风险理论第四讲.ppt

集体风险模型－理赔次数问题的提出n个体风险模型的缺点n假定单位时间内保单组合理赔的次数是 一个随机变量，我们记为N， 表 示按次序到来的的理赔，设S表示单位时 间内的总理赔额，N表示单位时间内的理 赔次数，集体风险模型可以描述为n假定 （1） 是独立同分布的随机变量 （2）N与Xi独立n我们按如下步骤讨论 – 理赔次数 – S的分布 – S的近似分布 – S的分布数值计算方法理赔次数的分布n主要内容 – 1、母函数与矩母函数 – 2、一张保单的理赔次数分布 – 3、理赔次数的混合分布 – 4、理赔次数的复合分布 – 5、免赔额对理赔次数分布的影响N的母函数与矩母函数 n设N是一个离散随机变量，取值于 0,1,2,… 记其母函数为矩母函数为母函数与矩母函数的关系n母(矩母)函数性质 1、若N的母(矩母)函数存在，那么母(矩母) 函数与分布函数是相互唯一决定的 2、由母(矩母)函数可以导出矩的计算： 请问3、设 N＝N1+…+Nn, Ni相互独立，则二、一张保单的理赔次数分布n 1、泊松分布(Poisson)对于保险公司而言，客户因发生损失而提出理赔 的人数类似于等待服务现象，因此对大多数险 种来说，个别保单的理赔次数可用泊松分布来 表示，即在单位时间内个别保单发生理赔次数 N的分布列为：在单位时间内理赔次数N的分布列为 泊松分布的性质： （1）均值和方差（2）母函数（3）矩母函数（4）可加性定理1：设 ,是相互独立的泊松随机变量 ，参数分别为 ，则 服从泊松 分布，参数为 。

证明：故N服从泊松分布，参数为 5）可分解性假设损失事故可以分为m个不同类型C1,…,Cm Ei表示第i类事故发生 pi表示第i类事故发生的概率， Ni表示第i类事故发生的次数， N表示所有事故发生的次数定理2：若N服从参数为l的泊松分布，则 N1,N2,…,Nn都是相互独立的，且服从泊松分布，参 数分别是lpi， 证明：给定N=n，Ni|n服从二项分布B(1,pi)， N1,…,Nn服从多项分布 因此其中n＝n1+n2+…+nn因此， 的联合分布等于Ni分布的乘积，Ni 是相互独立的随机变量例1：设N表示损失事故发生的次数，X表示 损失额，服从泊松分布，l=10，X～U[0, 20] 问损失额超过5的事故发生次数的概率分布 解：令E表示事件“损失额超过5”所以损失额超过5的次数服从参数为 10×0.75=7.5的泊松分布 例2：假设某险种的个体保单损失X的分布为又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次 数N服从泊松分布，l＝200Ni表示损失额为i 的损失事件的次数1） 求 的分布。

2）假设免赔额为1，求个体保单在一年内发 生的理赔事件次数的分布解：由于 ，且N服从泊松分布， 由定理知，Ni相互独立且服从泊松分布 参数li等于计算得到（2）留作课堂练习2、其他常见的理赔次数分布 （1）负二项分布其中：负二项分布的性质 （1）当r＝1，负二项分布退化为几何分布（2）母函数将 化简得到（3）均值和方差（2）二项分布性质 （1）母函数与矩母函数（2）均值与方差请问：如何从观察数据简单区别 负二项分布、二项分布和泊松分布例3：设有100个40岁的投保人投保生命险，q表示 一个投保人明年死亡的概率，问明年死亡人数的 分布是什么？3、(a, b, 0)分布族 上述3种分布都可以用(a, b, 0)分布来表示n 定义：设随机变量N的分布列满足则称分布族为(a, b, 0)分布族 注：泊松分布，二项分布，负二项分布是（a,b,0)分布族 •泊松分布： •负二项分布因此，当r＝1时，负二项分布是几何分布，•二项分布例4：设N是一随机变量，令 ，如果问N的分布是什么？ 解：由 知，N服从二项式分布 练习：设X的分布属于(a,b,0) class，已知 求三、理赔次数的混合分布n背景： 从保单中随意抽取一份保单，求该保单的 理赔次数分布。

同质性：指所有的保单相互独立，且都有 相同的风险水平，即各保单的损失额的 分布相同，损失次数的分布也相同 非同质性：保单组合中的每个保单风险水 平各不相同表示其风险水平n数学模型 设Q是一个随机变量，当Q＝q时，令 为Q的累积分布，u(q)为q 的密度函数，则N的分布列为 或者N的分布称为混合分布 例5：某司机总体被平均分成两个类型每个司机发生 车祸的次数都服从泊松分布第一种类型的司机的平均 发生车祸的次数服从（0.2，1.8）的均匀分布第二种 类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0.5，2.0）的 均匀分布从这个总体中随机抽取一个司机，求他不发 生车祸的概率解n混合分布性质 1.母函数或者其中PN(z|q)表示在Q＝q条件下，N的母函 数 2．均值和方差 n常见的几种混合泊松分布 1、离散型混合 对于规模较小的保单组合，假设保单组合 由n种不同的风险水平构成，泊松参数取 值于 , ，设 ， 当L＝lk时，保单的损失次数服从参数 为lk的泊松分布。

则从保单组合中任意 抽取一份保单的分布为例6：假设投保车险的驾驶员可以分为两类， 他们出事的次数服从泊松分布，其中好的一类 的泊松参数为0.11，坏的一类的泊松参数为 0.70，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为0.94 和0.06，则任意一个驾驶员出事的次数分布时 多少？解2、连续型的混合 对于规模较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数 服从连续分布以u(l)表示的密度函数，通常称为结构 函数则从保单组合中随机抽取一份保单的损失次数分 布为性质： (1)母函数的表达式（2）结构函数的唯一性，设P1和P2是两个混合泊松 分布的母函数，分别表示为若P1(z)=P2(z)，则u(q)=v(q)例7：设Q的母函数为求N的分布 解：利用母函数公式定理3：设保单组合中每张保单的理赔次数N服从泊 松分布，但参数l是一个随机变量，随每张保单变 化而变化若l服从伽玛分布， ，则N服从负二项分布，参数为 ， 证明：例8：在某汽车险保单组合中，已知每位驾驶员的每年的 索赔次数服从泊松分布，但参数随每张保单变化若服 从均值为3，方差为3的伽玛分布从这个保单组合中随 机抽取一名驾驶员，求它在明年的损失次数不超过1的概 率。

解：设伽玛分布参数为a和q 由伽玛分布的均值和方 差公式有 知a＝3，q＝1 由定理4.1.3知，N服从负二项分布，参数q＝1/2, r＝3， 于是计算得到。