2006考研数二真题及解析.doc

BornBorn toto winwin12006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：一、填空题：1-6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 曲线的水平渐近线方程为4sin 52cosxxyxx(2) 设函数 在处连续，则2 3 01sin,0( ),0x t dtxf xxax 0x a (3) 广义积分22 0(1)xdx x (4) 微分方程的通解是(1)yxyx (5) 设函数确定，则( )yy x由方程1yyxe  0xdy dx(6) 设,为 2 阶单位矩阵，矩阵满足,则 .21 1 2A EB2BABEB 二、选择题：二、选择题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数具有二阶导数，且为自变量在点处的( )yf x( )0,( )0,fxfxx:x0x增量，与分别为在点处对应增量与微分，若，则( )y:dy( )f x0x0x :(A)(B)0dyy:0ydy:(C)(D)0ydy:0dyy:(8) 设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是( )( )f x0x 0x 0( )x f t dt(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数(C)在间断的奇函数(D)在间断的偶函数0x 0x (9) 设函数可微，则等于( )( )g x1( )( ),(1)1,(1)2,g xh xehg(1)g(A)(B) (C) (D)ln3 1ln3 1ln2 1ln2 1(10) 函数满足的一个微分方程是( )2 12xxxyc ec exe(A)(B)23xyyyxe23xyyye(C)(D)23xyyyxe23xyyyeBornBorn toto winwin2(11) 设为连续函数，则等于( )( , )f x y1400( cos , sin )df rrrdr(A)(B)22 120( , )xxdxf x y dy 22 1200( , )x dxf x y dy (C)(D)22 120( , )yydyf x y dx 22 1200( , )y dyf x y dx (12) 设均为可微函数，且在约束条( , )( , )f x yx y与( , )0,yx y已知00(,)( , )xyf x y是件下的一个极值点，下列选项正确的是( )( , )0x y(A)若 (B)若0000(,)0,(,)0xyfxyfxy则0000(,)0,(,)0xyfxyfxy则(C)若 (D)若0000(,)0,(,)0xyfxyfxy则0000(,)0,(,)0xyfxyfxy则(13) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是( )12,,,s nAm n(A)若线性相关，则线性相关.12,,,s 12,,,sAAA(B)若线性相关，则线性无关.12,,,s 12,,,sAAA(C)若线性无关，则线性相关.12,,,s 12,,,sAAA(D)若线性无关，则线性无关. 12,,,s 12,,,sAAA(14) 设为 3 阶矩阵，将的第 2 行加到第 1 行得，再将的第 1 列的-1 倍加到第 2AABB列得，记，则( )C110010001P (A)(B) (C)(D)1.CP AP1.CPAP.TCP AP.TCPAP三、解答题：三、解答题：15－－23 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)试确定常数的值，使得，其中是当, ,A B C23(1)1()xeBxCxAxo x 3()o x时比高阶的无穷小.0x 3xBornBorn toto winwin3(16)(本题满分 10 分)求arcsinxxedxe(17)(本题满分 10 分)设区域，计算二重积分22{( , )|1,0}Dx yxyx221 1DxyIdxdyxy(18)(本题满分 12 分)设数列满足，{}nx10x1sin(1,2,)nnxx n(I) 证明存在，并求该极限; (II) 计算.limnnx 211limnxnnnx x (19)(本题满分 10 分)证明：当时，.0absin2cossin2cosbbbbaaaa (20)(本题满分 12 分)设函数内具有二阶导数，且满足等式( )(0,)f u在22Zfxy22220zz xy(I)验证; (II)若, 求函数.( )( )0f ufuu(1)0,(1)1ff ( )f u 的表达式(21)(本题满分 12 分)已知曲线的方程L221,(0),4xttytt (I) 讨论的凹凸性;L(II) 过点引的切线，求切点，并写出切线的方程;( 1,0)L00(,)xy(III) 求此切线与(对应的部分)及轴所围成的平面图形的面积.L0xxx(22)(本题满分 9 分)已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解.1234123412341,4351,31xxxxxxxxaxxxbx    (I) 证明此方程组系数矩阵的秩; (Ⅱ) 求的值及方程组的通解. A( )2r A , a b(23)(本题满分 9 分)设 3 阶实对称矩阵的各行元素之和均为 3,向量是A121,2, 1,0, 1,1TT 线性方程组的两个解.0Ax BornBorn toto winwin4(I) 求的特征值与特征向量;A(II) 求正交矩阵和对角矩阵,使得.QTQ AQ  2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】1 5y 【详解】 由水平渐近线的定义及无穷小量的性质----“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小 量”可知4sinlimlim52cosxxxxyxx4sin1 lim2cos5xx x x x  1 0lim50x1 5时为无穷小量，，均为有界量. 故，是水平渐近线.0x 1 xsin xcosx1 5y (2)【答案】1 3 【详解】按连续性定义，极限值等于函数值，故0lim( ) xf x 20 30sin limxxtx220sin()lim3xx x洛220lim3xx x1 3注：型未定式，可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换0 022sin xx:BornBorn toto winwin5(3)【答案】1 2【详解】2222220001111 (1)2(1)2 12xdxdx xxx (4) 【答案】.xCxe【详解】分离变量，(1)dyyx dxx(1)dyxdxyx1(1)dydxyx1dydxdxyxlnlnyxxclnlnyx x cee xyCxe(5)【答案】e 【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令 . 0(0)1xy将方程两边对求导得，令得xyyyexe y 0x (0)ye (6) 【答案】 2【详解】由已知条件变形得，, 两边取行列2BABE2BAEB()2B AEE式, 得()244B AEEE其中，， 211011212011 1A E222 E4E 因此，.2422EBAE二、选择题二、选择题.(7)【答案】A 【详解】 方法方法 1： 图示法. 因为则严格单调增加；因为 则是凹函数，又( )0,fx( )f x( )0,fx( )f x，画的图形0x :2( )f xxO x0 x0+Δx xyy=f(x) ΔydyBornBorn toto winwin6结合图形分析，就可以明显得出结论：.0dyy: 方法方法 2：用两次拉格朗日中值定理(前两项用拉氏定理)000()()()ydyf xxf xfxx:::(再用一次拉氏定理)0( )()fxfxx::, 其中0( )()fxx :000,xxx x:由于，从而. 又由于，故选( )0fx0ydy:0()0dyfxx:[ ]A方法方法 3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：，000( )()()()f xf xfxxx( ) 200 00()()()()2!!n n nfxfxxxxxRn其中. 此时取 1 代入，可得(1)00()() (1)!nnnfxRxx n  n2 0001()()()( )()02ydyf xxf xfxxfx  又由，选 .0()0dyfxx ( )A(8)【答案】()B 【详解】 方法方法 1：赋值法 特殊选取，满足所有条件，则 .1,0 ( )0,0 1,0x f xx x  0,0( ),0xxxf t dtxxx它是连续的偶函数. 因此，选()B方法方法 2：显然在任意区间上可积，于是处处连续，又( )f x, a b 0( )( )xF xf t dt记000()( )()( )( )stxxxFxf t dtft dtf s dsF x 即为偶函数 . 选 () .( )F xB(9)【答案】()CBornBorn toto winwin7【详解】利用复合函数求导法两边对求导1( )( )g xh xex1( )( )( )g xh xg x e将代入上式，. 故选().1x 1(1)12ge1(1)ln1ln2 12g  C(10)【答案】()C 【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分 两步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项.因为是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，所以该方程对应2 12xxxyc ec exe的齐次方程的特征根为 1 和-2，于是特征方程为，对应的齐2(1)(2)20次微分方程为-20yyy所以不选()与()，为了确定是()还是()，只要将特解代入方程左边，ABCDxyxe计算得，故选().()() -23xyyyeD(11) 【答案】( )C【详解】记，则区域的极坐标表示是：14 00( cos , sin )( , )Ddf rrr。