微分几何答案彭家贵陈卿.docx

微分几何答案彭家贵陈卿习题一（P13） 2.设是向量值函数，证明：（1） 常数当且仅当；（2） 的方向不变当且仅当1） 证明：常数常数常数2） 注意到：，所以的方向不变单位向量常向量若单位向量常向量，则反之，设为单位向量，若，则由为单位向量从而，由常向量所以，的方向不变单位向量常向量即的方向不变当且仅当补充：定理平行于固定平面的充要条件是证明：：若平行于固定平面，设是平面的法向量，为一常向量若则方向固定，从而平行于固定平面令则3.证明性质1.1与性质1.2性质1.1（1）证明：设，则（2）证明：设，则（3）证明：设，则 同理，所以，性质1.2证明：（1）证明：（2）4.设是正交标架，是的一个置换， 证明：（1） 是正交标架；（2） 与定向相同当且仅当是一个偶置换1） 证明：当时，；当时，，所以，是正交标架2） 证明：A）当B）当C）当D）当，此时，；E）当F）当所以，与定向相同当且仅当是一个偶置换习题二（P28）1.求下列曲线的弧长与曲率：（1）解：所以，2.设曲线，证明它的曲率为证明：3. 设曲线C在极坐标下的表示为，证明曲线C的曲率表达式为 证明：所以，；因此，4.求下列曲线的曲率与挠率:（4）解：；O所以，；5. 证明：的正则曲线的曲率与挠率分别为，。

证明：根据弗雷内特标架运动方程，得:所以，6. 证明：曲线以为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标 架证明：1）所以，该曲线以为弧长参数由及得所以，2）；，3）所求Frenet标架是，其中，，10.设是中的一个合同变换，是中的正则曲线求曲线与曲线的弧长 参数、曲率、挠率之间的关系解：（1）可见，与曲线除相差一个常数外，有相同的弧长参数2） 可见，与曲线有相同的曲率3） 可见，与曲线的曲率相差一个符号13.（1）求曲率（是弧长参数）的平面曲线解：设所求平面曲线因为是弧长参数，所以可设，由曲率的定义， 知所以，所求平面曲线20. 证明：曲线与曲线是合同的证明：1）对曲线作参数变换，则可知是圆柱螺线（），它的曲率和挠率分别为，因此，只要证明曲线的 曲率，挠率，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重 合2）下面计算曲线的曲率与挠率由，进而O21. 证明：定理4.4定理4.4设是连续可微函数，则（1）存在平面 的曲线，它以为弧长参数，为曲率；（2）上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组 给定初值，其 中是中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及，则由微分方程组理 论得，有唯一一组解满足初始条件：O若为所求曲线，则必是它的Frenet标架。

因此，我们首先证明均是 与自然定向相同的正交标架将微分方程组改写成其中是一个反对称矩阵，即令对求导，并利用有：表明是微分方程组的解定义则且即所以，是微分方程组的解注意到：，所以是微分方程组满足初始条件的唯一解从而所以， 均是正交标架由于是关于的连续函数，且故由知，可见，均是与自然定向相同的正交标架于是由微分方程组有：这表明为弧长参数从而由推出是单位切向量由推出是曲线的曲 率，从而由推出由，即是单位正法向量可见，微分方程组的满足初始条件:唯一一组的确表明：存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率，当 是连续可微函数时再证明（2）：设与是平面中两条以为弧长参数的曲线，且定义在同一 个参数区间上，则存在刚体运动把曲线变为，即证明开始：设，考虑两条曲线在处的Frenet标架与则存在平面中一个刚体运动把第二个标架变为第一个标架，即与在处 的Frenet标架重合因此我们只须证明当曲线与在处的Frenet标架重合 时，曲线Frenet标架的标架运动方程为这是一个关于向量值函数的常微 分方程曲线的Frenet标架与的Frenet标架都是微分方程组的解它们 在处重合就意味着这两组解在的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即 得到。

定理证明完成习题三（P68）2（1）是什么曲面？解：4. 证明：曲面的切平面过原点证明：无妨假定方程确定一个的隐函数，于是设，则所以，处的切 平面为易见，当时，有：所以结论为真6.证明：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的 全体证明：设曲面的参数方程为，令为参数区域中过则的参数曲线，为曲面上过点的曲线于是这表明曲线过点的切向量都可由与线性表出可见过点的切向量都在过点的切平面上另一方面，对于任意切向量， 在参数区域中取过且方向为的参数曲线则此时，从而这表明：在点的切平面中每一个向量都是过点的某一曲线的位于点的 切向量于是：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全 体25.求双曲抛物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它们所对应的主方向.解：由，，，于是Gauss曲率：， 平均曲率：O因为，所以，所以主曲率：对应的主方向为，其中.所以同理，另一个主曲率：， 对应的主方向为 注：设为外恩格尔登变换，则补充：定理(1)函数是主曲率的充要条件是2)方向d = du:dv是主方向的充要条件是证明：（1）设是对应的主方向，则有，即分别用与上式两边作内积，得，所以主方向满足由于不全为零，可得（2）在脐点，，。

从而由可知，，，中的两个方程成为恒等式此时，任何方向都是主方 向在非脐点，分别用和代入得到相应的主方向和将改写成由于不全为零，有28. 曲面上的一条曲线称为曲率线，如果曲线在每一点的切向量都是 曲面在该点的一个主方向证明：曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行证明：设为外恩格尔登变换，则所以，曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行29. 设是曲面的一个参数表示，证明：曲面的参数曲线和是曲率线的 充要条件是证明：曲面的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都 是曲面在该点的一个主方向曲线在每一点，同理，曲面的参数曲线，记 是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向曲线 在每一点，显然，（假若，则矛盾！）所以，曲面的参数曲线和是曲率线的充要条件是35.若曲面是极小曲面，证明：除相差一个常数外，它可以写成， 这个曲面称为Scherk面证明：设曲面的参数方程为，则，，因此，，，由得到，即上式可化为(1)由于上式左边是的函数，右边是的函数，故只能是常 数，设此常数为当时，由(1)可知，，其中是常数于是该极小曲面是平面，其中不是Scherk曲面)下面设由(1) 得，令，即在轴方向作一平移，可设，从而，积分得。