2007年第4届东南数学竞赛最新（精华版）.docx

第四届中国东南地区数学奥林匹克一、 试求实数 a 的个数，使得对于每个 a，关于 x 的三次方程 x3ax a 1都有满足 x 1000的偶数根令 x0 2n ，n 为整数，且 | 2n | 1000，即 | n | 499 ，所以至多取2 499 1 999 个数，即 n{ 499, 498,，0,1, , 499} 将x0 2n 代入原方程8n3得 a2n1 记1f (n)8n3 2n1 ,对任意的1n1, n2{ 499, 498,，0,1, , 499} ,当n n ( n , n Z )时,若f (n ) f (n ) ,设n x1 , n x2 ，其中 x , x 是关于 x 的1 2 1 21 2 1 2 2 2 1 2方程 x3ax a1 0的两个根，设另一根为x3 ，由根与系数的关系x1x2x2 x3x3 x3x1 x1x2 x3( x1 aa 1x2 )即 4N1 a(其中 N( n n n n ), N n n ( n n ) )228N2 a 11 1 2 1 2 2 1 2 1 2即4N18N21，矛盾！所以，对于不同的n1, n2{ 499, 498,，0,1, , 499}，都有f (n1)f (n2) ，于是满足条件的实数 a 恰有 999 个。

另解】对任意| x | 998 ，x 为偶数， ax3 1x 1的取值都各不相同x 3 1 x 3 1反证，若存在x x ，使得 1 2 ，其中 x , x 为偶数，则1 2 x 1 x 1 1 222221 2( x1x2 )( x1 x2x1x2x1 x2x1 x21) 0由于 x x ，则 x x0 ，又因为x 2x x x 2x 2 x 2x x 为偶数，所22221 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2以( x x)( x x x x xx x x1) 0 ，矛盾因此满足条件的 a共有 999 个二、如图，设 C、D 是以O 为圆心、 AB 为直径的半圆上的任意两点，过点B作 O 的切线交直线F证明： OE=OFCD 交于 P，直线 PO 与直线 CA、AD 分别交于点E、F一、 如图，作 OM CD 于 M，作 MN//AD，设D PCA O BMN BA N, CN DA K ，连 BC、BM，则 NBC ADC NMC ，因此 N、B、E FM、C 共圆；又由 O、B、P、M 共圆，得 D PMCOPM OBM所以 CN//OP，于是180MCNNA O BKECN AN NKOE AO OF(1)因 M 为 CD 的中点， MN //DK，则 N 为 CK 的中点；故由 (1)得，OE OF 。

另证】如图，过 O 作OM CD 于M ，连结 BC、BM、BD、BE，因为 OM CD ， PB AB，所以 O、B、P、M 四点共圆，于是BMP BOP AOE ， EAO BDM ，FD PMCA O B所以 OAE MDB ， AE AO ABBD DM CDE，从而BAE CDB ， EBA BCD BAD ，所以 AD//BE，OE OB 1， OF OA即 OE=OF三、 设amin k i k N ，试求 S a a a 的值，其中*i k n2 1 2 n 2n 2, x 表示不超过 x 的最大整数二、 设ai 1min ki 1 k N *ki 1 ( k N * )，则1k1k1a k i k i 1 a ，即数列 a 严格单增kki 1 1 i 1 n1 12由于k m k2m，(当 k=m 时取得等号 )，故am22m m N * ；又当 k=m、m+1 时， km m 12m2k1 ，而在 k m或k m1时，k m k m1 0 ，即k 2m1 k m m1 0 ，亦即m m 1kk2m 1 ，所以am2 m2m 1；再由数列an 的单调性，当m2 m i m21 时， 2m 1 ai2 m 1，所以2m,aim2 i m2 m2 22m 1, m m i m 1m2 2m因此， ai2m m2m 1m 1 4m23m 1 ，于是i m2Sn2n 14m2m 13m 1 2nn n 1 2n 1 n n 14 3 n6 21 2n8n33n2613n 6n四、 求最小的正整数 n，使得对于满足条件 aii 12007 的任一具有 n 项的正整数数列a1,a2 , ,an ，其中必有连续的若干项之和等于 30。

三、 首先，我们可以构造一个具有 1017 项的整数数列 a1, a2 , , a1017 ，使其中不存在和为 30 的连续项；为此，取 a1 a2a291, a3031，以及a30 m iai , i1,2, ,30 ,m N ，即ak 为：1,1, ,1,31, 1,1, ,1,31, 1,1, ,1,31, 1,1, ,1,31, 1,1, ,1(共有 34 段，前 33 段中每段各有 30 个项，最后一段有 27 个项，共计 1017 个项)，其次，当项数少于 1017 时，只须将某些段中连续的若干个数合并成较大的数即可对于满足条件1018ai2007 的任一个具有 1018 项的正整数数列i 1a1, a2 , , a1018 ，我们来证明，其中必有连续的若干项之和等于 30为此，记 Skkai , ki 11,2, ,1018 ，则 1 S1 S2S10182007今考虑集1,2, ,2007 中元素的分组：(1,31),(2, 32),,(30, 60),(61, 91),(62, 92),,(90,120),(121,151),(122,152),,(150,180),(60k1,60k31), (60k2, 60k32), , (60k30, 60(k1)),(60 32 1,60 32 31), (60 32 2, 60 32 32), , (60 32 30, 60 33),1981 1982 , 2007其中有 3330=990 个括号以及 27 个未加括号的数，从中任取 1018 个数作为 Sk 的取值，必有两数取自同一括号，设为Sk , Sk m，则 Sk m Sk30 ，即该数列中ak 1ak 2ak m30 。

因此 n 的最小值为 1018第 二 天（ 2007 年 7 月 28 日， 8：00－12： 00， 浙江 镇海）五、 设函数 f x 满足： f x 1 f x2 x 1( x R )，且当 x0, 1 时有2f x 1，证明：当 x R 时，有 f x 2 x 令g x f x x2 ，则 g x 1g x f x 122f x x 1x 0 ，所以 g x 是 R 上以 1 为周期的周期函数；又由条件当 x 0, 1 时有 f x 1，可得，当 x0, 1 时，g x f x x 2f x x 2 2，所以周期函数 g x 在R 上有 g x 2 ，据此知，在 R 上，f x g x x2g x x22 x2 六、 如图，直角三角形 ABC 中， D 是斜边 AB 的 M中点， MB AB ， MD 交 AC 于 N；MC 的延长线交 AB 于 E证明： DBN BCE N CA D E B如图，延长 ME 交 ABC 的外接圆于 F，延长 MD 交 AF 于 K，作 CG//MK， 交 AF 于 G，交 AB 于 P，作 DH CF 于 H，则 H 为 CF 的中点。

连 HB、HP， 则 D、H、B、M 共圆，故 HBD HMD HCP ，于是 H、B、C、P 共圆， 所以 PHC ABC AFC ，故 PH//AF即 PH 为 CFG 的中位线， P 是 CG的中点则 AP 为 ACG 的边 CG 上的中线，又因 NK//CG，故 D 是 NK 的中点， 即线段 AB 与 NK 互相平分，所以 DBN DAK ，而DAK BAF BCF BCE ，即有 MDBN BCE 七、 试求满足下列条件的三元阵列 (a, b, c)： N C(i) a