对坐标的曲线积分.ppt

上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算§10.2 对坐标的曲线积分三、两类曲线积分之间的联系上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、对坐标的曲线积分的概念与性质v变力沿曲线所作的功 质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 求变力F(x y)所作的功提示•把L分成n个小弧段 L1 L2    Ln求功的过程 •变力在Li上所作的功的近似值为 •变力在L上所作的功的近似值为 •变力在L上所作的功的精确值为 其中是各小弧段长度的最大值 F在Li上所作的功WiF(i i)si>>>光滑曲线P(i i)xiQ(i i)yi [ ]上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv对坐标的曲线积分 •设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有界 •把L分成n个有向小弧段L1 L2    Ln 其中Li是从(xi1 yi1)到(xi yi)的小弧段 记xixixi1 yiyiyi1•在小弧段Li上任取一点(i )•令为各小弧段长度的最大值 如果极限 总存在 则称此极限为函数P(x y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分 记作  如果极限 总存在 则称此极限为函数Q(x y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分 记作  上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv对坐标的曲线积分 •在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 说明 •对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv对坐标的曲线积分 说明 •设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv对坐标的曲线积分的简写形式 在应用上经常出现的是 上式可记为 其中F(x y)P(x y)iQ(x y)j drdxidyj 类似地 有 其中AP(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k drdxidyjdzk 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv对坐标的曲线积分的性质 •性质1 设、为常数 则 •性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2•性质3 设L是有向光滑曲线弧 L是L的反向曲线弧 则则上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示 二、对坐标的曲线积分的计算 质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应的参数分别为t和tdt 得功元素F[(t) (t)]dr dr(dx dy)((t)dt (t)dt) dW 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的起点和终点所对应的参数分别为和 >>>图形 F[(t) (t)](P[(t) (t)] Q[(t) (t)]) 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、对坐标的曲线积分的计算 质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应的参数分别为t和tdt 得功元素F[(t) (t)]dr P[(t) (t)](t)dtQ[(t) (t)](t)dt dW 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的起点和终点所对应的参数分别为和 于是 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、对坐标的曲线积分的计算 质点在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t) y(t) 且L的起点和终点所对应的参数分别为和 这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv定理(对坐标的曲线积分的计算公式) 设P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为x(t) y(t) L的起点和终点对应的参数分别为和 应注意的问题 下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于  存在 并且 则曲线积分 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则 设空间曲线由x(t) y(t) z(t)给出 以t为起点以t 为终点 问讨论 提示 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则 解 L分为AO和OB两部分 第一种方法 以x为积分变量 10在 AO 上xyx 从变到x0O在B 上xy 从变到 1上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology设L由x(t) y(t)给出 L以t为起点以t 为终点 则 解 第二种方法 以y为积分变量 在L上 xy2 y从1变到1 因此 上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解： 例2 计算  其中L为圆周(xa)2y2a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行). LL1L2 其中 L1 xaacos t yasin t  t从0变到 L2 xx y0 x从0变到2a 因此 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology(1)L yx2 x从0变到1 所以 解 (2)L xy2 y从0变到1 所以 (1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology(3)OA y0 x从0变到1 AB x1 y从0变到1 解 011 (1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到B(1 1)的有向折线OAB 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解: 例4 求 其中为有向闭折线ABCA  这里的A B C依次为点(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1). ABBCCA 其中 AB xx y1x z0 x从1变到0 BC x0 y1z zz z从0变到1 CA xx y0 z1x x从0变到1 故 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示 FA a例5 一个质点 在力的作用下从点 ( 0)沿椭圆12222byax按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W 解 椭圆的参数方程为xacost ybsint t从0变到  质点在点M(x y)处所受到的力为 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例5 一个质点 在力F 的作用下从点A(a 0)沿椭圆12222byax 按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W 解 质点在点M(x y)处所受到的力为 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology三、两类曲线积分之间的联系 说明 指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量 设 (cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 L的参数方程为x(t) y(t) L的起点和终点所对应的参数分别为a和b 则上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology三、两类曲线积分之间的联系 设 (cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 L的参数方程为x(t) y(t) L的起点和终点所对应的参数分别为a和b 则上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology三、两类曲线积分之间的联系 设 (cos cos)为光滑有向曲线弧L上点(x y)处的单位切向量 则 类似地 设 (cos cos cos)为有向曲线弧上点(x y z)处的单位切向量 则其中A(P Q R) dr ds(dx dy dz) dr称为有向曲线元 或上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系小结。