分析力学讲义-第二章.pdf

2-1 第二章第二章 动力学普遍方程动力学普遍方程 本章首先介绍虚位移原理，其用来建立静力学的普遍方程，解决非自由质点系的静力 学问题， 是力学的一个基本原理 将虚位移原理与达朗贝尔原理相结合便得到动力学普遍方 程， 其是解决非自由质点系动力学问题的有效工具之一 由动力学普遍方程可以推导出力学 中的所有重要方程或原理，所以动力学普遍方程是整个分析动力学的基础 §2.2.1 1 虚位移原理虚位移原理 虚位移原理是分析静力学的最普遍的原理，它主要用于解决非自由质点系的静力学问 题，当然也适用于自由质点系 虚位移原理一般表述为：对对受受双面理想约束双面理想约束的的质点系质点系，如在某位置处于，如在某位置处于静止静止状态，则状态，则 其保持其保持平衡的必要充分条件是，主动力在平衡的必要充分条件是，主动力在系统的任何系统的任何虚位移上所做元功之和等于零虚位移上所做元功之和等于零 对于有 N 个质点的质点系， 以 Fi和 Ri分别表示作用于质点 Pi上的主动力合力和约束反 力合力，δri为质点的任意虚位移，则虚位移原理的矢量表达式为： 10Nii iδ=⋅=∑Fr (2.1) 其分量形式为： () 10Nixiiyiizi iFxFyFzδδδ=++=∑（2.2） 虚位移原理的前提是：约束是双面理想的，不论约束是否完整，是否定常。

虚位移原理具有以下功能： （1） 若虚位移已知， 则方程给出系统平衡时各主动力之间的关系表达式 对于多构件组 成的系统，虚位移方程可避开或不需要求解的约束反力，来讨论系统的平衡问题而当 需要求解某个约束反力时，只要解除相应的约束，以约束反力代之，并把其作为主动力 处理即可 （2） 若作用在系统的力系已知，则方程给出系统平衡时各点虚位移之间的关系表达式 此时，可用来求解系统的位移或各部件间的几何关系 例例 2.1 研究用铰链 A 和 B 联结的三个重杆 OA，AB，BC 的系统铰链 O 不动，而系 统在铅垂面 Oxy 借助三条水平线处于平衡， 并且杆与铅垂向下的线的夹角分别为123,,ϕ ϕ ϕ，各杆长分别为 l1，l2，l3，杆重心到铰链的距离为 s1，s2，s3（图 2.1） 需确定线的张力123,,T T T 图 2.1 解解： 将三条水平线约束解除， 代之以线受到的张力123,,T T T 系统有 3 个自由度， 取123,,ϕ ϕ ϕ为广义坐标 2-2 解析法：解析法： 约束张力作用方向的位置坐标为 111122112233sin, sinsin, sinsinsinABCxlxllxlllϕϕϕϕϕϕ==+=++ (a) 而杆重力作用方向的坐标 111cosysϕ=，211223112233coscos, coscoscosylsyllsϕϕϕϕϕ=+=++ (b) 由虚位移原理得 1231122330ABCTxTxTxm g ym g ym g yδδδδδδ+++++= (c) 坐标的变分如下： 111cosAxlδϕδϕ= ，111222coscosBxllδϕδϕϕ δϕ=+ 111222333coscoscosCxlllδϕδϕϕ δϕϕ δϕ=++ （d) 及 1111sinysδϕ δϕ= −, 2111222sinsinylsδϕ δϕϕ δϕ= −− 3111222333sinsinsinyllsδϕ δϕϕ δϕϕ δϕ= −−− (e) 将（d）(e)带人（c）得到 1 111112 11211{cossincossinTlm gsT lm gsϕϕϕϕ−+−+ 3131112 22222cossin}{cossinT lm glT lm gsϕϕ δϕϕϕ−+−+ 3 2232223 333333cossin}{cossin}0T lm glT lm gsϕϕ δϕϕϕ δϕ−+−= (f) 因123,,δϕ δϕ δϕ彼此独立，由式(f)的系数为零，得到 123111 12 13 11() cos()sin0TTT lg m sm lm lϕϕ++−++= 23222 23 22() cos()sin0TT lg m sm lϕϕ+−+= 3 33333cossin0T lm gsϕϕ−= 由此解得 12 11231232 12tantanssTmmmgmmgllϕϕ=+−32 223233 23tantanssTmmgm gllϕϕ=−(c) 3 333 3tansTm glϕ= 2-3 几何法：几何法： 为求3T， 可令点 A， B 不动， 使杆 BC 绕点 B 发生虚转动3δϕ， 做功的力仅有3m g和3T，虚位移原理给出 3 3333333cossin0T lm gsϕ δϕϕ δϕ−= 由30δϕ≠，得到 3 333 3tansTm glϕ=。

§2.22.2 广义力表示的虚位移原理广义力表示的虚位移原理 对于有 N 个质点的质点系，其自由度为 k，可以选取 n=k 个广义坐标 qj (j=1,2,…,k)，以 Fi表示作用于质点 Pi上的主动力合力，δri为质点的任意虚位移这时质点系各个质点位置 的矢径可表示为： 12(,,...,, )iinq t=rr i=1,2,…,N (2.3) 将各质点的虚位移用坐标 qj， （j=1,2,…n）的等时变分表示， 1k i ij jjδδ=∂=∂∑rr i=1,2,…,N (2.4) 在此虚位移下，力系{Fi}（i=1,2,…,N）所作的虚功之和为： 111111NNkkNk ii iiijijjj iijjijjjWQqδδδδδ======∂∂=⋅=⋅=⋅=∂∂∑∑∑∑ ∑∑rrFrFF (2.5) 式中广义虚位移δqj前的系数称为广义力广义力 对应于每一个广义坐标，均有一个广义力式（2.5）说明，力系{Fi}（i=1,2,…,N）所 作的虚功之和等于各个广义力 Qj与相应广义坐标增量δqj乘积之和。

将式（2.5）与虚位移原理表达式（2.1）对比可以得到： 10kjj jWQqδδ===∑(2.6) 式（2.6）即为广义力表示的虚位移原理其可以表述为：对对受受双面理想约束双面理想约束的的质点系质点系，如，如 在某位置处于在某位置处于静止静止状态，则其保持状态，则其保持平衡的必要充分条件是，平衡的必要充分条件是，广义力广义力在在系统的任何广义系统的任何广义虚位虚位 移上所做元功之和等于零移上所做元功之和等于零 由于广义坐标变分δqj的任意性且相互独立，因此有： Qj=0 (j=1,2,…,k) (2.7) 平衡条件又体现为：广义力等于零广义力等于零 2-4 为利用式（2.7）给出的平衡条件可以基于以下方法计算广义力 （1） 写出广义力的直角坐标形式，即： 1N iii jixiyiz ijjjxyzQFFFq=∂∂∂=++∂∂∂∑(j=1,2,…,k) (2.8) 其中 xi，yi，zi为质点 Pi的位置坐标，其可以表示为广义坐标的函数 （2） 在求某一广义力 Qj时， 使第 j 个广义坐标 qj产生一个增量，而令企业广义坐标保 持不变，然后计算系统在广义虚位移δqj上的元功δW。

有式（2.5）得 δW=Qjδqj，即 j jWQqδ δ= (2.9) （3） 若力系{Fi}（i=1,2,…,N）中所有力均为有势力，即系统处于势力场中，相应的势 能为 V=V（xi，yi，zi，t） （i=1,2,…,N） ，则各个质点合力 Fi的分量可以表示为： , , ixiyiz iiiVVVFFFxyz∂∂∂= −= −= −∂∂∂(2.10) 将（2.10）代人（2.8）有： 1N iii j iijijijxyzVVVQxqyqzq=∂∂∂∂∂∂=−−−∂∂∂∂∂∂∑(2.11) 当采用广义坐标时， xi，yi，zi，（i=1,2,…,N）均为广义坐标 qj (j=1,2,…,k)的函数，势能 V=V(xi，yi，zi，t)（i=1,2,…,N）也是广义坐标 qj (j=1,2,…,k)的函数，则其对 qj的偏导为： 1N iiiijijijijxyzVVVV qxqyqzq=∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∑(2.12) 比较式（2.11）与式（2.12） ，可知： j jVQq∂= −∂(2.13) 当系统处于势力场中时，式（2.6）可以改写为如下形式： 110kkjjj jjjVWQVqδδδδ==∂== −= −=∂∑∑（2.14） 由此可得：如果主动力均为有势力的系统处于静止状态，则系统保持平衡的必要充分如果主动力均为有势力的系统处于静止状态，则系统保持平衡的必要充分 条件是：系统条件是：系统势能势能的一阶变分为零，即势能取得驻值。

的一阶变分为零，即势能取得驻值 2-5 例例 2.2 离心调速器如图 2.2 所示， 已知校区 B1， B2的重量均为 P； 套筒 C 和各杆的重量 均不计，套筒尺寸以及系统的摩擦均不计； A1 B1= A2 B2=l，OA1 = OA2 =a， 在铅直轴上 作用一力偶，其力矩为 M如取调速器的转 角为ϕ， 杆 A1 B1和杆 A2 B2与铅直线的夹角 为α为广义坐标，求对应的广义力 Qϕ和 Qα 图 2.2 解解：首先求对应于角α的广义力 Qα，为此给角α一个增量δα，同时角ϕ保持不变，有： 12sinxxalα−==+ 及 12cosyylα== 对α取变分 12cosxxlδδαδα−== 及 12sinyylδδαδα== − 则系统的元功之和为 122sinWP yP yPlδδδαδα=+= − 对应于角α的广义力 2sinWQPlαδαδα== − 下面求对应于角ϕ的广义力 Qϕ，为此给角ϕ一个增量δϕ，同时角α保持不变（各杆相对位 置保持不变） ，重力 P 不作功因此有系统的元功之和： WMδδϕ= 对应于角ϕ的广义力 WQMϕδ δϕ== 例例 2.3 如图 2.3 所示，重量分别为 3P 和 P 的 A，B 物体系在无重不伸长的绳子的两端， 绳子中间绕过滑轮 C、D、E，滑轮 D 为动滑轮，其轴上挂有物体 H，物体 A 放在粗糙的水 平面上。

求当系统平衡时物体 H 的重量 PH和物体 A 与水平面间的摩擦系数 图 2.3 解：解：物体 A，B 和 H 的位置坐标分别记为 xA，yB和 yH；由于绳子长度不变，系统存在2-6 一个约束关系，故有两个自由度 选取 xA和 yB为广义坐标，将摩擦力 FA视为主动力，则系统受到约束为理想约束 令δ yB=0，给物体 A 虚位移δxA（见图） ，则物体 H 相应的虚位移δ yH=δxA/2主动力所 作的虚功和为： 2H AAHHAAPWFxPyFxδδδδ= −+= −+由此对应于广义坐标 xA的广义力为： 2H AA APWQFxδ δ== −+ 平衡时，QA=0， 则有： 2H APF = （a） 再令δ xA =0，给物体 B 虚位移δ yB（见图） ，有δ yH=δ yB /2主动力所作的虚功和为： 2H BHHBPWP yPyPyδδδδ= −+= −+同理可得 2HPP = 。