信号与系统吴大正第四版第二章.ppt

信号与系统,主讲教师：陈哲云,青岛理工大学计算机工程学院,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质,2.1 LTI连续系统的响应,微分方程的经典解 零输入响应与零状态响应 全响应,一、微分方程的经典解 微分方程的解：y(t)= yh(t)+ yp(t) 其中， y(t): 完全解 yh(t): 齐次解由微分方程的特征根确定 yp(t): 特解与激励函数的形式有关不同特征根对应的齐次解,不同激励对应的特解,例2.1-1：描述某LTI系统的微分方程为 求输入 时的全解 解：齐次解yh(t) 齐次解是齐次微分方程 的解 其特征方程为： 其特征根 则微分方程的齐次解为：,,特解yp(t) ： 当 时，其特解可设为： 将特解代入微分方程中： 整理得： 所以微分方程的特解为： 则微分方程的全解为：,其中待定常数C1,C2由初始条件确定 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解,二、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应yzi(t) ：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。

（2）零状态响应yzs(t) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应 LTI的全响应：y(t) = yzi(t) + yzs(t),,,,2、零输入响应解法 （1）即求解对应齐次微分方程的解 （2）求yzi(t)的基本步骤 ①求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式 比如，若特征方程的根为n个单根，则通解为 ②由于激励为零，所以零输入的初始值： ③利用初值确定出积分常数C1，C2， …，Cn，代入通解表达式，即得yzi(t) 3、零状态响应 （1）即求解对应非齐次微分方程的解 （2）求yzs(t)的基本步骤 ①求系统的特征根，写出的通解表达式yzsh(t) ②根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yzsp(t) ③求初值： 若方程右边无冲激函数及其各阶导数，则其初值为 否则，根据冲激函数匹配法求得 ，确定积分常数C1，C2， …，Cn ④写出零状态响应表达式,,,,4.关于 0- 和 0+ 初始值 （1）0－ 状态和 0＋ 状态 0－ 状态称为零输入时的初始状态即初始值是由系统的储能产生的； 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。

即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响 （2）从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数若初值发生跃变，由 0－ 状态求 0＋ 状态的值，可用冲激函数匹配法5.冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值 的关系 应用条件： 如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导 数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）,例2.1-2：描述某系统的微分方程为 已知 求该系统的零输入响应，零状态响应和全响应解：（1）零输入响应设零输入响应yzi(t), 激励为0 ，初值为 根据特征根求得通解为：,,,,,,,,,,解得系数为 代入得,（2）零状态响应 先求初值 将f(t)=ε(t)代入方程得 由冲激函数匹配法知， 应包含 ，从 而 在t= 0处将发生跃变，即 但 不含冲激函数，否则 将含有 项 由于 中不含δ(t)，故yzs(t)在t=0处是连续的。

故yzs(0+) = yzs(0-)=0由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续，故,对式(1)两端积分有,于是由上式得 因为yzs(0+) = yzs(0-) ， 所以,再求零状态响应 对t0时，有 不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3， 于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得yzs(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t0 （3）全响应 y(t) = yzi(t) + yzs(t)=-2e-t+e-2t+3, t 0,各种响应用初始值确定积分常数 在经典法求全响应的积分常数时，给的是 0＋ 状态初始值 在求系统零输入响应时，用的是 0－ 状态初始值 在求系统零状态响应时，用的是 0＋ 状态初始值，这时的零状态是指 0－ 状态为零确定0－和0+之间的关系，决定于方程右端是否含有冲激函数或其导数三、全响应,,,全响应 = 自由响应 ＋ 强迫响应 = 零输入响应 ＋ 零状态响应,一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。

2.2 冲激响应和阶跃响应,LTI系统 {x(0)}={0},,,例2.2-1 描述某系统的微分方程为 求其冲激响应h(t) 解：根据h(t)的定义有 （1）先求 h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)积分得,因方程右端有δ(t)，故利用冲激匹配法 中含δ(t)，,（2）再求冲激响应 由δ(t)的性质知，对t0时，有 故系统的冲激响应为一齐次解微分方程的特征根为-2，-3故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t) 代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)ε(t),2.总结：若n阶微分方程的右端只含有f(t),即： 当 ，其零状态响应（即冲激响应满足） 用前面类似的方法，可推得各0+初始值为： 若方程的特征根均为单根，则冲激响应 利用初值即可求出所有Cj若描述LTI系统的微分方程为： 可分为如下两步求解系统的冲激响应h(t) 1)求右端只含有f(t)的冲激响应h1(t) 2)根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分性质 得原微分方程的冲激响应h(t),例2.2-2：设描述某二阶LTI系统的微分方程为 求其冲激响应。

解：选新变量y1(t)，其冲激响应为h1(t),满足方程 设其冲激响应为h1(t),则原方程的冲激响应为 由于 所以,二．阶跃响应 1．定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示LTI系统 {x(0)}={0},,,2.阶跃响应解法 若n阶微分方程的右端只含有f(t), 即： 当 ，其零状态响应（即阶跃响应满足） 用前面类似的方法，可推得各0+初始值为： 若微分方程的特征根均为单根，则冲激响应,如果微分方程的等号右端含有 及其各阶导数，则可根据LTI系统的线性性质和微分特性求得其阶跃响应 由于单位阶跃函数和单位冲激函数的关系为： 根据LTI系统的微积分特性，同一系统的阶跃响应与冲激响应的关系为：,例2.2-3：如图所示的LTI系统，求其阶跃响应 解：由 得系统的微分方程为：,解 ： 选新变量y1(t),其阶跃响应为 ， 满足方程： 其特征根 ，其特解为0.5，于是得： 又根据0-状态求得0+状态值得： 解得： 得： 系统的阶跃响应为：,例2.2-4 已知描述系统的微分方程、输入f(t)和初始条 件为：,解：1）方程右边无冲激函数，所以初始值在t=0时刻均不发生跳变，故y(0+)=y(0-)=2, y’(0+)=y’(0-)=1. 2)系统的零输入响应yzi(t)满足方程 yzi’’(t)+4yzi’(t)+3yzi(t)=0,且 yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2 yzi’(0+)= yzi’(0-)= y’(0-)=1 零状态响应yzs(t)满足方程 yzs’’(t)+4yzs’(t)+3yzs(t)=f(t), yzs(0-)=yzs’(0-)=0，yzs(0+)=yzs’(0+)=0,,3)系统的冲激响应h(t)满足方程 h’’(t)+4h’(t)+3h(t)=δ(t) h(0-)=h’(0-)=0， h’(0+)=1， h(0+)=0 系统的阶跃响应：,,4)系统的全响应y(t)=yzi(t)+yzs(t).,总结： 1.求解全响应，可以通过经典法和双零法。

2.经典法需要给出0+时刻的值，此初始值决定于方程右端有无冲激函数或其导数若有，则可用冲激函数匹配法求出 3.零输入响应是一齐次解，初值为0-时刻的值 4.零状态响应是一齐次解+特解的形式，初始值为0+时刻的值0+时刻与0-时刻的关系决定于方程右端是否含有冲激函数或其导数0-时刻为0状态 5.关于冲激响应和阶跃响应，除了定义法，也可以根据二者的关系互求2.3 卷积积分 卷积积分在信号与系统理论中占有重要地位这里要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多的冲激函数之和，利用冲激响应，求解LTI系统对任意激励的零状态响应1、任意信号的分解,一、信号分解为冲激信号序列,2、任意信号作用下的零状态响应,3、卷积积分 （1）定义：已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分 称为f1(t)与f2(t)的卷积 注：积分是在变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量，结果仍为t的函数例2.3-1：求卷积,解：,（2）卷积积分的求解,例2.3-2： 解：,2.4 卷积积分的性质,1、卷积的代数性质 交换律：ƒ1(t)ƒ2(t)=ƒ2(t)ƒ1(t) 分配律：ƒ1(t)[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)ƒ2(t)+ƒ1(t)ƒ3(t) 结合律：[ƒ1(t)ƒ2(t)]ƒ3(t)=ƒ1(t)[ƒ2(t)ƒ3(t)],f(t)与阶跃函数的卷积：,f(t)与冲激函数的卷积：,2、奇异函数的卷积特性,3、微积分性质：,微分性质：,积分性质：,微积分性质：,4、卷积的移位（时移）特性,解：,f1(t) =ε (t) –ε (t –2),f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t),ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t),例2.4-1： f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t),ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2),f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2),例2.4-2：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t),解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1),f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1),由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2),常用卷积公式,例2.4-3：计算卷积e–2(t-1)ε(t-1)* e–(t+2)ε(t+2). 方法一：利用阶跃函数法（直接利用卷积积分）,说明： 通常将函数表示成带有阶跃函数因子的形式，卷积中的被积函数便出现两阶跃函数之积，由此即可确定出卷积积分上下限和函数的定义域。

两阶跃函数好比一个开关，故此法又称为开关函数法方法二：利用卷积积分性质求卷积是本章的重点与难点 求解卷积的方。