零点存在与判定.doc

第9炼 零点存在的鉴定与证明一、基本知识：1、函数的零点：一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是持续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 注：零点存在性定理使用的前提是在区间持续，如果是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一种持续函数是单调函数，那么它的零点至多有一种因此分析一种函数零点的个数前，可尝试判断函数与否单调4、几种“不一定”与“一定”（假设在区间持续）（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一种零点要分析的性质与图像，如果单调，则“一定”只有一种零点（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点如果单调，那么“一定”没有零点（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不拟定”的，受函数性质与图像影响如果单调，则一定不不小于05、零点与单调性配合可拟定函数的符号：是一种在单增持续函数，是的零点，且，则时，；时，6、判断函数单调性的措施：（1）可直接判断的几种结论：① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数③ 若为增函数，且，则为增函数（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要运用的范畴求出的范畴），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）运用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的环节：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断与否要对体现式进行合理变形，然后将体现式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范畴内寻找端点函数值异号的区间（4）运用零点存在性定理证明零点存在例1：函数的零点所在的一种区间是（ ）A. B. C. D. 思路：函数为增函数，因此只需代入每个选项区间的端点，判断函数值与否异号即可解： ， ，使得 答案：C例2：函数的零点所在的大体区间是（ ）A. B. C. D. 思路：先能判断出为增函数，然后运用零点存在性鉴定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。

时，，从而，，因此，使得 答案：A小炼有话说：（1）本题在解决时，是运用对数的性质得到其的一种趋势，从而拟定符号那么解决零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向2）本题在估计出时，后，也可举一种具体的函数值为负数的例子来阐明，例如正是在已分析清晰函数趋势的前提下，才干保证迅速找到合适的例子例3：（，浙江）已知是函数的一种零点，若，则（ ）A. B. C. D. 思路：条件给出了的零点，且可以分析出在为持续的增函数，因此结合函数性质可得 答案：B例4：已知函数，当时，函数的零点，则________思路：由的范畴和解析式可判断出为增函数，因此是唯一的零点考虑，，因此，从而 答案： 例5：定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若的“新驻点”分别为，则（ ）A. B. C. D. 思路：可先求出，由“新驻点”的定义可得相应方程为：，从而构造函数，再运用零点存在性定理判断的范畴即可解：因此分别为方程的根，即为函数：的零点 在单调减，在单调增，而，时，，而 答案：C例6：若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过， 则可以是（ ）A． B． C． D．思路：可判断出单增且持续，因此至多一种零点，但的零点无法直接求出，而各选项的零点便于求解，因此考虑先解出各选项的零点，再判断的零点所在区间即可解：设各选项的零点分别为，则有 对于，可得： ，因此C选项符合条件答案：C例7：设函数，若实数分别是的零点，则（ ）A. B. C. D. 思路：可先根据零点存在定理判断出的取值范畴：，从而；，从而 ，因此有，考虑，且发现为增函数。

进而，即 答案：A例8：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于 思路：本题要证两个要素：一种是存在零点，一种是零点唯一证明零点存在可用零点存在性定理，而要阐明唯一，则需要函数的单调性解： 在单调递增 ，使得 由于单调，因此若，且 则由单调性的性质：与题设矛盾因此的零点唯一 小炼有话说：如果函数在单调递增，则在中，，即函数值与自变量一一相应在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性例9：（，天津）已知，函数（的图像持续不断）（1）求的单调区间（2）当时，证明：存在，使得 解：（1） 令 解得： 在单调递减，在单调递增（2）思路：由（1）可得在单调递减，在单调递增，从而从图像上看必然会在存在使得，但由于是证明题，解题过程要有理有据因此可以考虑将所证等式变为，构造函数，从而只需运用零点存在性定理证明有零点即可解：设 由（1）可得：当时，在单调递减，在单调递增 ，由于 根据零点存在性定理可得：，使得 即存在，使得小炼有话说：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。

2）本题在寻找不不小于零的点时，先观测体现式的特点：，意味着只要获得足够大，早晚比要大的多，因此只需要取较大的自变量便可以找到的点选择也可，选择等等也可以例10：已知函数，其中常数，若有两个零点，求证： 思路：若要证零点位于某个区间，则考虑运用零点存在性定理，即证且，即只需判断的符号，可先由存在两个零点判断出的取值范畴为 ，从而，只需将视为有关的函数，再运用函数性质证明均不小于零即可解：令 设，可得为增函数且 时， 时，在单调递减，在单调递增因此在， 有两个零点 在单调递增 在单调递增 而 ，使得即 另一方面： 而 ，使得即综上所述：。