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初三数学二次函数知识点总结 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 2 yaxbxc abc 是常数 0a 的函数 叫做 二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数0a 而bc 可 以为零 二次函数的定义域是全体实数 2 二次函数 2 yaxbxc的结构特征 等号左边是函数 右边是关于自变量x的二次式 x的最高次数是2 abc 是常数 a是二次项系数 b是一次项系数 c是常数项 二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 2 yax的性质 a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 2 yaxc的性质 上加下减 3 2 yaxh 的性质 左加右减 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上00 y轴 0 x时 y随x的增大而增大 0 x时 y随 x的增大而减小 0 x时 y有最小值 0 0a向下00 y轴 0 x时 y随x的增大而减小 0 x时 y随 x的增大而增大 0 x时 y有最大值 0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上0c y轴 0 x 时 y随x的增大而增大 0 x 时 y随 x的增大而减小 0 x时 y有最小值c 0a 向下 0c y轴 0 x时 y随x的增大而减小 0 x时 y随 x的增大而增大 0 x 时 y有最大值c a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上 0h X h xh 时 y 随 x 的增大而增大 xh 时 y 随 x的增大而减小 xh 时 y 有最小值 0 0a向下 0h X h xh 时 y 随 x 的增大而减小 xh 时 y 随 x的增大而增大 xh 时 y 有最大值 0 4 2 yaxhk 的性质 三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 2 yaxhk 确定其顶点坐标 hk 保持抛物线 2 yax 的形状不变 将其顶点平移到 hk 处 具体平移方法如下 向右 h 0 或左 h0 或下 k0 或左 h0 或左 h0 或下 k0 或向下 k 0 平移 k 个单位 y a x h 2 k y a x h 2 y ax 2 k y ax 2 练习题 一 选择题 1 二次函数 2 47yxx 的顶点坐标是 A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线 2 2yx 向上平移1 个单位 得到的抛物线是 A 2 2 1 yx B 2 2 1 yx C 2 21yx D 2 21yx 3 函数 2 ykxk 和 0 k yk x 在同一直角坐标系中图象可能是图中的 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上hk X h xh 时 y 随 x的增大而增大 xh 时 y 随 x的增大而减小 xh 时 y 有最小值 k 0a向下 hk X h xh 时 y 随 x 的增大而减小 xh 时 y 随 x的增大而增大 xh 时 y 有最大值 k 4 已知二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 当 1x 和 3x 时 函数值相等 4 0ab 当 2y 时 x的值只能取 0 其中正确的个数是 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 5 已知二次函数 2 0 yaxbxc a 的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 如图 由图象可 知关于 x 的一元二次方程 2 0axbxc 的两个根分别是 12 1 3xx和 B 2 3 C 0 3 D 3 3 6 已知二次函数 2 yaxbxc 的图象如图所示 则点 ac bc 在 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 7 方程 2 2 2xx x 的正根的个数为 A 0 个B 1 个C 2 个 3 个 8 已知抛物线过点A 2 0 B 1 0 与 y 轴交于点C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为 A 2 2yxx B 2 2yxx C 2 2yxx 或 2 2yxx D 2 2yxx 或 2 2yxx 二 填空题 9 二次函数 2 3yxbx 的对称轴是 2x 则 b 10 已知抛物线y 2 x 3 2 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么x 的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 x 0 时 函数值 y 随自变量 x 的 增大而增大 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 12 抛物线 2 2 2 6yx 的顶点为C 已知直线 3ykx 过点 C 则这条直线与两坐 标轴所围成的三角形面积为 13 二次函数 2 241yxx 的图象是由 2 2yxbxc 的图象向左平移1个单位 再向下 平移 2 个单位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是16 米 跨度是40 米 段AB 上离中心 M 处 5 米的地方 桥的高度是 取 3 14 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 30 x 图象经过 1 6 且与 y 轴的交点为 0 5 2 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大 16 某种爆竹点燃后 其上升高度h 米 和时间 t 秒 符合关系式 2 0 1 2 hv tgt 0 t 2 其中重力加速度g 以 10 米 秒 2 计算 这种爆竹点燃后以v0 20 米 秒的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地15 米 2 在爆竹点燃后的1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说明 理由 17 如图 抛物线 2 yxbxc 经过直线 3yx 与坐标轴的两个交 点 A B 此抛物线与 x 轴的另一个交点为C 抛物线顶点为D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 APC S AC D S 5 4 的点 P 的坐标 第 15 题图 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物 售出后再进行结算 未售出的由厂家负责处理 当每吨售价为260 元时 月销售量为45 吨 该建材店为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售 价每下降10 元时 月销售量就会增加7 5 吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共 需支付厂家及其它费用100 元 设每吨材料售价为x 元 该经销店的月利润为y 元 1 当每吨售价是240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出x 的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 练习试题答案 一 选择题 1 A2 C 3 A4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二 填空题 9 4b 10 x 3 11 如 2 24 24yxyx 等 答案不唯一 12 1 13 8 7 14 15 三 解答题 15 1 设抛物线的解析式为 2 bxcyax 由题意可得 解得 15 3 22 abc 所以 215 3 22 yxx 2 1x 或 5 2 3x 3 2 6 5 2 b a abc c 16 1 由已知得 2 1 152010 2 tt 解得 12 3 1tt 当 3t 时不合题意 舍去 所以当爆竹点燃后1 秒离地 15 米 2 由题意得 2 520htt 2 5 2 20t 可 知顶点的横坐标 2t 又抛物线开口向下 所以在爆竹点燃后的1 5 秒至 108 秒这段时间 内 爆竹在上升 17 1 直线 3yx 与坐标轴的交点A 3 0 B 0 3 则 930 3 bc c 解得 2 3 b c 所以此抛物线解析式为 2 23yxx 2 抛物线的顶点D 1 4 与 x 轴的另 一个交点C 1 0 设 P 2 23 a aa 则 2 11 423 44 5 4 22 aa 化 简得 2 235aa 当 2 23aa 0 时 2 235aa 得 4 2aa P 4 5 或 P 2 5 当 2 23aa 0 时 2 235aa 即 2 220aa 此方程无解 综上所述 满足条件的点的坐标为 4 5 或 2 5 18 1 5 7 10 240260 45 60 吨 2 260 100 457 5 10 x yx 化简得 2 3 31524000 4 yxx 3 24000315 4 3 2 xxy 2 3 210 9075 4 x 红星经销店要获得最大月利润 材料的售价应定为每吨210 元 4 我认为 小静说的不对 理由 方法一 当月利润最大时 x 为 210 元 而对 于月销售额 5 7 10 260 45 x xW 23 160 19200 4 x 来说 当 x 为 160 元时 月销售额W 最大 当x 为 210 元时 月销售额W 不是最大 小静说的不对 方法二 当月利润最大时 x 为 210 元 此时 月销售额为17325 元 而当 x 为 200 元时 月销售额为18000 元 17325 18000 当月利润最大时 月销售额W 不是最大 小静说的不对 。