GARCH模型；N为基于正态分布的Realized GARCH模型；SKTd为基于Skewed-t分布的Realized GARCH模型且不约束d为2；Td为基于Student's-t分布的RealizedGARCH模型且不约束d为2表2给出对数似然函数的值，表3给出似然比检验的值表3中的前两列对应着厚尾性的检验⑥如前所述，我们使用两个不同的尾部厚度标准第一列以容纳了偏峰性质的Skewed-Normal分布为标准，用比较SKT和SN模型的结果来实现；第二列以正态分布为标准，用比较T和N模型的结果来实现；第三列对应着偏峰性质的检验，使用比较SKT和T模型的结果来实现；第四列对应着偏度和峰度的联合检验，用比较SKT和N模型的结果来实现；最后两列对应着τ〔z〕函数的设定检验，分别讨论了允许残差分布偏峰和不允许残差分布偏峰两种情况。

从结果可以看出，无论是使用“收盘价一收盘价〞收益率还是“开盘价一收盘价〞收益率，都无法消除残差的非正态性质比照关于偏度和峰度的两个单独的检验，除了使用“开盘价一收盘价〞收益率的INTC数据略微不到5%显著性水平以外，个股和指数数据都显示模型残差有着强烈的厚尾性质相比而言，偏峰的性质在统计上就要弱很多，甚至在使用“收盘价一收盘价〞收益率模型之下大量的不显著综合以上3点可以看出，残差非正态性质更显著地由残差的厚尾性质导致残差的偏峰性相对不显著的原因可能是Realized GARCH模型本身的结构本身就可以产生相当的偏度，并不需要附加的分布再进一步产生偏度了〔Hansen等，2022〕但是由于厚尾性质要强烈的多，使用正态分布为根底的Realized GARCH模型并不能产生足够峰度，因此需要使用厚尾分布来进一步描述数据最后两列是关于τ〔z〕函数设定的检验，指数数据以及相当比例的个股数据显示，将d作为待估参数，让数据决定最优的d，会显著地提升模型对于数据的拟合这同时也说明，标准Realized GARCH模型设定敏感程度d=2并不总是适宜的，为了更好地估计“信息冲击曲线〞曲线，有必要将d也作为一个待估参数。

放松d=2的另一个可能的好处在于压缩波动率预测的置信区间这是因为τ〔z〕实际上是随机冲击到波动率的一个映射，给定其他参数不变，每单位冲击对于波动率的影响实际上是随着d的增大而增大的由于我们的结果中绝大局部的情况下d。