2009年广东高考理科数学试题及答案Word版.doc

绝密★启用前 试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效 5．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．３个 Ｂ．２个Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3。

４．巳知等比数列满足，且，则当时，Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．45．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．F1F2F3OABCD7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的 ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量满足，平行于轴，，则 ．11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 _________________ ．12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则 ．14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 ．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且，则圆的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量互相垂直，其中．（1）求的值；（2）若，求的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知,,）18．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ、Ｇ在平面内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线；（３）求异面直线所成角的正弦值19．（本小题满分１４分）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（２）若曲线与有公共点，试求的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（１）求数列的通项公式；（２）证明： 答 案1.解：，，所以 故，选B2. 解：因为 ，， ，所以满足的最小正整数的值是4。

故，选C.解：由函数是函数的反函数，可知，又其图像经过点，即，所以a=, 解：在中，令n=5,得，令n=3,得， 又，所以，，从而解得，公比，，，，所以1+3+…+（2n-1）=5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D.6.解：依题意，可知，所以， ==28.所以，力的大小为， 答D解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有种，若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有种，故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种 答A8. 解：因为速度函数是路程函数的导函数，即，所以， 根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与x轴及直线，围成的图形的面积，即可看出，应选A9.解：记时求得的S值为,记初始值为, 则,,,……,故,答案为(1) ；(2)这n件产品的平均长度解：设，则，依题意，得 ，解得或，所以或 答： 或11.解：设椭圆G的方程为，焦半径为c, 依题意，得2a=12，且， 解得a=6，c=, 所以所以， 椭圆G的方程为解：依题意，得，解得答： ； 13．解：直线化为普通方程是，该直线的斜率为， 直线（为参数）化为普通方程是，该直线的斜率为，则由两直线垂直的充要条件，得， 。

14解： 解得且所以原不等式的解集为{x|且}15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O，所以△AOB为等腰直角三角形，又，所以，圆O的半径R=，圆的面积等于解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理，得，解得R=，所以，圆的面积等于16．解：（1）∵ 向量与互相垂直，∴ ，即①，又 ②① 代入②，整理，得，由，可知，∴，代入①得故 ， 2）∵，∴ 将（1）的结果代入其中，得 整理，得③， 又④③代入④，整理，得由，可知，所以，解得17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得又 所以 2）一年中空气质量为良和的天数为 （天）；一年中空气质量为轻微污染的天数为 （天）；（3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是， 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7，） ，（k=0,1,2,…,7）设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则= ==.18.(1)解：∵点D,分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面内的正投影．∴四边形在平面内的正投影为四边形 又⊥平面 ，且 所以，所求锥体的体积为=（２）证明：∵⊥平面 ，平面 ，∴⊥∵在正方形中，分别是的中点，∴，∴ ∴⊥ 又∩=∴；（３）设的中点为H，连结EH， 则EH∥∥CD，且EH==CD=2， ∠AEH就是异面直线所成角 又CD⊥平面，∴EH⊥平面 在RT△AEH中，EH =2，AH=，所以EA=所以，异面直线所成角的正弦值为。

解法2：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，，∴.（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，∴，，即，，又，∴平面.（3），，则，设异面直线所成角为，则.19.解：（1）解曲线C与直线的联立方程组,得,, 又，所以点A，B的坐标分别为 ∵点是线段的中点∴点的坐标为∵点是上的任一点，且点与点和点均不重合．∴ ， 即，且设线段的中点为(x,y),则点M的轨迹的参数方程为（s为参数，且）；消去s 整理，得，且所以，线段的中点的轨迹方程是，；（２）曲线可化为，它是以G(a,2)为圆心，以为半径的圆，设直线与y轴相交于点E，则E点的坐标为E(0,2)；自点A做直线的垂线，交直线y=2 于点F，在RT△EAF中，∠AEF= ，，所以，∵ ， ∴当且圆G与直线相切时，圆心G必定段FE上，且切点必定段AE上，于是，此时的a的值就是所求的最小值当圆G与直线相切时 ， 。