同济大学高等数学课件曲面积分.pdf

第二类曲面积分第五节第十章一、第二类曲面积分的概念及性质二、两类曲面积分的联系三、第二类曲面积分的计算法一、第二类曲面积分的概念及性质观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分 上 侧和 下侧曲面分内 侧和 外侧也随之连续改变方向 .若当点 P不越过 ∑的边界回到出发的位置时，双侧曲面 : 处的法向量，取定点 PP Σ∈∀Pn 则当点的 一个指向 ,ororn上连续移动时，在 Σ的指向不变，则称orn为称∑是双侧曲面 . 典型双侧曲面Σ 单侧曲面 .否则，1. 曲面的分类莫比乌斯带典型单侧曲面 :对于双侧曲面，其 侧可用曲面 法向量的指向决定了侧的曲面称为 有向曲面 .来确定 .闭曲面的侧)1(为闭曲面设 Σ内侧：外侧：.的外面指向法 向量 Σnr的里面 ；指向法向量 Σnr非闭曲面的侧)2(2. 曲面的侧与有向曲面上、下侧)1),( yxzz =Σ：若),(:∧= zn 轴上侧rγ);(0cos, Σ∈∀> Pγ为 锐角),(:∧= zn 轴下 侧rγ).(0cos, Σ∈∀ Pβ为 锐角yxzO),(:∧= yn 轴左侧rβ).(0cos, Σ∈∀ Pα为 锐角(后 )(钝 ))(Δ=Δ时当 0cos)()(γσSxyxy3. 有向曲面的投影面上的在 xOySΔ在有向曲面Σ上取一小块曲面Δ S,为的投影xyS )(Δ,)( 表示投影区域的面积其中xyσΔ轴正向为法向量与 zγ的夹角 .类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的 投影 .注意 : 投影有正负之分 .时当 0cos)( =⋅ γσγS0cos >γ去掉限制：xySS )(dcosd =⋅ γ可得到：yxdd∴Sdcosγ=xyS)(d=zyddSdcosα=yzS)(d=同理可得xzddSdcosβ=zxS)(d=,0cos ≡Σγ则轴的柱面时，为母线平行于若 z从而必有,0cosddd =≡ γSyx0dd),,( =∫∫ΣyxzyxR)(:222azhayx ≤≤=+Σ如：0dd =∫∫Σyxz但注意 ：0d ≠∫∫ΣSz3º；表示封闭曲面上的积分记号∫∫Σ6°指定侧流向通过.dddddd∫∫Σ++=Φ yxRxzQzyP存在性：上在分片光滑的有向曲面若 Σ→),,( zyxF.d),,( 存在→Σ→∫∫⋅ SzyxF连续，则以 流速→→= nRQPv Σ),,,(流体的流量为 :4º5º6. 性质线性性质：)1(→Σ→→Σ→→Σ→→⋅+⋅=⋅+∫∫∫∫∫∫SFβSFαSFβFα ddd][2121可加性 ：)2(的和拼接而成，并且和由2121, ΣΣΣΣΣΣ侧一致 , 则→Σ→→Σ→→Σ→⋅+⋅=⋅∫∫∫∫∫∫SFSFSF ddd21(3) 有向性 : 用Σ－表示 与Σ取相反侧的 有向曲面 , →Σ→→Σ→⋅−=⋅∫∫∫∫−SFSF dd则研究第二类曲面积分 , 必须注意曲面所取的侧 .1R∈∀ βα，二、两类曲面积分之间的联系由第二类曲面积分的定义可知，yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),,(dd),,(dd),,(∫∫Σ++SγzyxRβzyxQαzyxP d]cos),,(cos),,(cos),,([∫∫Σ++=→Σ→∫∫⋅ SzyxF d),,(SzyxzyxFnd)],,(e),,([∫∫Σ→→⋅=.),,()cos,cos,(cos),,(e处的单位法向量上点是有向曲面其中zyxzyxnΣ=→γβα即例 1计算∫∫Σ+++= xzyzyxfzyxzyxfI dd]),,(2[dd]),,([yxzzyxf dd]),,([ ++1=+−Σ zyxf 是平面为连续函数，其中.在第四卦限部分的上侧的法向量解 ：Σ}1,1,1{ −=→n}31,31,31{e −=→n单位法向量：上侧+31cos,31coscos −===∴ βγαxyzO∫∫Σ⋅++−⋅++⋅+= Szfyfxf d]31)()31()2(31)[(∫∫Σ++= SRQPI d)coscoscos( γβα∫∫Σ+−= Szyx d)(31∫∫Σ= Sd131212622131=⋅⋅⋅=nr)1,0,0(•)0,0,1(••− )0,1,0(1=+− zyx三、第二类曲面积分的计算法情形 1),,( yxzz =上侧，投影区域为 ,xyDxyDyxzz 在),(=上具有一阶.),,( 上连续在 ΣzyxRΣ在 xOy面上的的单位法向量为曲面 ),( yxzz =基本思路 :计算二重积分转化求曲面积分?dd),,( =∫∫ΣyxzyxR需 求：若Σ:连续偏导数，()22222211,1,1eyxyxyyxxnzzzzzzzz++++−++−±=→()22222211,1,1eyxyxyyxxnzzzzzzzz++++−++−±=→2211cosyxzzγ ++=取曲面的 上侧∫∫ΣyxzyxR dd),,(根据第一类曲面积分的计算方法，有∫∫=xyDyxzyxR )],(,,[∫∫=xyDyxyxzyxR dd)],(,,[∫∫Σ= SγzyxR dcos),,(2211yxzz ++⋅yxzzyxdd122++⋅∫∫ΣyxzyxR dd),,(∫∫=xyDyxzyxR )],(,,[∫∫=xyDyxyxzyxR dd)],(,,[若有向曲面Σ取下侧时，类似可得=∫∫ΣyxzyxR dd),,(∫∫xyDyxyxzyxR dd)],(,,[+–上侧 为正 ，∫∫Σ= SγzyxR dcos),,(2211yxzz ++⋅yxzzyxdd122++⋅−−下侧 为负 .前侧,),(),,(:yzDzyzyxx ∈=Σ∫∫∫∫+=ΣyzDzyzyzyxPzyzyxP dd],),,([dd),,(2情形–(后 )右侧,),(),,(:zxDxzxzyy ∈=Σ∫∫∫∫+=zxDxzzxzyxQxzzyxQ dd]),,(,[dd),,(Σ(左)3情形–注 1° 对坐标的曲面积分 , 必须注意曲面所取的侧 .与对坐标的二重积分∫∫Dyxyxf dd),(区别：:dd),(∫∫Dyxyxf元素：上的有界闭区域，面积面是与 方向无关， xoyD0ddd >= σyx的区别及联系曲 面积分∫∫Σyxyxf dd),(2°联系：为上侧时，由计算法知当 Σ∫∫∫∫+=Σ Dyxyxfyxyxf dd),(dd),((下)-.: 面上的投影区域在 xoyD Σ:dd),(∫∫Σyxyxf有向曲面，投影：是空间的方向有关，与 ΣΣ.0cos00cos,d0cos,ddd⎪⎩⎪⎨⎧==时当时当时当γγσγσyx∫∫Σ,dd yxxyz计算.0,01222的部分外侧在 ≥≥=++ yxzyx两部分和分成把21例 2其中Σ是球面解ΣΣΣ;1:221yxz −−−=Σ,1:222yxz −−=Σ∫∫∫∫∫∫ΣΣΣ+=12dddddd yxxyzyxxyzyxxyz∫∫−−=xyDyxyxxy dd122∫∫−−−−xyDyxyxxy dd)1(22xyzODxy1Σ1Σ2∫∫−−=xyDyxyxxy dd1222.152d1cossind2221020=−=∫∫ρρρθθρθπ对第二类曲面积分如何利用积分区域及被积函数的对称性？思考 : 下述解法是否正确 :根据对称性0dd =∫∫∑yxxyz注 ),,( zyxR是光滑的有向曲面，设 Σ面及其侧关于若上连续在 xOyΣΣ .对称，则∫∫ΣyxzyxR dd),,(.0:1部分在 ≥ΣΣ z⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=),,(),,(,0 zyxRzyxR),,(),,(,dd),,(21zyxRzyxRyxzyxR −=−∫∫Σ所截部分的外侧 ．被平面锥面为其中计算2,1,dddddd222==+=∑+−=∫∫ΣzzyxzyxzxzxzyyID∑例 3解 (方法 1)在 yOz 坐标面上的投影均为,21,: ≤≤≥ zyzDyzΣ分为前后两片曲面，0dd =∫∫Σzyy被积函数对变量 x是偶函数0dd =∫∫Σxzx同理,41:22≤+≤ yxDxy∫∫+−=xyDyxyxI d)d(22∫∫⋅−=212π20dd ρρρθ.π215−=(方法 2)投影转换法Szy dcosdd α=Sxz dcosdd β=Sγyx dcosdd =yxddcoscosγα=yxddcoscosγβ=Σ 的法向量：)1,,( −±=yxffnr,1cos22++±=yxxfffα,1cos22++±=yxyfffβ.11cos22++=yxffmγyxfxdd−=yxfydd−=yxffRQPyxdd}1,,{},,{ −−⋅=∫∫Σ∫∫Σ++= yxRxzQzyPI dddddd)21(22≤≤+=Σ zyxz：∫∫Σ+−⋅+−⋅= yxRyxfQyxfPyxdddd)(dd)(∫∫Σ+−⋅+−⋅= yxRfQfPyxdd])()([向量点积法{} yxyxyyxxdd1,,2222+−+−∫∫Σ⋅−= },,{2zxyyxyxyyxxzxyI dd1,,},,{22222∫∫Σ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+−⋅−=∫∫∑= yxz dd2∫∫+−=xyDyxyx dd)(2241:22≤+≤ yxDxy∫∫⋅−=212π20dd ρρρθ.π215−=下侧： ),21(22≤≤+=Σ zyxz例 4计算∫∫+++++Σyxxzxzzyzyyx dd)(dd)(dd)(其中 ∑ 是以原点为中心 , 边长为 a的正立方体的整个表面的外侧 .解xzy(方法 1) 的六个面为 ：Σ（上侧 ）；),(:2221aaayxz ≤≤=∑;(),(:2222下侧 ）aaayxz ≤≤−=∑（前侧 ）；),(:2223aaazyx ≤≤=∑;(),(:2224后侧 ）aaazyx ≤≤−=∑（右侧 ）；),(:2225aaazxy ≤≤=∑.(),(:2226左侧 ）aaazxy ≤≤−=∑O∫∫+++++1dd)(dd)(dd)(Σyxxzxzzyzyyx∫∫+=1dd)(Σyxxz∫∫+=1dd)2(Dyxxa2||,2||:1ayaxD ≤≤∫∫−−+=2222)d2(daaaayxax∫−+=22)d2(aaxxaa23a=（上侧 ）),(:2221aaayxz ≤≤=∑∫∫+++++2dd)(dd)(dd)(Σyxxzxzzyzyyx∫∫+=2dd)(Σyxxz∫∫+−−=2dd)2(Dyxxa2||,2||:1ayaxD ≤≤∫∫−−+−−=2222)d2(daaaayxax∫−+−=22)d2(-aaxxaa23a=下侧 ）(),(:2222aaayxz ≤≤−=∑用同样的方法可计算得：∫∫+++++3dd)(dd)(dd)(Σyxxzxzzyzyyx∫∫+++++=4dd)(dd)(dd)(Σyxxzxzzyzyyx∫∫+++++=5dd)(dd)(dd)(Σyxxzxzzyzyyx∫∫+++++=6dd)(dd)(dd)(Σyxxzxzzyzyyx23a=33a=∴原式利用对称性原式∫∫+=Σyxxz dd)(3∑ 的顶部),(:2221aaayxz ≤≤=∑取上侧∑ 的底部),(:2222aaayxz ≤≤−=∑取下侧[∫∫∑+=1dd)(3 yxxz[∫∫+=yxDyxxadd)2(3]yxxz∫∫∑++2dd)(]yxxayxD∫∫+−− dd)2(∫∫=yxDyxa dd333a=（方法 2）位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解Srqd2∫∫Σ= SRq∫∫Σ= d2qπ4=。

q)(),,(22233zyxrzyxrqrrqE ++===→→求 E 通过球面 ∑ : r = R 外侧的电通量 Φ .∫∫Σ→→⋅=Φ SE d∫∫Σ→→。