李鑫电多级子.docx

电多极矩一、直接积分法求P1、 公式9（x）= 凹空 （1）4ks r02、 有关概念一般情况下，（1）式积分困难，但当P =（元）分布在小区域，可将9展成级数——电势的多级展开1小区域：源分布线度l与道观察点的距离r相比l<

在X'二o处展开r二 f (xyz')f(x',y‘, z') = f(X') , + (X .V)f(X) , +1(X .V)2f(X')| , +...X =0 X =0 2! X =0在X'=0 点••• 1 =丄，又V' = -VrRV “ =-V 1rRV'V' - = VV — rR11V ' V ' V '- = -VVV — rR1 T —X = 0 R111 1对—的作用等于对花的作用，将f (X' )1r R1 1 1 1 1 1 1f (X' ) = —= - (X'・V) — + (X' .V )2 - X'X'X': VVV—+ ••.r R R 2! R 3! R2）1 1 l « r，即l « R， P dv '对p之贡献与X'有关，故 rR - X'= f (X ,y ,z )1故可将X'视为最小参数将-展开成泰勒级数（在X' = 0点的）展开程序r设y = z = 0， X小参数，在X = 0点展开f ( x ',0,0) = f ( x ',0,0)+1 f X' + 丄空 X' 2 + ...x'=0 1! Qx ' x'=0 2! Qx '2 x'=03x 2 — R 2Qx ' x '=0Qx ' 2 X'=0f (X ,0,0)XX 3X2 - R 2+ X 2 + ...R 3 2!R 5同理将 x' T y', z' ，X T y, z 有f (0, y',0) = 1 + 里 + y' 2 +...R——+ ―-R3 2!R 5f (0,0, z')=丄 + M + 3y2 - R2 z' 2 +...R R 3 2! R 5合并以上三式得f (Xyz')二 f (x')+1 IP y-苗 z, x-0 1! dx'X + Qy ,y + Qz “ _1+2!Q2 fQx ‘2X ‘2 +Qy 2y‘2 +寻 z ‘2Qz ‘2+ ...f (x: y‘, z‘)二 f (X‘)| + X‘ ・Vf + (X ・V‘)2 f +...x‘=o 2!1 1另一方面在X'二0时有如下关系：一二万；又V' = -V故有rR1 1 1 1 1V‘一二-V V‘ V‘一二(-V) • (-V)—二 V2 -r R r R R1 1 1V‘ V‘V‘ 二(-V)(-V)(-V) 二-VVVr R R1 1 1即X'二0时，一般有V —V且对—的作用等于对三的作用，将f Tr R R1 1 1 1 1 1 1... f (X ‘)二 二 -(X ‘ ・V) — + (X ‘ ・V)2 - X ‘X ‘X ‘ HVJ +... (2)r R R 2! R 3! R2)主要项：工Q二0时 9(0) =09(1)为主要项把( 2)代入( 1)得：14K80Q -Jp (X‘) X‘dv‘ •V 丄+ 丄 Jp(X‘)X‘X‘dv‘: VV 丄 +...2! RvRvRQp •V -R111 1+ •—•—D : VV — + ...( 3 )4兀&4K84K82!3R000=9 (0)+9(1)+ 9 (2) +...( 4 )零级矩势偶级矩势四级矩势 等的叠加结论：小区域产生的势等于一组位于远点的多级子电势的叠加3 讨论9(2)为主要项3) D的意义(略)P87-88D = J (3x 'x' - |x '21)p (x ')dv'v1 D 为对称张量D= 3p(x )x x dv =E3Qxx iiix z 'i iyzizzi'X Xi iXii zXii二工 3Q yXyiiyyii zyiiD 二工 3Qx211iiD =工 3Q y 2e e22 i i j jD 二工 3Qz 233 i iD12二工 3Qx yi i i=E 3Q y xiii二 D21D13上式给出对称张量有6个分量二 D 二工 3Q x z31 i i iD 二 D23 32二工 3Q y zi i id 2 1)的对角元之和 ex d Rij2 D实际只有5个独立分量一一D可以可以构造成5个独立分量•・• 9⑵可以用5个独立分量表示，为使D满足5个独立分量条件重新构造D .1利用：W— = C^R(工+鼻+ ,dx 2 dy 2 dz 2 R(R 丰 0)另一种表示：丁 T T = I : Tr一 1I : VV—= 0R1 1EQ (3x x ): VV4店 6 i i01 ' = E Q (3x x 24兀s 1 1 1021): W1R意义D = EQ (3x x'- x'121)i i i I i ID = f p (x')(3X'X'_|X'卩I)dv'6)分量式D =J p (x')(3x'x' - r'28 )dv' ij i j ijiji = j•i丰j可验证 TD = 0 即 D + D + D =E Q L(x'2 + y'2 + z '2) — 3r'2 L 0 D 的图i i i i ij11 22 33示见P88Q 一均匀带点球体9 = =9(0)，. 0 = 04K8 R0故偏离球对称的带电体，其D丰0 ； D标志p分布偏离球对称的物理量。

如原子核的D丰0，反映原子核偏离球对称的形变4）八极矩及以上对9的贡献实际上可以忽略5）（5）（6）两式去掉 I 因子，对角元不同，但不影响9例1；半径为a，b，c的均匀带点椭球体，总电荷为Q，试求远处的电势，准确到四极矩项x2 y2 z 2 Q解：椭球方程 + ~ + =1 p = ^4a 2 b2 c2 4兀abc3常数取直角坐标： dv = dxdydz因椭球体，对积分是对称的，故奇函数为零p = I xp dv = 0 x由（7）式 即 D = I p (x')(3x'x' - r'21)dv'或 Dij=I p(x')(3x'x'— r'26 )dv'i j ijD = I p (3x 2 一 x2 一 y 2 一 z 2)dxdydz11=p J (2x2 - y 2 - z 2)dxdydz1=5Q(2a2 一b2 -c2)1同理D =pj (2 y 2 - x 2 - z 2) dxdydz = Q (2b 2 一 a 2 一 c 2)22 5D = D = p J 3 xydxdydz = 012 21D = D = p J 3 yzdxdydz = 0 23 32D = D = p J 3 yzdxdydz = 031 13将上述结果带入(3)式另法：1p (x)二一4兀&0此题可以用广义球坐标积分Q (3x 2 — R 2)a 2 + (3 y 2 — R 2)b 2 + (3z 2 + QR—R 2)c 2 *令：x = ar sin 9 cos 申y = br sin 9 cos 申z = cr cos 9于是10R5dv 二 dxdydz 二 J drd9d申dv = abcr2 sin0drdvdp 由椭球方程知 r 2 < 10