幅值裕量和相位裕量.docx

Negative Gain MarginNegativePhase MarginPositiveGain MarginStable System一般来说，G(j )的轨迹越接近与包围-1+jo i jo点，系统响应的震荡性越大因 此，G(j加勺轨迹对i jo点的靠近程度，可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适 用)在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示Phase MarginUnstable System190180270PositivePhase MarginNegative Phase MarginStable SystemUn stableSystem64图1稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度相位裕度、相角裕度(Phase Margin)设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为 P cA(j c) |G(j QH(j j 1定义相角裕度为180 G(j JH(j J相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定当0时，相位裕量相位裕度为正值；当 0时，相位裕度为负值为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。

在极坐标图上的临界点为 0分贝和-180度180增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency)(x) G(j x) H(j x) (2k 1), k 0, 1,定义幅值裕度为1G(j x)H(j幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 h倍，则系统将变为临界稳定状态若以分贝表示，则有h(dB) 20logG(j x)H(j x)当增益裕度以分贝表示时，如果h 1,则h(dB) 0增益裕度为正值；如果h 1,则h(dB) 0增益裕度为负值正增益裕度(以分贝表示)表示系统是 稳定的；负增益裕度(以 分贝表示)表示系统是不稳定的对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应 当较少多少一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的当然，一阶或二阶系统在一定意 义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不 是真正的一阶或二阶系统。

如果计及 这些小的滞后，贝y所谓的一阶或二阶系统可能是 不稳定的关于相位裕度和增益裕度的几点说明控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对 -1+jO点靠近程度的度量因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的负的裕度表示系统不稳定适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值为了得到满意的性能，相位裕度应当在30与60之间，增益裕度应当大于6分贝例1已知一单位反馈系统的开环传递函数为G(s) 一s(1 0.2s)(1 0.05s)试求：K=1时系统的相位裕度和增益裕度要求通过增益K的调整,使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40解： (x) G(j x)H(j x)180 G(j c)H(jc) 1(x) 90 arctg 0.2 x arctg 0.05 x 180即 arctg 0.2 x arctg 0.05 x 90tg(tg itg 21 tg itg 21 0.2 x 0.05100.2 x 0.051 0.2 x 0.05 x在x处的开环对数幅值为h(dB) 20logG(j x)H(j x)20logjx(1j0.2 x)(1 j0.05 x)20log10 20log . 120 7 1 28dB(0.2 10)22 20log 1(0.05 10)1040.1 10 1 4" 0.25 2.5根据K=1时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency)G(j c)H(j c)G(j c)c jc(1 j°.2c)(1 j0.05c)c,1 0.04 2)(1 0.0025 o) 1(c) 90 arctg 0.2 c arctg 0.05180 (c) 180 104 76由题意知h 10 G(j x) 0.1―=0.1xV(1 0.04 x) (1 0.0025 x)验证是否满足相位裕度的要求。

根据40的要求，则得:(c)90 arctg0.2c arctg 0.05 c 180arctg 0.2 c arctg 0.05 c 5040 1400.2 0.05c c — 1.21 0.2 cc0.05 cKc4c,1 0.04 c)(1 0.0025 2)K 4 1.28 1.02 5.2不难看出，K 2.5就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求Frequency (rad/sec)Ik I nD aD aOMeBode DiagramFrequency (rad/sec)pWW e J9 s e aa n T图2幅值裕度和相位裕度示意图例2设一单位反馈系统对数幅频特性如图3所示(最小相位系统)写出系统的开环传 递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求r(t) t时的稳态误差806040202040 L10-310-210-1100101 10图3最小相位系统的开环对数幅频特性 解：由图得c kJ__G(J ) J (1 J )(1 iR)0.01 J5)I —20 lg K 20lg 1J) 0 10.01F20lg .1 J) 20lg 1k2 1 (近似计算)100 1K 10G(s) W WS)s(1 100s)(1 0.2s)由于是最小相位系统因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。

由图可知c1在c处(c)90arctg —0.1arctgarctg 1106.4则得180 (c) 73.6 >>0系统稳定单位斜坡输入时，系统的稳态误差为ess0.1。