控制系统稳定性和快速性解析.ppt

第5章 控制系统的稳定性与快速性 5.1 稳定性和快速性的基本概念 5.2 Routh-Hurwitz判据 5.3 Nyquist稳定性判据 5.4 Bode图上的稳定性判据 5.7 稳定裕度 *5.8 二阶系统时域与频域之间的 关系 5.1 稳定性和快速性的基本概念 稳定性指控制系统在外作用消失后自动恢复原有 平衡状态或自动地趋向于一个新的稳定平衡状态的 能力 如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定 单摆系统稳定倒摆系统不稳定 设线性控制系统的闭环传递函数为 闭环系统的特征方程为 特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点 系统稳定，则闭环系统 的极点全部分布在s平面 的左半平面； 系统不稳定，至少有一 个极点分布在s平面的右 半平面； 系统临界稳定，在s平 面上的右半平面无极点， 至少有一个极点在虚轴上 5.2 Routh-Hurwitz判据 一. 系统稳定的必要条件 假设特征方程为 根据代数理论中韦达定理所指出的方程根和系数的关系可 知，为使系统特征方程的根都为负实部，其必要条件： 特征方程的各项系数均为正 含义：1 各项系数符号相同（即同号） 2 各项系数均不等于0（即不缺项） 二. 控制系统稳定的充分必要条件 Routh阵列 特征方程全部为负实部根的充分必要条件是 Routh表中第一列各值为正， 如Routh表第一列中出现小于零的数值，系统就 不稳定，且第一列各数符号的改变次数，代表特 征方程式的正实部根的数目。

例5-1 判别特征方程为 的某系统稳定性 解 利用Routh判据 符号改变两次，则说明系统有两个正实部的特征根，故系 统不稳定 三. Routh判据的特殊情况 1. Routh表中某行的第一个元素为零，而其余各元素 均不为零或部分不为零这时用一个很小的正数来 代替零元素，Routh表继续进行 2. 如果Routh表中出现全零行，表明特征方程中存在一些绝 对值相同但符号相异的特征根， 这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对 辅助方程求导，用所得导数方程的系数代替全零行，便 可按Routh稳定判据的要求继续运算下去，直到得出全部 Routh计算表 辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同、符号相反 的根数所有这些数值相同、符号相反的根，都可以从辅 助方程中求出 5.3 Nyquist稳定性判据 若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化时， 如果Nyquist曲线不包围临界点(-1,j0)，则系统稳定 如果Nyquist曲线包围临界点(-1,j0)，则系统不稳定 如果系统的Nyquist曲线经过(-1,j0)点，则系统处于临界 稳定状态 如果开环系统不稳定，有P个开环极点位于s右半平面， 当从0变化时，开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数为 N(反时针方向为正，顺时针方向为负)和开环传递函数在s 右半平面上的极点个数P的关系为 M=P－2N M：闭环极点在s右半平面的个数 如果M为零，闭环系统稳定，否则系统不稳定。

如果开环传递函数包含积分环节，假设为型，则绘制开 环幅相曲线后，频率再从 开始，反时针补画 个半 径为无穷大的圆 例1 一个单位反馈系统，开环传递函数为 试用Nyquist判据判定系统的稳定性 解 系统的开环幅相曲线如图所示 从Nyquist曲线上看到，曲线顺时 针包围(-1,j0)点一圈， 即N= -1， 而开环传递函数在s右半平面的极 点数P=0，因此闭环特征方程正 实部根的个数 故系统不稳定 5.4 Bode图上的稳定性判据 Bode图上的稳定性判据可定义为 一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数 为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相 频曲线与-π线的正负穿越之差N = N+-N-来确定, 即 若Z=0，则闭环系统稳定， 则闭环系统不稳定 Z为闭环特征方程正实部根的个数 例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳 定性判据, 判断系统的稳定性 已知P=0，在L(ω)≥0的范围内， 闭环系统稳定 已知P=1 ，在L(ω)≥0时 相频曲线有一次从负到正 穿越-π线 闭环系统稳定 。

已知P=2, 在L(ω)≥0的范 围内, 闭环系统稳定 5.7 稳定裕度 根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定 但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚好 满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地 稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度 它包括相位裕度和幅值裕度 1. 幅值裕度Kg 定义为Nyquist曲线与负实轴(-π)交点处的频率所对应的 幅值的倒数，即 ω=ωg 称为交点频率 K Kg g 含义：如果系统的开环传递函数增益增大到原来 的K K g g 倍，则系统处于临界稳定状态 稳定系统 Kg相同但稳定程度不同的两 条开环Nyquist曲线 它们具有相同的幅值裕度，但 系统I的稳定性不如系统II的稳 定性因此需要增加稳定性的 性能指标，即相位裕度 2. 相位裕度 定义为π加上Nyquist曲线上幅值为1这一点的相角 ，此 时ω=ωc 称为截止频率 相位裕度的含义为：如果系统截止频率ωc信号的相位迟后 再增大 度，则系统处于临界稳定状态，这个迟后角称 为相位裕度 由于 故在Bode图中，相角裕度 表现为 L(ω)=0dB处的相 角Φ(ωc)与-180度水平线 之间的角度差。

不稳定系统 二阶系统频域与时域的关系 二阶系统开环频域指标与动态性能指标的关系 二阶系统开环频率特性为 开环幅频特性 ： 开环相频特性 ： 在ω=ωc 时，A(ωc )=1 解得 二阶系统的相位裕度为： γ与σ%都只是阻尼比ξ的函数 γ 增加时σ%减小 相位裕度γ可反映时域中超调量σ%的大小，是频域中的平 稳性指标 通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起的过程不至于振 荡得太厉害，以及调节时间不致太长 1 相位裕度γ与超调量σ%的关系 2 γ 、ωc 与ts关系 二阶系统调节时间 若γ 一定， ωc 与ts 成反比 ωc 越大， ts 越短 开环频域指标ωc 可反映系统响应快速性，是频域中的 快速性指标 二阶系统闭环频域指标与动态性能指标的关系 图示为1类系统所对应的 典型闭环幅频特性 1) 零频幅值A(0)： 指ω=0时的闭环幅频特性值 2) 谐振频率指系统产生峰值时对应的频率 3) 谐振峰值指在谐振频率处对应的幅值 4)频宽 指系统的频率从0开始，对数幅频特性下降 -3dB(或幅值下降为 ) 时所对应的频率范围 1 谐振峰值Mr 与σ%的关系 二阶系统的谐振频率 谐振峰值为 Mr 增加时， σ%也增加。

系统平稳性较差 二阶系统Mr=1.2～1.5时, 对 应于σ% =20～30%， 系统 平稳性及快速性均较好 工程上常用Mr=1.3作为设计 系统依据 2 Mr 、 ωb 与ts关系 给定Mr ， ts与ωb 成反比， 系统带宽越宽，则调节时间越短 。