时间序列计量经济学模型讲义1课件.ppt

主要内容v确定性时间序列模型v随机时间序列概述v时间序列的平稳性及其检验v随机时间序列分析模型v协整分析和误差修正模型1时间序列和时间序列模型时间序列和时间序列模型v时间序列：时间序列：›各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据列起来的统计数据›一个时间序列数据可以视为它所对应的随机变量或随机一个时间序列数据可以视为它所对应的随机变量或随机过程（过程（stochastic processstochastic process）的一个实现）的一个实现（（realizationrealization））v时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式和相互联系的数学表达式›确定性的时间序列模型确定性的时间序列模型›随机时间序列模型随机时间序列模型2第一节、确定性时间序列模型第一节、确定性时间序列模型v事物变化的过程有一类是确定型过程，可以用关于时间t的函数描述的过程 例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等v滑动（移动）平均模型v加权滑动平均模型v二次滑动平均模型v指数平滑模型3(1) 滑动平均模型滑动平均模型4(2) 加权滑动平均模型加权滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确5(3) 二次滑动平均模型二次滑动平均模型对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均6(4) 指数平滑模型指数平滑模型7（（5）二次指数平滑模型）二次指数平滑模型v在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算，即构成二次指数平滑模型。

同样可滑计算，即构成二次指数平滑模型同样可以构成三次指数平滑模型以构成三次指数平滑模型8第二节、第二节、 随机时间序列概述随机时间序列概述9经济量预测的方法经济量预测的方法v一、根据一定的经济理论，建立各种相互影响一、根据一定的经济理论，建立各种相互影响的经济变量之间的关系模型，根据观测到的经的经济变量之间的关系模型，根据观测到的经济数据估计出模型参数，利用模型来预测有关济数据估计出模型参数，利用模型来预测有关变量的未来值变量的未来值›这种方法的优点在于精确地考虑到了各经济变量之这种方法的优点在于精确地考虑到了各经济变量之间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不完备，经济模型和经济计量模型不可能真正准确地完备，经济模型和经济计量模型不可能真正准确地反映了经济现实，因而得到的结果不可能是相当准反映了经济现实，因而得到的结果不可能是相当准确v二、利用要预测的经济变量的过去值来预测其二、利用要预测的经济变量的过去值来预测其未来值，而不考虑变量值产生的经济背景未来值，而不考虑变量值产生的经济背景›这种方法假定数据是由随机过程产生的，根据单一这种方法假定数据是由随机过程产生的，根据单一变量的观测值建立时间序列模型进行预测。

这种方变量的观测值建立时间序列模型进行预测这种方法在短期预测方面是很成功的法在短期预测方面是很成功的10随机过程与随机序列随机过程与随机序列11随机过程离散型连续型平稳的非平稳的宽平稳过程严（强）平稳过程12时间序列分类v随机过程的一次实现称为时间序列，也用{x t }或x t表示 v与随机过程相对应，时间序列分类如下： 13从相同的时间间隔点上取自连续变化的序列（人口序列） 时间序列离散型连续型（心电图，水位纪录仪，温度纪录仪） 一定时间间隔内的累集值（年粮食产量，进出口额序列） 14随机过程与时间序列的关系v随机过程: {x1, x2, …, xT-1, xT,}v第1次观测：{x11, x21, …, xT-11, xT1}v第2次观测：{x12, x22, …, xT-12, xT2}v    v第n次观测：{x1n, x2n, …, xT-1n, xTn} 15例1v某河流一年的水位值，{x1, x2, …, xT-1, xT,}，可以看作一个随机过程每一年的水位纪录则是一个时间序列，{x11, x21, …, xT-11, xT1}。

而在每年中同一时刻（如t = 2时）的水位纪录是不相同的{ x21, x22, …, x2n,} 构成了x2取值的样本空间 16例2v要记录某市日电力消耗量，则每日的电力消耗量就是一个随机变量，于是得到一个日电力消耗量关于天数t的函数而这些以年为单位的函数族构成了一个随机过程 {xt}, t = 1, 2, … 365因为时间以天为单位，是离散的，所以这个随机过程是离散型随机过程而一年的日电力消耗量的实际观测值序列就是一个时间序列 17说 明v自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳的如工业生产中对液面、压力、温度的控制过程，某地的气温变化过程，某地100年的水文资料，单位时间内路口通过的车辆数过程等v但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的如一个国家的年GDP序列，年投资序列，年进出口序列等 18随机时间序列模型随机时间序列模型v自回归模型（AR）v移动平均模型（MA）v自回归—移动平均模型（ARMA）19时间序列模型的例子时间序列模型的例子20时间序列模型的例子时间序列模型的例子21时间序列模型的例子时间序列模型的例子22第三节、时间序列的平稳性及其检验一、基本概念23回忆：经典回归模型的假定回忆：经典回归模型的假定24经典线性正态假定：进一步的说明经典线性正态假定：进一步的说明v如果满足假定如果满足假定1-3，回归系数的，回归系数的OLS估计量是估计量是无偏的无偏的v如果满足假定如果满足假定1-5，回归系数，回归系数OLS估计量的方估计量的方差估计是无偏的，而且差估计是无偏的，而且OLS估计量是最优线估计量是最优线性无偏估计量性无偏估计量v如果满足假定如果满足假定1-6，模型的，模型的t检验和检验和F检验是有检验是有效的效的25经典线性正态假定：进一步的说明经典线性正态假定：进一步的说明v在大多数情况下，时间序列很难满足经典线在大多数情况下，时间序列很难满足经典线性正态模型假定，特别是误差项条件均值为性正态模型假定，特别是误差项条件均值为0 0、、无序列相关以及正态性的假定。

因此，就需无序列相关以及正态性的假定因此，就需要用大样本来做渐进处理要用大样本来做渐进处理26大样本条件下的普通最小二乘估计大样本条件下的普通最小二乘估计假定假定v这些假定比有限样本下的假定弱得多这些假定比有限样本下的假定弱得多27大样本条件下的普通最小二乘估计大样本条件下的普通最小二乘估计v如果满足假定如果满足假定1-3，回归系数的，回归系数的OLS估计量是估计量是一致的一致的v如果满足假定如果满足假定1-5，回归系数，回归系数OLS估计量是渐估计量是渐近正态分布的，模型的近正态分布的，模型的t检验和检验和F检验是渐近检验是渐近有效的有效的28经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性v经典回归分析暗含着一个重要假设：经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的数据是平稳的v数据非平稳，大样本下的统计推断基础数据非平稳，大样本下的统计推断基础——““一致一致性性””要求要求——被破坏v如果如果X X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则一是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则一致性条件不成立，回归估计量不满足致性条件不成立，回归估计量不满足““一致性一致性””，，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。

基于大样本的统计推断也就遇到麻烦29有趋势的时间序列有趋势的时间序列线性趋势指数趋势tt30伪回归（伪回归（spurious regression））v如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳的，从而采用的，从而采用OLS估计的估计的t检验和检验和F检验就是无检验就是无效的v两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系，两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系，在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系数数v出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量，出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量，另一种办法是把非平稳的序列平稳化另一种办法是把非平稳的序列平稳化31数据非平稳的问题数据非平稳的问题v在现实经济生活中，实际的时间序列数据往在现实经济生活中，实际的时间序列数据往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、往是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降收入、价格往往表现为一致的上升或下降这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。

析，一般不会得到有意义的结果32时间序列分析模型方法时间序列分析模型方法v时间序列分析方法由时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) Box-Jenkins (1976) 年年提出，以通过揭示时间序列自身的变化规律提出，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论v它适用于各种领域的时间序列分析它适用于各种领域的时间序列分析v时间序列分析已组成现代计量经济学的重要时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中内容，并广泛应用于经济分析与预测当中33时间序列模型不同于经典计量模型的时间序列模型不同于经典计量模型的两个特点两个特点v⑴ ⑴ 这这种种建建模模方方法法不不以以经经济济理理论论为为依依据据，，而而是是依依据据变变量量自自身身的的变变化化规规律律，，利利用用外外推推机机制制描描述时间序列的变化述时间序列的变化v⑵ ⑵ 明确明确考虑时间序列的非平稳性考虑时间序列的非平稳性如果时间如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。

它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题 34v假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程生成的，即假定时生成的，即假定时间序列间序列{Xt}（（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：布中随机得到，如果满足下列条件：v1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；v2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数； v3）协方差）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，与有关，与时间时间t 无关的常数；则称该随机时间序列是无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的平稳的（（stationary)，而该随机过程是一，而该随机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（（stationary stochastic process） 平稳的概念35两种基本的随机过程v白噪声（白噪声（white noisewhite noise）过程）过程 v随机游走（随机游走（random walkrandom walk）过程）过程 36白 噪 声v一个具有均值为零和相同有限方差的独立随一个具有均值为零和相同有限方差的独立随机变量序列机变量序列e et t称为白噪声称为白噪声(white noise)(white noise)。

v如果如果e et t服从正态分布，则称为高斯白噪声服从正态分布，则称为高斯白噪声v由于由于XtXt具有相同的均值与方差，且协方差为具有相同的均值与方差，且协方差为零零, ,由定义由定义, ,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的v注：白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声37由白噪声过程产生的时间序列 38日元对美元汇率的收益率序列 39随机游走随机游走（（random walk））v“随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature）杂志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中该信件的题目是“随机游走问题”文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索 40随机游走随机游走（（random walk））v随机时间序列由如下随机过程生成：随机时间序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+ t› t是一个白噪声是一个白噪声v该序列有相同的均值该序列有相同的均值E(Xt)=E(Xt-1)，但方差与但方差与时间有关而非常数，是一非平稳序列时间有关而非常数，是一非平稳序列41证 明v假设假设Xt的初值为的初值为X0，则易知，则易知:vX1=X0+1vX2=X1+2=X0+1+2v … …vX Xt t=X=X0 0+ +1+2+…+ +t 由于由于X X0 0为常数，为常数， t t是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此: : Var(XVar(Xt t)=t)=t 2 2Xt的方差与时间的方差与时间t t有关而非常数，它是一非平稳序列。

有关而非常数，它是一非平稳序列42随机游走随机游走v对对X X取取一阶差分一阶差分（first difference）:vXt=Xt-Xt-1=tv由于由于 t t是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列{Xt}是平稳的是平稳的v如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列过取差分的方法而形成平稳序列43由随机游走过程产生时间序列 44日元对美元汇率（300天，1995年） 45时间序列模型的主要分类 v自回归过程 v移动平均过程46自回归过程 v如果一个线性过程可表达为如果一个线性过程可表达为v x xt t = =   1 1x xt t-1 -1 + +   2 2 x xt t-2 -2 + … + + … +   p p x xt t- -p p + + u ut t , , v其其中中 i i, , i i = = 1, 1, … p p 是是自自回回归归参参数数，，u ut t 是是白白噪噪声声过过程程，，则则称称x xt t为为p p阶阶自自回回归归过过程程，，用用AR(AR(p p) )表表示示。

x xt t是是由由它它的的p p个个滞滞后后变变量量的的加加权权和以及和以及u ut t相加而成相加而成 v与自回归模型常联系在一起的是与自回归模型常联系在一起的是平稳性平稳性问题 47移动平均过程v如果一个线性随机过程可用下式表达如果一个线性随机过程可用下式表达vx xt t = = u ut t + +   1 1 u ut –t –1 1 + +  2 2 u ut t -2 -2 + … + + … +   q q u ut – qt – q v= (1 + = (1 +   1 1L + L +   2 2 L L2 2 + + … … + +  q q L Lq q) ) u ut t = =   L L) ) u ut t　　　　v其其中中  1 1, ,   2 2, , …, ,   q q是是回回归归参参数数，，u ut t为为白白噪噪声声过过程程，，则则上上式式称称为为q q阶阶移移动动平平均均过过程程，，记记为为MA(MA(q q) ) 之之所所以以称称““移移动动平平均均””，，是是因因为为x xt t是是由由q q +1+1个个u ut t和和u ut t滞滞后后项项的的加加权权和和构构造造而而成成。

移移动动””指指t t的的变变化化，，““平平均均””指加权和指加权和 48随机游走随机游走v随机游走过程是随机游走过程是1 1阶自回归阶自回归AR(1)AR(1)过程的特例过程的特例:Xt=:Xt= X Xt-1t-1+ + t t ›| | |>1|>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升表现为持续上升( ( >1)>1)或持续下降或持续下降( ( <-1)<-1)，因此，因此是非平稳的；是非平稳的；› =1=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的时，是一个随机游走过程，也是非平稳的›只有当只有当-1<-1< <1<1时，该随机过程才是平稳的时，该随机过程才是平稳的49时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性检验v1、博克斯、博克斯-皮尔斯（皮尔斯（Box-Pierce)Q统计量统计量›平稳过程的一个显著特征是自相关函数随时间间平稳过程的一个显著特征是自相关函数随时间间隔隔k k的增大而衰减，因此，对时间序列的样本自相的增大而衰减，因此，对时间序列的样本自相关函数是否显著地不为零，来检验序列的平稳性。

关函数是否显著地不为零，来检验序列的平稳性50检验样本自相关函数及其图形v随机时间序列的自相关函数随机时间序列的自相关函数（（autocorrelation function, ACFautocorrelation function, ACF）：）： v  k k= = k k/ / 0 0 › k k是时间序列滞后是时间序列滞后k k期的协方差，期的协方差，  0 0是方差是方差v实际上，对一个随机过程只有一个实现（样实际上，对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算样本自相关函数（系本），因此，只能计算样本自相关函数（系数）（数）（Sample autocorrelation functionSample autocorrelation function）51样本自相关函数随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多52平稳序列的判断krkkr k0011平稳序列的自相关函数非平稳序列的自相关函数迅速下降到零缓慢下降53相关图和Q -统计量vBartlettBartlett曾证明曾证明: :如果时间序列由白噪声过程如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的生成，则对所有的k>0k>0，样本自相关系数近似，样本自相关系数近似地服从以地服从以0 0为均值，为均值，1/n 1/n 为方差的正态分布，为方差的正态分布，其中其中n n为样本数。

为样本数54Q -统计量 •确定样本自相关函数rk某一数值是否足够接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自相关函数k的真值是否为0的假设可检验对所有k>0，自相关系数都为0的联合假设（ H：1 = 2 = … = k ），这可通过如下QLB统计量进行：其中：rk是残差序列的k阶自相关系数，n是观测值的个数，p是设定的滞后阶数 近似~2 （p）55Q -统计量vH H0 0：序列不存在：序列不存在p p阶自相关；阶自相关；vH H1 1：序列存在：序列存在p p阶自相关阶自相关v如果各阶如果各阶Q-Q-统计量都没有超过由设定的显著性水平统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0 0v反之如果在某一滞后阶数反之如果在某一滞后阶数p p，，Q - Q - 统计量超过设定的统计量超过设定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存在列存在p p阶自相关阶自相关。

56Q -统计量v由由于于Q-Q-统统计计量量的的P P值值要要根根据据自自由由度度p p来来估估算算，，因因此此，，一一个个较较大大的的样样本本容容量量是是保保证证Q- Q- 统统计计量量有效的重要因素有效的重要因素 57EViews软件中的操作方法软件中的操作方法v在方程工具栏选择在方程工具栏选择View/Residual View/Residual Tests/correlogram-Tests/correlogram-Q Q-statistics -statistics EViewsEViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的应于高阶序列相关的Ljung-Box QLjung-Box Q统计量如统计量如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零所有的关和偏自相关值都接近于零所有的Q-Q-统计统计量不显著，并且有大的量不显著，并且有大的P P值5859 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。

本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关各阶滞后的Q-统计量的P值都小于5%，说明在5%的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关 60时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性检验v2、根据序列的时间路径图和样本相关图判断、根据序列的时间路径图和样本相关图判断v3、单位根检验、单位根检验61二、平稳性检验的图示判断二、平稳性检验的图示判断62平稳性的简单图示判断v给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的路径图来粗略地判断它是否是平稳的v一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程其均值不断波动的过程v而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）同的均值（如持续上升或持续下降） 6364txttxt65 例例9.1.3:9.1.3: 表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通是通过一随机过程（随机函数）生成的有过一随机过程（随机函数）生成的有1919个样本的随机时间序列。

个样本的随机时间序列 6668序列1v容易验证：该样本序列的均值为容易验证：该样本序列的均值为0 0，方差为，方差为0.07890.0789v从图形看：它在其样本均值从图形看：它在其样本均值0 0附近上下波动，且样本附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到自相关系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近波动且逐渐附近波动且逐渐收敛于收敛于0 0v由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声列相关性，因此该序列为一白噪声69序列1v根据根据BartlettBartlett的理论：的理论： k k～～N(N(0,1/19)0,1/19)，因此，因此任一任一r rk k(k>0)(k>0)的的95%95%的置信区间都将是的置信区间都将是: :v可以看出可以看出:k>0:k>0时，时，r rk k的值确实落在了该区间的值确实落在了该区间内，因此可以接受内，因此可以接受 k k( (k>0)k>0)为为0 0的假设70序列1v从从QLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后17期的计算值期的计算值为为26.38，未超过，未超过5%显著性水平的临界值显著性水平的临界值27.58，因此，因此,可以接受所有的自相关系数可以接受所有的自相关系数 k(k>0)都为都为0的假设。

的假设v因此因此，该随机过程是一个平稳过程该随机过程是一个平稳过程71序列2v由一随机游走过程由一随机游走过程X Xt t=X=Xt-1t-1+ + t t生成的一随机游生成的一随机游走时间序列样本其中，第走时间序列样本其中，第0 0项取值为项取值为0 0，， t t是由是由Random1Random1表示的白噪声表示的白噪声7273序列2v图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到虽然自相关系数迅速下降到0 0，但随着时间的推移，则在，但随着时间的推移，则在0 0附附近波动且呈发散趋势近波动且呈发散趋势 v样本自相关系数显示：样本自相关系数显示：r r1 1=0.48=0.48，落在了区间，落在了区间[-0.4497, [-0.4497, 0.4497]0.4497]之外，因此在之外，因此在5%5%的显著性水平上拒绝的显著性水平上拒绝 1 1的真值为的真值为0 0的的假设v该随机游走序列是非平稳的该随机游走序列是非平稳的74例例9.1.4 检验中国支出法检验中国支出法GDP时间序列的平稳性时间序列的平稳性。

表9.1.2 1978~2000年中国支出法GDP（单位：亿元）7576判断v图形：表现出了一个持续上升的过程图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断，可初步判断是非平稳是非平稳的v样本自相关系数：缓慢下降样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的，再次表明它的非平稳非平稳性v从滞后从滞后2121期的期的Q QLBLB统计量看统计量看：：v Q QLBLB(21)=146.23>32.67=(21)=146.23>32.67= 2 2 0.050.05 （（2121））v拒绝拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后：该时间序列的自相关系数在滞后1 1期之后的值全部为期之后的值全部为0 0的假设v 结论结论: :19781978～～20002000年间中国年间中国GDPGDP时间序列是非平稳序列时间序列是非平稳序列77例例9.1.59.1.5 检验检验§2.52.5中关于人均居民消费与中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性人均国内生产总值这两时间序列的平稳性 原图 样本自相关图 78判断v从图形上看：从图形上看：人均居民消费（人均居民消费（CPCCPC）与人均国内生产总值）与人均国内生产总值（（GDPPCGDPPC））是非平稳的是非平稳的。

v从滞后从滞后1414期的期的QLBQLB统计量看：统计量看：CPCCPC与与GDPPCGDPPC序列的统计量计算序列的统计量计算值均为值均为57.1857.18，超过了显著性水平为，超过了显著性水平为5%5%时的临界值时的临界值23.6823.68再次次表明它们的非平稳性表明它们的非平稳性v就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的际意义的不过，第三节中将看到，如果两个非平稳时间序不过，第三节中将看到，如果两个非平稳时间序列是列是协整协整的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是序列恰是协整协整的 79三、平稳性的单位根检验三、平稳性的单位根检验 （（unit root test））801 1、、DFDF检验检验v考虑一阶自回归模型：811 1、、DFDF检验检验821 1、、DFDF检验检验v根据 值的不同，可以分三种情况考虑：v（1）若 ＜1，则当T→∞时， →0，即对序列的冲击将随着时间的推移其影响逐渐减弱，此时序列是稳定的。

831 1、、DFDF检验检验v（2）若 ＞1，则当T→∞时， →∞，即对序列的冲击随着时间的推移其影响反而是逐渐增大的，很显然，此时序列是不稳定的v（3 ）若 =1，则当T→∞时， =1，即对序列的冲击随着时间的推移其影响是不变的，很显然，序列也是不稳定的 841 1、、DFDF检验检验85DF检验v所以式中的参数所以式中的参数 >1>1或或 =1=1时，时间序列是非平稳的时，时间序列是非平稳的; ;相对应的是相对应的是 >0>0或或  =0 =0v 针对针对 Xt=Xt= + + X Xt-1t-1+ + t t v零假设零假设H H0 0：： =0 =0 备择假设备择假设H H1 1：： <0<0v可通过可通过OLSOLS法下的法下的t t检验完成，但在零假设（序列非检验完成，但在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下平稳）下，即使在大样本下t t统计量也是有偏误的统计量也是有偏误的（向下偏倚），呈现围绕小于零值的偏态分布，（向下偏倚），呈现围绕小于零值的偏态分布，t t检检验无法使用。

验无法使用86DF检验87v 因此，可通过因此，可通过OLS法估计：法估计：  X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 并计算并计算t统计量的值，与统计量的值，与DF分布表中给定显分布表中给定显著性水平下的临界值比较著性水平下的临界值比较88v 问题的提出：问题的提出： 在在利利用用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t对对时时间间序序列列进进行行平平稳稳性性检检验验中中，实实际际上上假假定定了了时时间间序序列列是是由由具具有有白白噪噪声声随随机机误误差差项项的的一一阶阶自自回回归归过过程程AR(1)生生成成的的 前前面面所所描描述述的的单单位位根根检检验验只只有有当当序序列列为为AR(1) 时时才才有有效效如如果果序序列列存存在在高高阶阶滞滞后后相相关关，，这这就就违违背背了了扰扰动动项项是是独独立立同同分分布布的的假假设设在在实实际际检检验验中中，，时时间间序序列列可可能能由由更更高高阶阶的的自自回回归归过过程程生生成成的的，，或或者者随随机机误误差差项项并并非非是是白白噪噪声声，或或者者时时间间序序列列包包含含有有明明显显的的随随时时间间变变化化的的某某种种趋趋势势（（如如上上升升或或下下降降）），，这这样样用用OLS法法进进行行估估计计均均会会表表现现出出随随机机误误差差项项出出现现自自相相关关（autocorrelation），导导致致DF检检验验无无效效。

在在这这种种情情况况下下，，可可以以使使用用增增广广的的DF检检验验方方法法（（augmented Dickey-Fuller test ）），，即即ADF检检验验来来检检验验含有高阶序列相关的序列的单位根含有高阶序列相关的序列的单位根 2、ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验89• ADF ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：•即通过在模型中增加的滞后项△Xt，以消除残差的序列相关性在检验回归中包括常数，常数和线性趋势，或二者都不包含 90v H H0 0：： =0=0，即存在一单位根，即存在一单位根 H H1 1: :  <0<0v实际检验时从模型实际检验时从模型3 3开始，然后模型开始，然后模型2 2、模型、模型1 1v何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止否则，就要继续检为平稳序列，何时检验停止否则，就要继续检验，直到检验完模型验，直到检验完模型1 1为止v检验原理检验原理与与DFDF检验相同，只是对模型检验相同，只是对模型1 1、、2 2、、3 3进进行检验时，有各自相应的临界值。

行检验时，有各自相应的临界值ADF检验91不同模型使用的ADF分布临界值表2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01样本容量统计量模型ststat92续表：不同模型使用的ADF分布临界值表2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01样本容量统计量模型statbt93ADF检验标准v1 1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；就可以认为时间序列是平稳的；v2 2））当当三三个个模模型型的的检检验验结结果果都都不不能能拒拒绝绝零零假假设设时时，，则则认为时间序列是非平稳的。

认为时间序列是非平稳的v模模型型适适当当的的形形式式就就是是在在每每个个模模型型中中选选取取适适当当的的滞滞后后差差分分项项，，以以使使模模型型的的残残差差项项是是一一个个白白噪噪声声（（主主要要保保证不存在自相关）证不存在自相关）94ADF检验注意的问题v（（1 1）必须为回归定义合理的滞后阶数必须为回归定义合理的滞后阶数 ›①①渐渐进进t t检检验验该该种种方方法法是是首首先先选选择择一一个个较较大大的的m m值值，，然然后后用用t t检检验验确确定定系系数数是是否否显显著著，，如如果果是是显显著著的的，，则则选选择择滞滞后后项项数数为为m;m;如如果果不不显显著著，，则减少则减少m m直到对应的系数值是显著的直到对应的系数值是显著的›②②信息准则常用的信息准则有信息准则常用的信息准则有AICAIC信息准则、信息准则、SCSC信息准则，信息准则，通常采通常采用用AICAIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数在实际应用中，还准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。

95ADF检验注意的问题v（（2 2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的种形式很重要，因为检验显著性水平的t t统计统计量在原假设下的渐进分布依赖于关于这些项量在原假设下的渐进分布依赖于关于这些项的定义v① ① 如果在检验回归中含有常数，意味着所检如果在检验回归中含有常数，意味着所检验的序列的均值不为验的序列的均值不为0 0，一个简单易行的办法，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离序列是否在一个偏离 0 0 的位置随机变动，进的位置随机变动，进而决定是否在检验时添加常数项；而决定是否在检验时添加常数项；96ADF检验注意的问题v②② 如果在检验回归中含线性趋势项，意味着如果在检验回归中含线性趋势项，意味着原序列具有时间趋势同样，决定是否在检原序列具有时间趋势同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察如果图形中大致显示了列的曲线图来观察如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势随时间变化而变化，被检验序列的波动趋势随时间变化而变化，那么便可以添加时间趋势项。

那么便可以添加时间趋势项97例例9.1.6 检检验验1978~2000年年间间中中国国支支出出法法GDP序列的平稳性序列的平稳性 1）经过尝试，模型3取了2阶滞后：通过拉格朗日乘数检验对随机误差项的自相关性进行检验：LM（1）=0.92， LM（2）=4.16，小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的98ADF检验v从从 的系数看，的系数看，t>临界值，接受存在单位根的临界值，接受存在单位根的零假设v时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此接受不存在趋势项的假设接受不存在趋势项的假设需进一步检需进一步检验模型验模型2 99 2）经试验，模型）经试验，模型2中滞后项取中滞后项取2阶：阶：•LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型设定是正确的•从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设•常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设需进一步检验模型1100 3) 3)经试验，模型经试验，模型1中滞后项取中滞后项取2阶阶： •LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。

•从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设•可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的101例例9.1.7 检验检验§2.52.5中关于人均居民消费与人均中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性国内生产总值这两时间序列的平稳性 1) 对中国人均国内生产总值GDPPC来说，经过尝试，三个模型的适当形式分别为：102103v 三三个个模模型型中中参参数数的的估估计计值值的的t统统计计量量均均大大于于各各自自的的临临界界值值，，因因此此不不能能拒拒绝绝存存在单位根的零假设在单位根的零假设v 结结 论论 ：： 人人 均均 国国 内内 生生 产产 总总 值值（（GDPPC）是非平稳的是非平稳的104 2 2）对于）对于人均居民消费人均居民消费CPC时间序列来时间序列来说，三个模型的适当形式为说，三个模型的适当形式为 ：：105106v 三三个个模模型型中中参参数数CPCt-1的的t统统计计量量的的值值均均比比ADF临临界界值值表表中中各各自自的的临临界界值值大大，不不能能拒拒绝绝该该时时间间序序列列存存在在单单位位根根的的假假设设，v因因此此,可可判判断断人人均均居居民民消消费费序序列列CPC是是非平稳的。

非平稳的107四、单整、趋势平稳与差分平稳四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程随机过程1081、单整、单整vd d 阶单整（阶单整（integrated of dintegrated of d）序列：）序列：›一个时间序列经过一个时间序列经过d d次差分后变成平稳序列，记为次差分后变成平稳序列，记为I(d)I(d)v一阶单整（一阶单整（integrated of 1integrated of 1）序列：）序列：›一个时间序列经过一次差分变成平稳的，记为一个时间序列经过一次差分变成平稳的，记为I(1)I(1)v I(0)I(0)代代表表一一平平稳稳时时间间序序列列 I(dI(d) )在在金金融融、、经经济济时时间间序序列列数数据中是最普遍的，而据中是最普遍的，而I (0)I (0)则表示平稳时间序列则表示平稳时间序列1091、单整、单整v非非单单整整（（non-integratednon-integrated））：：无无论论经经过过多多少少次次差差分分，，都都不不能能变为平稳的时间序列变为平稳的时间序列v现现实实经经济济生生活活中中，，只只有有少少数数经经济济指指标标的的时时间间序序列列表表现现为为平平稳稳的的，，如如利利率率等等; ;大大多多数数指指标标的的时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，，可可通通过过一一次次或或多多次次差差分分的的形形式式变变为为平平稳稳的的。

如如一一些些价价格格指指数数常常常常是是2 2阶阶单单整整的的，，以以不不变变价价格格表表示示的的消消费费额额、、收收入入等等常常表表现现为为1 1阶阶单整110例例9.1.8 中国支出法中国支出法GDP的单整性的单整性经过试算，发现中国支出法GDP是1阶单整的，适当的检验模型为：111例例9.1.9 中中国国人人均均居居民民消消费费与与人人均均国国内内生生产总值的单整性产总值的单整性 经过试算，发现中国人均国内生产总值GDPPC是2阶单整的，适当的检验模型为： 112 同样地同样地，CPC也是也是2阶单整的阶单整的，适当的检验模型为：适当的检验模型为：113 ⒉⒉ 趋势平稳与差分平稳随机过程趋势平稳与差分平稳随机过程虚假回归或伪回归（spurious regression）：如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2 ，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。

114　 引入作为趋势变量时间的做法，只有当趋势性变量是确定性的（deterministic）而非随机性的（stochastic），才会是有效的 如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来 ⒉⒉ 趋势平稳与差分平稳随机过程趋势平稳与差分平稳随机过程115　 1)如如果果=1，=0，则则（（*））式式成成为为一一带带位位移移的的随机游走过程随机游走过程： Xt=+Xt-1+t （**） 根根据据 的的正正负负，，Xt表表现现出出明明显显的的上上升升或或下下降降趋趋势势这这种种趋趋势势称称为为随随机机性性趋趋势势（（stochastic trend））考虑如下的含有一阶自回归的随机过程： Xt=+t+Xt-1+t （*） 其中:t是一白噪声，t为一时间趋势1162)如如果果 =0，，0，，则（*）式式成成为为一一带带时时间间趋趋势的随机变化过程：势的随机变化过程：　　　 Xt=+t+t 　　　　　　　 （***） 根根据据 的的正正负负，，Xt表表现现出出明明显显的的上上升升或或下下降降趋趋势势 。

这这 种种 趋趋 势势 称称 为为 确确 定定 性性 趋趋 势势（（deterministic trend））Xt=+t+Xt-1+t 3) 如果=1，0，则Xt包含有确定性与随机性两种趋势 117• 判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第3个模型进行 该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t，即分离出了确定性趋势的影响•(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势;•(2)如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势118 随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分的方法消除例如：对式：　例如：对式：　　　　　　　Xt=+Xt-1+t 可通过差分变换为：可通过差分变换为： Xt= +t 该时间序列称为该时间序列称为差分平稳过程差分平稳过程（（difference stationary process））；119　确定性趋势无法通过差分的方法消除，确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项消除而只能通过除去趋势项消除例如：对式：例如：对式：　　　　　Xt=+t+t可通过除去可通过除去 t变换为：变换为：　　　　　Xt - t =+t该时间序列是平稳的，因此称为该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳趋势平稳过程（过程（trend stationary process）。

120 最后需要说明的是，最后需要说明的是，趋势平稳过程趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测则是更为可程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的 121单位根检验案例分析案例1 中国进口额序列（1950-2006）的单位根检验定义对数的年进口变量Lnimt如下：Lnimt = log(imt) Lnimt序列（1950-2006）  Lnimt序列（1951-2006）122案例1 中国进口额序列（1950-2006）的单位根检验123案例1 中国进口额序列（1950-2006）的单位根检验124案例2 深证成指序列的单位根检验深证成指序列（421天）从走势看决不会是随机趋势非平稳序列（含有时间趋势的2次项），也不会是随机趋势序列（含有时间趋势的1次项）不妨先按随机趋势序列设定检验式带有常数项的DF检验式的估计结果如下，125案例2 深证成指序列的单位根检验126。