数字图像处理第三章图像的正交变换.ppt

安徽建筑工业学院安徽建筑工业学院 数字图像处理数字图像处理第第3章章 图像信号的正交变换图像信号的正交变换数字图数字图像处理像处理 数字图像信号的正交基表示数字图像信号的正交基表示沃尔什变换和哈达玛变换沃尔什变换和哈达玛变换数字图数字图像处理像处理上节知识点回顾上节知识点回顾1、、DFT2、二维、二维DFT的实现的实现3、一维、一维DCT表达式的推导表达式的推导4、、 DFT 和DCT频谱特点频谱特点数字图数字图像处理像处理3.3 数字图像信号的正交基表示数字图像信号的正交基表示一、变换核的一般表达式一、变换核的一般表达式 其中其中x,y,u,v=0,1,2,...,N-1，， g(x,y,u,v)和和h(x,y,u,v)分分别称为正变换核和反变换核别称为正变换核和反变换核数字图数字图像处理像处理若若则变换核是可分离的则变换核是可分离的若若则变换核是对称的则变换核是对称的数字图数字图像处理像处理此时，变换可写成此时，变换可写成：：数字图数字图像处理像处理 正变换式：正变换式：F = P f QT 反变换式：反变换式：f = P1FQ1T其中其中F为二维频谱按为二维频谱按u行，行，v列排列成的频谱方阵，列排列成的频谱方阵，f是按是按x行、行、y列排列成的图像方阵。

列排列成的图像方阵二、变换的矩阵表达式二、变换的矩阵表达式数字图数字图像处理像处理 P、、P1分别是由分别是由P(u, x)、、P1 (u, x)按按u行行x列列排列成的方阵；而排列成的方阵；而Q、、Q1T分别是分别是Q(y,v) Q1T (y,v)按按y行、行、v列排列成的转置方阵列排列成的转置方阵 数字图数字图像处理像处理F = P f QTf = P-1F(QT)-1左乘左乘P-1右乘右乘(QT)-1 (P﹡ ﹡)TP =I, (Q﹡ ﹡)TQ =I f =(P﹡ ﹡)T F Q﹡ ﹡ P1 =(P﹡ ﹡)T ,Q1=(Q﹡ ﹡)T 数字图数字图像处理像处理三、基本图像和基本频谱三、基本图像和基本频谱v将将P、、Q写成向量形式：写成向量形式：P=(P0P1…PN-1)，，Q=(Q0Q1…QN-1)，其中，其中Pi，，Qi为列向量，并将为列向量，并将矩阵矩阵f分解成求和形式：分解成求和形式： 数字图数字图像处理像处理v将正变换和反变换写成外积的形式将正变换和反变换写成外积的形式 数字图数字图像处理像处理 是固定矩阵，只和该正交变换阶数有关，称是固定矩阵，只和该正交变换阶数有关，称为为基本图像基本图像，，其物理意义：在以变换域系数其物理意义：在以变换域系数Fij作为作为权值的情况下，由此基本图像组合，可得到原始图像权值的情况下，由此基本图像组合，可得到原始图像f。

看成看成基本频谱基本频谱，图像频谱可以看成以图，图像频谱可以看成以图像域系数像域系数fij作为加权的基本频谱之和作为加权的基本频谱之和数字图数字图像处理像处理例：以例：以5×5的的DFT为例，讨论基本图像和基本频谱为例，讨论基本图像和基本频谱由已知由已知P1、、Q1是对称酉矩阵，可得：是对称酉矩阵，可得：P1=(P﹡ ﹡)T 、、Q1 =(Q﹡ ﹡)T和和P=Q 数字图数字图像处理像处理v｛｛Pi﹡ ﹡Pj﹡ ﹡T｝为｝为5×5基本图像，｛基本图像，｛PiPjT｝为｝为5×5基本频谱，基本频谱，根据根据i、、j不同取不同取值，它们均有值，它们均有25个个5×5矩阵 数字图数字图像处理像处理基本图像形成过程：基本图像形成过程：数字图数字图像处理像处理 v利用周期性利用周期性数字图数字图像处理像处理v其任何一列和任意一行的转置相乘后其任何一列和任意一行的转置相乘后(外积外积)可得到一个可得到一个5×5矩阵，即一个基本图像，矩阵，即一个基本图像，这样的图像有这样的图像有25个任意一幅任意一幅5×5图像都可图像都可以表示为这以表示为这25个基本图像的加权和，权值个基本图像的加权和，权值大小为其相应位置的傅立叶频谱系数。

大小为其相应位置的傅立叶频谱系数数字图数字图像处理像处理数字图数字图像处理像处理v结论：结论：任一幅任一幅5×5图像的频谱是由图像的频谱是由25个基本个基本频谱加权得到，加权系数为相应图像的像频谱加权得到，加权系数为相应图像的像素值，从而素值，从而每一个频谱系数都和整幅图像每一个频谱系数都和整幅图像相关相关，即整幅图像对某一个频谱分量都有，即整幅图像对某一个频谱分量都有贡献，同样贡献，同样每一个像素值是所有频谱分量每一个像素值是所有频谱分量的贡献的贡献数字图数字图像处理像处理举例：举例：数字图数字图像处理像处理数字图数字图像处理像处理P(u,x) =数字图数字图像处理像处理Q(y,v) =数字图数字图像处理像处理 156 159 158 155 158 156 159 158 160 154 157 158 157 159 158 158 156 159 158 155 158 156 159 158 160 154 157 158 157 159 158 158 156 153 155 159 159 155 156 155 155 155 155 157 156 159 152 158 156 153 157 156 153 155 154 155 159 159 156 158 156 159 157 161f(x,y) =数字图数字图像处理像处理 0.6275 0.6039 0.6157 0.6196 0.6157 0.6235 0.6196 0.6275 0.6039 0.6157 0.6196 0.6157 0.6235 0.6196 0.6118 0.6000 0.6078 0.6235 0.6078 0.6235 F(u,v) =数字图数字图像处理像处理3.1 离散傅立叶变换离散傅立叶变换离散余弦变换离散余弦变换3.3 数字图像信号的正交基表示数字图像信号的正交基表示沃尔什变换和哈达玛变换沃尔什变换和哈达玛变换第第3章章 图像信号的正交变换图像信号的正交变换数字图数字图像处理像处理3.4 沃尔什变换和哈达玛变换沃尔什变换和哈达玛变换•Walsh函数系是函数系是完备正交函数系，只取两完备正交函数系，只取两种值，在归一化条件下只取种值，在归一化条件下只取+1、、-1,便于计便于计算。

算•典型非正弦正交变换，方波变换典型非正弦正交变换，方波变换•较较DFT减少了存储空间、提高运算速度减少了存储空间、提高运算速度数字图数字图像处理像处理变换核变换核其中其中3.4.1 沃尔什变换沃尔什变换数字图数字图像处理像处理bk(z)是是 z的二进制表达式中的第的二进制表达式中的第k位的值例如例如n=3，则对于，则对于z=6（（110），有），有b0(z)=0，，b1(z)=1，，b2(z)=1数字图数字图像处理像处理v可以看出，沃尔什变换核是一个对称阵列，可以看出，沃尔什变换核是一个对称阵列，其行和列是正交的正反变换核除了相差其行和列是正交的正反变换核除了相差一个常数项一个常数项1/N外，其他相同外，其他相同数字图数字图像处理像处理其为可分离的，表示为：其为可分离的，表示为：二维二维Walsh变换核为：变换核为：数字图数字图像处理像处理举例：求举例：求Walsh变换核矩阵元素变换核矩阵元素数字图数字图像处理像处理方括号中各项的符号即为变换核的符号，从中可方括号中各项的符号即为变换核的符号，从中可见见Walsh变换的本质是将离散序列变换的本质是将离散序列f(x)的各项值的各项值的符号按一定的规律改变，进行加减运算。

的符号按一定的规律改变，进行加减运算举例举例：：若二维信号若二维信号求其离散求其离散Walsh变换变换其中其中N=4时的二维时的二维Walsh变换核为变换核为数字图数字图像处理像处理则：则：例：例：数字图数字图像处理像处理可见，二维可见，二维Walsh变换具有某种能量变换具有某种能量集中的特性，而且原始数据越均匀集中的特性，而且原始数据越均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上，因此，可用于图像压缩的边角上，因此，可用于图像压缩数字图数字图像处理像处理 本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，其本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，其方阵只包括方阵只包括+1和和-1两个矩阵元素，各行和两个矩阵元素，各行和各列之间是正交的，即任两行相乘或两列各列之间是正交的，即任两行相乘或两列相乘后的各数之和必为零相乘后的各数之和必为零优点：变换核具有简单递推关系，高阶矩阵优点：变换核具有简单递推关系，高阶矩阵可用两个低阶矩阵求得可用两个低阶矩阵求得哈达玛（哈达玛（Hadamard）变换）变换数字图数字图像处理像处理哈达玛（哈达玛（Hadamard）变换）变换变换核变换核其中其中数字图数字图像处理像处理bk(z)是是 z的二进制表达式中的第的二进制表达式中的第k位的值。

位的值例如例如n=3，则对于，则对于z=6（（110），有），有b0(z)=0，，b1(z)=1，，b2(z)=1于是于是数字图数字图像处理像处理和和Walsh变换类似，由变换类似，由Hadamard变换核组变换核组成的矩阵是一个对称矩阵，并且其行和列成的矩阵是一个对称矩阵，并且其行和列正交反变换核反变换核数字图数字图像处理像处理二维情况二维情况：：可分离可分离Hadamard具有简单的递推关系，如具有简单的递推关系，如N=2n，当，当N=2时，时，Hadamard矩阵为：矩阵为：N=4时时，，数字图数字图像处理像处理07341625数字图数字图像处理像处理定序哈达玛变换矩阵定序哈达玛变换矩阵举例：举例：若二维信号若二维信号求其离散求其离散Hadamard变换其中其中N=4时的二维时的二维Hadamard变换核为变换核为数字图数字图像处理像处理则：则：Hadamard变换核、变换结果与变换核、变换结果与Walsh变变换相比，只是顺序不同换相比，只是顺序不同小结小结变换名称变换名称变换的特点和应用范围变换的特点和应用范围傅立叶变换傅立叶变换(DFT)需要复数运算二维变换具有可分离性，可用两次一维需要复数运算。

二维变换具有可分离性，可用两次一维DFT实现，具有快速算法可把整幅实现，具有快速算法可把整幅 图像的信息很好地用若干个图像的信息很好地用若干个系数来表达系数来表达余弦变换余弦变换(DCT)准最佳变换，二维变换具有可分离性，可用两次一维准最佳变换，二维变换具有可分离性，可用两次一维DCT实实现，具有快速算法，只要求三角函数运算在高相关性图像的现，具有快速算法，只要求三角函数运算在高相关性图像的处理中，最接近最佳的处理中，最接近最佳的K－－L变换，在实现编码和维纳滤波时有变换，在实现编码和维纳滤波时有用同DFT一样，可对图像实现很好的信息压缩在国际标准一样，可对图像实现很好的信息压缩在国际标准化建议中常采用的一种方法化建议中常采用的一种方法哈达玛变换哈达玛变换(Hadamard)在图像处理算法的硬件实现时很有用容易模拟但很难分析在图像处理算法的硬件实现时很有用容易模拟但很难分析在图像数据压缩、滤波、编码中有应用具有很好的信息压缩在图像数据压缩、滤波、编码中有应用具有很好的信息压缩效果沃尔什变换沃尔什变换 (Walsh)类似于哈达玛变换，硬件实现比较容易只需要实数计算，有类似于哈达玛变换，硬件实现比较容易。

只需要实数计算，有快速算法，所要求的计算机存储量比快速算法，所要求的计算机存储量比DFT少，运算速度比少，运算速度比DFT快K－－L变换变换在许多意义下是最佳的无快速算法在进行性能评价和寻找在许多意义下是最佳的无快速算法在进行性能评价和寻找最佳性能时有用，对小规模的向量有用，如彩色多谱或其它特最佳性能时有用，对小规模的向量有用，如彩色多谱或其它特征向量对一组图像集而言，具有均方差意义下最佳的信息压征向量对一组图像集而言，具有均方差意义下最佳的信息压缩效果安徽建筑工业学院安徽建筑工业学院。