暑期专题辅导材料五专题讲座 复合二次根式.doc

暑期专题材料五专题讲座——复合二次根式［学习要求］1. 了解复合二次根式2. 掌握化简复合二次根式的三种常用方法［重点、难点］1. 学习重点：化简复合二次根式的方法2. 学习难点：化简复合二次根式的方法［教学过程］（一）复合二次根式一般地，我们把二次根式中套蒂着二次根式的式了叫做复合二次根式如：』6 + 7石,J5aJa +語匚说等都是复合二次根式二）化简复合二次根式常用的方法1. 平方法：先将复合二次根式平方并化简，再将结果开方，求得原式的值2. 配方法：如将Ja + 2貞中a + 2亦能配成（仮+ 7?『（x>0, y > 0）,这样就 可以把原复合二次根式化为眉+ 7?，此时，应有x + y = a, xy = b,故a + Va2 -4b2a-Va2 -4b2这里x、y右边的式子通常能化简 J址-广、」b +3. 待定系数法：先根据复合二次根式的特点，假设原式能化为儿个简单二次根式的和或差，再通过平方、 化简、比校系数求得结果典型例题】例1.化简：+ V5原式尹丿粧2庖解法1： V 2 \ 2_ l(V3 + l)2 _V3 + 1_V6 + V2解法2：设^2 +V3 = Vx + 77(X、y均为有理数)贝 l」2 + 75 = x + y + 2^/xy故而[4xy = 3解 Z得:Xj = — , x2 =—2 〜2故 J2 + VI血+拆""2说明：本例是关于复合二次根式的化简问题。

解法1是配方法，关键是先把Ja 土 VK转化成Ja 土 2后的形式,然后再寻找满足?y = C的x、y即可解法2 [x + y = a是采用待定系数法，实际上可以验证：只有当a2-b = k2 （k为有理数）时，才能对其进行化简例2.已知x =+也,y = 丁3 - 75,求x6 +y6的值分析：x、y均为复合二次根式，虽无法再化简，但发现x2 =3 + 73, y2 = 3-V3, x2 + y2 = 6, x2y2 = 6,如果能用 x2 + y2 = 6, x2y2 = 6 来表示 x6+y6,则计算就比较方便解：x6+y6=(x2)3+(y2)3= (x2+y2)(x4-xy+y4)= (x2+y2)f(x24-y2)2-3x2y2'■ •=6 x(62 - 3 x 6)= 108例3 已知a > b〉0, 化简— b厶+2aja“ 一 b‘ 解: 72a2 -b2 +2a4a^-b2=J(a‘ - b') + 2aja‘ -〒 + a‘因为a〉b〉0,故a'-b，〉0, a + 7a2 -b2 > 0 所以，原式=a + 7a2-b2析带根号的项说明：本题的关键就是将2a2-b2+2a7a2-b2化成完全平方，写成的形式，应注意观察，尽量采用拼凑的方法，特别是应仔细分例 4 化简：+ V15 + yj4 — V15 — 2』3 —分析：要化简鏗个式子，应先将三项各H化简，然后再合并，应注意观察 4 + V15, 4-V15, 3-V5都可以场成完全平方形式。

J4 + VB =解：872715 （厉『+2姑+ （巧『2(vsTZ/fy22~3532523| + J- +5222鹉+2 £ 2 £皿说明：此处应熟练掌握一些简单多项式的平方的形式故原式二如：3-75彳匕脩j . I \ 卜 •・・ I 例 5. • 2VI + V2 3^2+2a/3 100^99 + 99V100分析：本题如果直接通分化简，显然行不通，可以从和式的一般项入手，观察这99项的每一项，设 和式的第k项为：ak =-―-=*― (k = l, 2, 3,…99)(k + l)7k + kVkTT v 7对它进行恒等变形可得：1 VkTT-VkJk(k + 1)( Jk + 1 + Vk^ Jk(k + 1)VkTT~Vk 1 1~~ Vk ■ Vk + 1 Vk Jk + 1从而就可以裂项相消化简原式解：由题意可知，和式中99项根式的一般项:1(k + l)Vk + k • VkTT_ 1Jk • (k + 1) • (Jk + 1 + Vk)_ VkTT-Vk_ Jk・(k + 1)1 1_ Vk VkTT_ VT Vioo说明：在遇到有多项相加或是相减的时候，应注意找到规律，而找规律的过程就是裂项的过程。

例6.已知x =』4_』10 + 2石,y =』4 +J10 + 2a/^ ,求x + y的值分析：题目中所给的两根式无法再化简，所以直接求x+y比较困难，但可以先求(x+y)2,即可先求 x2+y2+2xy0解：由题意：x = 74-710 + 2^, y = V4+7io + 2^贝 ljx2+y2 =4-J10 + 2^+4 +J10 + 2厉=8= 76-2^5=W_l)=V5-1故(x + y)? =x2 +y2 +2xy = 8 + 2(75-1) = 6 + 275因 x+y>0例 7 计算： + - - y]3 + 2a/^ - yi — 2^/2故而原式=- V8 二 V6 - 2a/2说明：本题式中前两个根式内的被开方式2 +能与2 -馆是互为有理化因 式，后两个根式内的被开方式3 + 2“与3-2血 也是互为有理化因式，故采用 “平方法”求解较为简便，也可以用配方法求解例& 化简：M =』8 + 临 + 8巧+』8-丁40 + 8石分析：此题肓接化简比较困难，又有三重根号，因而应想办法先去掉一重根号，然后再来化简，故而 应先找到M\M2解：16 + 2』64-(40 + 8冋=16 + 2丁24-8 巧=16 + 4<6-275 又 ^6— 2^/5 = J(V^ _ 1) 故 =16 + 4(75-1) = 12 + 475M = J12 + 4V5 =712 4-2^20=J(ViU)' +(V2)2 +2V20=V2+Vio说明：有多重根号时，可以先平方，然后再分别化简。

设J19 - 8巧的整数部分为x,小数部分为y,求x + y +丄的值 例9. y分析：为求复合二次根式的整数部分和小数部分，应先将其化简，再找具整数部分和小数部分 因为 19-8^3 =42 - 2x4x V3+(V3)2 =(4_冋'故 J19_8& =4 —解:因为J19_8巧=』4_坷 =4_巧,1< V3 <2故4-巧的整数部分为2,小数部分为4-73-2 = 2-73即 x = 2, y = 2 — V3x4-y + - = 2 + 2-73 + ― =2 + 2-73+2 + 73 = 6y 2-V3说明：在遇到与无理数有关的一整数部分、小数部分有关的题目时，皿尽量将整数部分、小数部分准确 表达出来，然后再求值求满足J- + 3V3 =x + 7y的有理数X、yo例 10. V 4解:(21 + 1275V 4=-712 + 2x712x3 + 9 = + 3『2 2= -(V12+3)= - + V3r^- + x/3=x + Jy2 、即弓—x) + (Vi - 7y) = o2—x = o由于X、y是有理数,巧是无理数，故而2V3 - Vy = o'3即W X=2y = 3、说明：在a + Vb =c + Vd时，若a、b、c、d均为冇理数，且亦、丽为最简 二次根式，据等式的意义和实数的意义，可以得到等式a=c, b=do例］］求不超过(V7 + V3)6的最大整数。

分析.利用乘方把(V7+V3)6展开來考察所求的最大整数显然麻烦，可以考 察别的方法，给它加上一个(V7-V3)6,而0

6. x = V5 + V5, y = V5^/5 ,求x6 + y6的值7.设正整数a、m、n满足7a2-4^2 = Vm - Vn ,求&、m、n的值参考答案】1. (1) 715 + V35+V21+5= V3-V5 + V7*V5 + V3-V7+5=V5(V3 + 亦)+ V7(V3 + V5)分母 V3 + 2V5 + V7 =(V3 + V5)+ (V5 + V7) V5 + 2 石+ "故而 Vl~5 + V35 + V2T + 5 *4~ _ V3+V5 75+77=丄(75-73) + 1(77-75)= |(^-V3)2 _V7+V3故原式_ V3 2z 13 + 748 = 13 + 2x2^3 = 12 + 2x273 + 1= +1= 273 + 74-273= 2^3 + 73-1= 72x^4 + 273=V2 x(V3 + l)=-\/2 + a/6V5 - 12.解： 2x2 + x-1 = 0x4 +x2 +2x-l= x'(x，+ x- 1^-x3 +2x‘ +2x-l=-x(x2 +x_1) + 3(x2+x_1)_2x + 2=-2x + 2= 1-75+2= 3-V5= 11 —lxlOn + lll — l-2xll —13. 被开方数 11个 11个 11个= 11-订 xlOn — ll・・-1V_7_' S_7_'n个 n个= ll-lx(10n-l)n个= (11-・ 1)2x9n个卩1・・・1-22・・・2 = 33・・・3因此，V 2n个 n个 口4.由题意：a71-b2 = 1 - b71-a2两边平方整理：2bQ7 = l + (b2-a2)再平方整理得：(a2+b2)2-2(a2+b2) + 1 = 0 即(a2+b2-l)2=Oa2+b2 = 15 11-6V2 =(3-72)2故而 J11 - 6忑=3 - V2故 a = L b = 2 - -x/2ab 。