2000-2017考研数学二历年真题word版.docx

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题： 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 .（1）若函数1 cosf x ax( )x, x 0在 x=0 连续，则b,x 0(A)1ab (B) 21ab (C) ab 0 (D) ab 2 2（2）设二阶可到函数 f (x) 满足 f (1) f ( 1) 1, f (0) 1且 f (x) 0 ，则(A)11f ( x)dx 0(B)12f ( x)dx 0(C)0 1f ( x)dx f (x)dx1 0(D)1 1f ( x)dx f ( x)dx1 0（3）设数列x 收敛，则n(A) 当 lim sin xn 0 时， lim xn 0n n(B)当 lim xn (xn xn ) 0 时，则 lim xn 0n n(C)当2lim( x x ) 0 , lim 0nn nn(D)当 lim( xn sin xn ) 0 时， lim xn 0n n（4）微分方程2xy 4y 8y e (1 cos2 x) 的特解可设为ky(A)2x 2x ( cos2 sin 2 )Ae e B x C x(B)2 x 2x ( cos2 sin 2 )Axe e B x C x(C)2x 2 x( cos2 sin 2 )Ae xe B x C x(D)2x 2x ( cos2 sin 2 )Axe xe B x C x（5）设 f (x) 具有一阶偏导数，且在任意的 (x, y) ，都有f (x, y) f (x, y) 0,x y则(A) f (0,0) f (1,1)(B) f (0,0) f (1,1)- 1 -(C) f (0,1) f (1,0)(D) f (0,1) f (1,0)（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位 :m）处 ,图中，实线表示甲的速度曲线v v t （单位 :m/s）1虚线表示乙的速度曲线 v v2 t ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0（单位 :s）,则(A) t0 10 (B) 15 t0 20 (C) t0 25 (D) t0 25v(m / s)10 200 5 10 15 20 25 30 t(s)0 0 0（7）设 A 为三阶矩阵，P ( , , ) 为可逆矩阵，使得1 2 31P AP 0 1 0 ，则0 0 2A( , , )1 2 3(A) 1 2(B) 2 2 3(C) 2 3(D) 1 2 22 0 0 2 1 0 1 0 0（8）已知矩阵 A 0 2 1 ， B 0 2 0 ，C 0 2 0 ，则0 0 1 0 0 1 0 0 0(A) A 与 C 相似， B 与 C 相似(B) A 与 C 相似， B 与 C 不相似(C) A 与 C 不相似， B 与 C 相似(D) A 与 C 不相似， B 与 C 不相似二、填空题： 9~14 题，每小题 4 分，共 24 分.（9）曲线2y x 1 arcsin x 的斜渐近线方程为（10）设函数 y y( x )由参数方程tx t ey sin t确定，则2d ydx2 t0- 2 -（11）0ln(1 x )21 xdx=y y（12）设函数 f x , y 具有一阶连续偏导数， 且df x, y ye dx x 1 y e dy , f 0,0 0，则f x y, =（13）tan x1 1dy dx0 yx4 1 2 1（14）设矩阵 1 2 1A a 的一个特征向量为 ，则 a3 1 1 2三、解答题： 15~23 小题，共 94 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（15）（本题满分 10 分）求limx 0x0tx te dt3x（16）（本题满分 10 分）x设函数 f u, v 具有 2 阶连续性偏导数， y f e , cosx ,求dydxx 0,2d y2dxx 0（17）（本题满分 10 分）求nk klim ln 12n nnk 1（18）（本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值（19）（本题满分 10 分）f x 在 0,1 上具有 2 阶导数，( )ff ( x)(1) 0, lim 0xx 0，证明（1）方程 f (x) 0在区间 (0,1) 至少存在一个根（2）方程2f (x) f (x) f ( x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同的实根（20）（本题满分 11 分）已知平面区域2 2D x, y x y 2y ，计算二重积分2x 1 dxdyD（21）（本题满分 11 分）设 y( x) 是区间3(0, )2内的可导函数， 且 y(1) 0 ，点 P 是曲线 L : y y(x)上的任意一点， L 在点 P 处的切线与 y轴相交于点 (0,Y ) ，法线与 x轴相交于点 (X ,0) ，若 Xp YPP P，求 L 上点的坐标 (x, y)满足的方程。

3 -（22）（本题满分 11 分）三阶行列式A ( , , ) 有 3 个不同的特征值，且 3 1 2 21 2 3（1）证明 r (A) 2（2）如果1 2 3求方程组 Ax b 的通解（23）（本题满分 11 分）设2 2 2f (x ,x , x ) 2x x ax 2x x 8x x 2x x 在正交变换 x Qy 下的标准型为1 2 3 2 1 2 1 3 2 31 32 21y1 2 y2 求 a的值及一个正交矩阵 Q .2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择： 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的 .（1） 设a1 x(cos x 1)，3a2 x ln(1 x) ，3a3 x 1 1.当 x 0 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A）a1,a2 ,a3 . （B） a2,a3,a1 .（C）a a a . （D）2, 1, 3a a a .3 , 2, 1（2）已知函数f (x)2(x 1), x 1, ln x, x 1,则 f ( x) 的一个原函数是（A）F (x)2(x 1) , x 1.（B）x(ln x 1), x 1.F (x)2(x 1) , x 1.x(ln x 1) 1, x 1.（C）F (x)2(x 1) , x 1.（D）x(ln x 1) 1, x 1.F (x)2(x 1) , x 1.x(ln x 1) 1, x 1.（3）反常积分1 x0 1① e dx ，2x1 x+ 1② e dx 的敛散性为20x（A） ① 收敛， ② 收敛.（B） ①收敛， ② 发散.（C）①收敛， ② 收敛.（D） ①收敛， ②发散 .（4）设函数 f ( x) 在 ( , ) 内连续，求导函数的图形如图所示，则- 4 -（A）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点 .（B）函数 f ( x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 3 个拐点 .（C）函数 f ( x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 1 个拐点 .（D）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点 .（5）设函数 f (x)(i 1,2) 具有二阶连续导数，且if ( x ) 0(i 1,2) ，若两条曲线i 0y f (x)(i 1,2) 在点i(x , y ) 处具有公切线 y g (x) ，且在该点处曲线0 0y f x 的曲率大于曲线1( )y f x 的曲率，2 ( )则在 x0 的某个领域内，有（A） f1 (x) f2 (x) g( x)（B） f2 (x) f1 (x) g( x)（C）f x g x f x1( ) ( ) 2( )（D）f x g x f x2 ( ) ( ) 1( )（6）已知函数 f (x, y)xex y，则（A）' ' 0f fx y（B）' ' 0f fx y（C）' 'f f fx y（D）' 'f f fx y（7）设 A ， B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（A）TA 与TB 相似（B）1A 与1B 相似（C）TA A 与TB B 相似（D）1A A 与1B B 相似（8）设二次型2 2 2f (x ,x , x ) a(x x x ) 2x x 2x x 2x x 的正、负惯性指数分别为 1,2，则1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3（A）a 1（B） a 2（C） 2 a 1- 5 -（D）a 1与 a 2二、填空题： 9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。

9）曲线3x2y x 1 x2 arctan(1 )的斜渐近线方程为 ____________.（10）极限1 1 2 nlim (sin 2sin n sin )2nn n n n____________.（11）以2 xy x e 和2y x 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 ____________.（12）已知函数 f (x) 在( , ) 上连续，且x2f (x) (x 1) 2 f ( t)dt ，则当 n 2 时，0f ____________. (n) (0)(n) (0)（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标时间的变化率为常数v ，则0当点 P 运动到点 (1,1)时， l 对时间的变化率是 _______.。