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§ 应力圆应力圆 （（ Stresses Circle Stresses Circle ））即 莫尔圆 ( Mohr’s Circle )Mohr’s Circle ) 由Otto MohrMohr（1835-1918）提出各自平方并相加，得：一、斜截面应力的计算y0yxyxxnx xyyxyO在 - 坐标系中， 与落在一个圆上圆心？半径？（应力圆 或 莫尔圆）圆心 ：半径：二、应力圆的画法•第一种画法（1）在轴上作出 A0(x,0), B0(y,0) （2） A0, B0的中点为圆心C（3）过A0垂直向上取xy 得A， CA为半径0CA0B0AB（4）以C 为圆心、CA为半径画圆第二种画法（1）坐标系内画出点A( x，xy)B (y，yx) （2） AB与 轴的交点C是圆心（3） 以 C 为圆心以AC为半径画 圆 ——应力圆 或 莫尔圆x xyyxyOnA(x ,xy)OCB(y ,yx)x2nD(  , )以上由单元体公式应力圆（原变换）下面寻求： 由应力圆单元体公式（逆变换）只有这样，应力圆才能与公式等价换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？为什么说有这种对应关系？0CA(x ,xy)B(y ,yx)x 2n D(  , )E20单元体与应力圆的对应关系（1）单元体的右侧立面 ——应力圆的 A 点（2 0 ）（2）斜截面和应力(  ， )—— 应力圆上一点 D 点 和坐标(  ， )（3）单元体上夹角 —— 应力圆上 CA 与 CD 夹角 2 且转向一致x xyyxyOnOCA(x ,xy)B(y ,yx)x2nD(  , )20（4）主单元体上 1所在面法向是由x 轴逆时针转  0 ——   轴上应力圆最右端四、应力极值A(x ,xy)COB(y ,yx)x21 20123平面应力状态的分析方法1、解析法精确、公式不好记 —— 7个一般公式2个（正、切应力），极值应力5个（极大与极小正应力，极大与极小切应力，主单元体方位角） 2、图解法不必记公式、数值不精确有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？我提出了这种方法 —— 3、图算法 • 前半部 —— 画莫尔圆 • 后半部 —— 看图精确计算例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体 30 80单位：MPa8030OA (-80, 30)BCD1、取 的中点C为圆心以 AC 为半径画莫尔圆2、算出心标 0C = -40，半径3、算出主应力、切应力极值4、算出方位角5、画出主单元体（1）A点对应于右垂面（2）右垂面逆时针转OA (-80, 30)BCD3080单位：MPa80得主单元体的最大拉应力所在的面（3）垂直做主单元体的另一个面§9.4 梁的主应力及其主应力迹线梁发生横力弯曲，M与Q > 0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置单元体上：q1531313 –45°21303410A1A2D2D1 COA2  D2D1CA1 O 20D2D1 CD1O20= –90° D2A1O20CD1 A2A2D2D1 CA1 O主应力迹线（Stress Trajectories)主应力方向线的包络线 ——曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位实线表示主拉应力迹线虚线表示主压应力迹线主应力迹线的画法xy 11 截 面22 截 面33 截 面44 截 面ii 截 面nn 截 面bacdq1331§9.5 三向应力状态——应力圆法xyz2131、空间应力状态2、三向应力分析（1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点（2）整个单元体内的最大剪应力为1xyz 图a23图bmax例 求图示单元体的主应力和最大剪应力（MPa）解：(1)由上图知y z面为主面之一（2）建立应力坐标系，画应力圆xyz5040 30AB C(M Pa)（M Pa ）123max§9.6§9.6 复杂应力状态下的单元体的变形—— ——（（广义广义郑玄郑玄 - - 虎克虎克定律定律）一、单拉下的本构关系二、纯剪的本构关系xyzxxyz x y三、复杂状态下的本构关系依叠加原理,得xyzzyxyx主单元体本构关系四、平面状态下的应力--应变关系132用 应力 表示 应变的本构关系三个弹性常数之间的关系三个弹性常数之间的关系五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：代入本构关系，得到 体积应变与应力分量间的关系:132dxdzdy例 构件表面上某点的两个面内主应变为 1=24010-62= –16010-6， E=210GPa， =0.3， 求该点的主应力及另一主应变故为平面应力状态 例 为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片测得容器表面环向应变 t =350×l06；容器平均直径 D = 500 mm，壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25 求： 1.横截面和纵截面上的正应力表达式2.内压力ppp x1 mlp ODx ABy1、轴向应力( Longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式容器截开后受力如图所示,据平衡方程pmmxD纵截面将容器截开后受力2、环向应力(Hoop stress)3、内压（以应力应变关系求之）t m 外表面yp t t DqdqzO§9.7 变形位能23 13 -m 1-m2-mmmm为了剖析变形位能同体积变形和 形状变形的关系，引入 为什么 ？ 因是体积应变按迭加原理得左图交互项应力迭加没有交互项，位能迭加有因故第3项 应力状态同 体积应变 无关，只与形状变化有关，称为 畸变（或偏斜）应力相应地分成：3 -m 1-m2-m2 3 1mmm交互项体积应变 比能 ，畸变 比能（形状改变比能）体积应变比能2 3 1 1-m3 -m2-mmmm交互项畸变比能交互项体积应变比能畸形比能。